数值分析课件 2插值法

数值分析ComputationalMethodChapter2插值法

2.1问题的提出

函数的插值就是对函数的离散数据建立连续的，简单的数学模型。具体说来，设函数的离散数据为若有简单函数使得则称为的插值函数，称为被插值函数。

称

为插值条件。称为插值点,称

为插值节点,设,称为插值区间。求插值函数的方法称为插值法。称内插法，，称外插法。若选为多项式则称为插值多项式，相应插值法称为代数插值或多项式插值，若选为有理分式函数，相应插值法称为有理插值，若选为三角多项式，相应插值法称为三角插值，若选为分段函数，相应插值法称为分段插值。2.2拉格朗日插值

1.线性插值与抛物插值线性插值设函数的离散数据为构造一个线性函数满足条件其中为Lagrange线性插值基函数。¹ji=ji,0,1îíì=xlji)(为线性插值基函数的线性。

组合,组合系数是函数值。·

抛物插值（二次插值）已知数据表构造一个二次函数满足条件为Lagrange二次插值基函数。¹ij=ij,0,1îíì=xlji)(为二次插值基函数的线性组合，组合系数是函数值。

为二次插值基函数的线性组合，组合系数是函数值。

例：已知下列数据:求线性插值及抛物插值函数，并求ln3.27的近似值。

x

3.2

3.3

3.4

y1.1631501.1939221.2237752.

n次Lagrange插值多项式已知数据表构造一个n次多项式满足条件为n次插值基函数的线性组合，组合系数是函数值。

¹ij=ij,0,1îíì=xlji)(函数节点例已知某一复杂函数y=f(x)可以构造出如下函数表:x1346y

75814先作出y=f(x)的Lagrange插值多项式,再求其在x=2处的值。-----Lagrangen次插值基函数定理：次数不超过n插值多项式是存在唯一的。证明：（存在性）

（唯一性）若也满足插值条件，则有个互异零点，故为零。

证毕

例证明：若是次数的代数多项式，则对任意个互异节点所作的插值多项式就是自己。解由于也是满足插值条件的次数的多项式，据唯一性，知的插值多项式就是自己。解毕解毕例设是插值基函数，.证明：。解由于是次数的多项式，它的拉格朗日插值多项式为，据唯一性，知。解毕

例设是插值基函数，填空

，

。3.插值余项与误差估计称截断误差为插值多项式的余项。定理设在插值区间内有阶导数，则其中:

。证明设令则有n+2个零点,据罗尔定理，则有n+1个零点,有n个零点,有1个零点,设为。，，，

证毕例已知在如下采样点处的函数值，求方程在内根的近似值。

解

则

解毕

(反插值法)例已知插值节点x0<x1<x2，证明当x2x1=x1

x0=h时，二次插值多项式的误差界为:2.5.埃尔米特插值在插值节点上不仅要求函数值相等，而且要求导数值甚至高阶导数值也相等，满足这种条件的插值多项式称为埃尔米特插值多项式.例如：

4个条件决定了插值多项式是3次多项式且有4个都是3次多项式的插值基函数。

仅有两个互异节点x0,x1，插值条件为的三次Hermite插值公式为+++3)(xH=其中00)(yαx11)(yαx11)(yβx00)(yβx插值基函数的求法其中满足:满足:同理:满足:同理:仅有两个互异节点x0,x1，插值条件为的三次Hermite插值公式为+++3)(xH=其中00)(yαx11)(yαx11)(yβx00)(yβx例设函数f(x)有四阶导数，且f(1)=0，f

(1)=1，f(2)=0.693147，f

(2)=0.5，用三次Hermite插值多项式H3(x)来计算f(1.5)及f(1.5)的近似值。.Hermite插值多项式的余项以两点三次Hermite插值公式为例:定理设函数f(x)在包含x0,x1的区间[a,b]内存在四阶导数,则当x[a,b]时,有其中(a,b)且与x有关。Hermite插值多项式给定n+1个互异节点x0,x1,,xn，并已知要求构造一个多项式P(x)，满足列表:个条件决定了插值多项式是次多项式且有个都是次多项个和个，。式的插值基函数。记

