多次相遇与全程的关系

多次相遇与行程的关系二、多次相遇与全程的关系两地相向出发：相遇分二种情况：一：迎面相遇情况一：迎面相遇情况二、多次相遇与全程的关系两地相向出发：相遇分二种情况：一：迎面相遇情况一：迎面相遇情况二追及相遇。第1次迎面相遇，共走1个全程第2次迎面相遇，共走3个全程第3次迎面相遇，共走5个全程第N次迎面相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。迎面相遇的速度是两者的速度和来计算。即第N次相遇时，两人（车等）共行了2N-1个全程，速度是速度和情况二：追及相遇计算：第1次追及相遇，多走1个全程第2次追及相遇，多走3个全程第3次追及相遇，多走5个全程第N次追及相遇，多走2N-1个全程追及相遇是追及问题，速度是两都的速度差来计算。两地相向出发情况下，如追及相遇四次时，那快的比慢的多行2*4-1=7个全程。快的比慢的多行2N-1个全程（N为追及次数），追及的速度是两者的速度差。总相遇（通称相遇）=迎面相遇+追及相遇例：甲乙两名动动员在长为25米的游泳池里来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转身时间，那么这段时间内甲、乙共相遇（包括追及）多少次？分两种情况计算：一、 迎面相遇：2N-1=（5*60）*（1+0.6）/25（距离=时间*速度）距离/单位长度=几全程数再取整即【距离/单位长度】2N-1=480/25=19……5,取整数部分为19，即2N-1=19N=10（次）即迎面相遇了10次；二、 追及相遇：2N-1=（5*60）*（1-0.6）/25=120/25=4 20 取整为4,即2N-1=4N=2.5取整为二次（半次或有小数部分说明追及了比整数部分多的部分，但没到下一次，半路上）总次数=迎面相遇+追及相遇=10+2=12（次）同地同向出发：情况一：迎面相遇 第1次迎面相遇，共走2个全程第2次迎面相遇，共走4个全程第N次迎面相遇，共走2N个全程迎面相遇问题的速度是两者的速度和；情况二、追及相遇第1次追及相遇，多走2个全程；第2次追及相遇，多走4个全程；第3次追及相遇，多走6个全程；第N次追及相遇，多走2N个全程追及问题的追及速度是两者的速度差。追及相遇计算：两地同向出发情况下，每次追及相遇，快的比慢的都多行2个单位全程（即一个来回）。如追及相遇四次时，那快的比慢的多行2*4=8个全程。快的比慢的多行2N个全程（N为追及次数）总相遇（通称相遇）=迎面相遇+追及相遇上面例：甲乙两名动动员在长为25米的游泳池里来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从游泳池的一端出发，来回共游了5分钟，如果不计转身时间，那么这段时间内甲、乙共相遇（包括追及）多少次？分两种情况计算：一、 迎面相遇：2N=（5*60）*（1+0.6）/25（距离=时间*速度）距离/单位长度=几全程数再取整即【距离/单位长度】2N=480/25=19……5,取整数部分为19，即2N=19N=9.5取整为9（次）即迎面相遇了9次；（半次或有小数部分说明追及了比整数部分多的部分，但没到下一次，半路上）二、 追及相遇：2N=（5*60）*（1-0.6）/25=120/25=4 20取整为4，即2N=4N=2总次数=迎面相遇+追及相遇=9+2=11（次）3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。【例1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？【解析】这就是著名的柳卡问题•下面介绍的法国数学家柳卡•斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他先画了如下一幅图：这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．例2】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？解析】采用运行图来解决本题相当精彩！首先，甲跑一个全程需30一1=30（秒），乙跑一个全程需30一0.6=50（秒）.与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：一个周期内共有一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了5x4=20（次）【例3】（2009年迎春杯复赛高年级组）A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处.甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．解析】本题采用折线图来分析较为简便．如图，箭头表示水流方向，ATCTE表示甲船的路线，BTDTF表示乙船的路线，两个交点M、N就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC和DE的长度相同，AD和CF的长度相同.那么根据对称性可以知道，M点距BC的距离与N点距DE的距离相等，也就是说两次相遇地点与A、B两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，

所以第一次相遇时，两船分别走了10020240千米和1004060千米可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2．而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为432312米/秒，那么两船在静水中的速度为12210米/秒．环形跑道环形跑道问题分类一、 环瑯跑道上的追及丿诃题同向而行，双方的遗度不同（假设甲快，乙慢）,甲追上乙后，以相同的方式在跑逍上多次迫上乙。我们把这种问题称为环形跑道上的追及问题二、 环形跑道上的相遇问题背向而行，在跑道的某处相遇，以相同的方式在跑道上多次与乙相遇。我们把这种问题称为环形跑道上的相遇J诃题环形跑道问题追及问题环形跑道问题追及问题甲乙在同一地崑出或”阖向而行（甲快，乙慢丿,皆甲進上乙时,晳冕比乙多甑了k團。（第_液甲進上乙丿甲总路襁■乙崽賂程=範道周札运时#我们可心看嵌甲乙莊同k勉止就或，同向而行，舀甲毎决建上乙时，肯規乂比乙多龜了一圏。f第二醴遽上时丿甲总賂襁■乙蕙路程二胞遺周农十1圈周长同一地点出发：《如果不是同一地点月&首先计算出第一次追上的时间，，原距离差/速度差=时间，接下来就变成同一地点出发了。追及是多行一圈，为追及相遇一次，也就是说多跑N圈，就追及相遇了N次。追及速度为二者的速度差；一次追及时间t=W长/速度差；

迎面相遇问题是二人合跑一圈，相遇一次速度是两者的速度和，即一次相遇时间t=周长/速度和。环形跑道问题 相遇问题理论傢据理论傢据甲乙在同-地崑出或，管向而舒(甲按，乙慢丿,皆甲月乙路k决稲遇时，甲乙昙同翹了-團。由楠遇冋龜，鬣们省甲总珞程+乙总曙程二匏遺周农同铝，我们可風把他们相遍的地虎柞着起克束看，第二變梱隠的时傩，甲乙拱同乂艷了k圏，甲和乙总#翹了海團，/甲总曙程+乙总賂程二翹遺周农乞 赋而翁们可总纓现，為相盜一礎,甲乙就酋同多葩了k圏，相遇.的血敎就著寸酋風範韵圈倉。甲总珞程+乙总珞程二匏遣周衣"N环形跑道问题 习题巩环形跑道问题 习题巩例：小朗和爷苓疵学杭环形跑道上JL练，环形跑道的周长是400扎小册的遠度是300^