2．3牛顿插值

均差

1.定义：称为关于点的一阶均差(差商),为关于点的二阶均差,

为关于点的k阶均差。

约定的0阶均差。为关于点有时也记为。2均差的性质性质1

f(x)关于节点x0,x1,,xk的k阶均差可以表示为函数值f(x0),

f(x0),,f(xk)的线性组合,即性质2对称性：均差与节点的排列次序无关。如性质3若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且互异节点x0,x1,,xn

[a,b]，则n阶均差与导数有关系（均差表）一阶均差二阶均差三阶均差3.牛顿插值公式一般，

其中，称为n次牛顿插值多项式。称为牛顿插值多项式的余项。

由插值多项式的唯一性知，

。所以,Nn(x)的确是插值多项式.3Newton插值多项式已知数据表构造一个n次多项式满足条件于是,该插值问题得到解决.且是均差表中的对角线元素.（均差表）一阶均差二阶均差三阶均差据牛顿插值公式的形式知

所以，牛顿插值公式有继承性。

一阶均差二阶均差三阶均差例已知建立的均差表。解（均差表）解毕

例求上例中的牛顿插值多项式，并计算。解

解毕实用上，首先将插值节点按照离插值点的距离由近到远的次序编排为。例给定数据表，求四次Newton插值多项式，并写出插值余项。

xi12467

f(xi)410112.4等距节点的牛顿插值公式若插值节点,满足:,称为步长，插值节点又可写为，据此建立的牛顿插值公式称为等距节点的牛顿插值公式。记称为向前差分称为向后差分称为中心差分分别称为向前差分算子，向后差分算子，中心差分算子，不变算子，移位算子。，

二阶向前差分

m阶向后差分 二阶中心差分

m阶向前差分

差分与均差的关系：差分与导数的关系：牛顿前插公式要计算附近点的函数值，令，余项为牛顿后插公式

要计算附近点的函数值，令

，

余项为。

2.6分段低次插值高次插值的病态性质实际上，满足插值条件越多不一定有插值效果越好，龙格给出了例子，取个等距节点构造拉格朗日插值多项式，当时，随着增大而增大，不收敛于这一事实称为龙格现象。高次插值的Runge现象Runge现象2分段线性插值设f(x)在各节点a=x0<x1<<xn=b处的函数值分别为y0,y1,,yn。在曲线y=f(x)上相邻两点(xi-1,yi-1),(xi,yi)之间用直线连接(i=1,2,,n),这n条直线段组成折线。此折线对应的函数In(x)称为分段线性插值函数。分段线性插值函数In(x)满足：(1)在每个小区间[xi-1,xi]上是线性函数;(2)在区间[a,b]上连续;(3)In(xi)=yi,i=0,1,,n。In(x)在每个小区间[xi-1,xi]上的表达式为:+,11----iiixxxxiy1---iiixxxx1-iy)(=nxI分段线性插值的余项定理设函数f(x)在[a,b]上有二阶导数,则在[a,b]上的分段线性插值函数In(x)的误差估计为其中x[a,b],定理若在收敛于自身。上连续，则其分段线性函数一致3分段三次Hermite插值设f(x)在各节点

xi处的函数值为yi导数值为

yi

,i=0,1,,n。在曲线y=f(x)上相邻两点(xi-1,yi-1),(xi,yi)之间用三次Hermite插值多项式S3(x)连接(i=1,2,,n),满足:(1)在每个小区间[xi-1,xi]上是三次多项式;(2)S3(x)和S3(x)在区间[a,b]上连续;(3)S3(xi)=yi

,S3(xi)=yi,i=0,1,,n。S3(x)在每个小区间[xi-1,xi]上的表达式为:分段三次Hermite插值的余项定理设函数f(x)在[a,b]上有四阶导数,则在[a,b]上的分段三次Hermite插值函数S3(x)的误差估计为其中x[a,b],例求在并估计误差。又设，问步长为多少。上的分段埃尔米特插值,解其中:误差:，

若，则解毕2.7样条插值1.概念

定义：若是分段三次多项式，且整体插值区间上有二阶连续导数，则称是三次样条函数,又若,

则称是三次样条插值函数。

常见边界条件第一边界条件

，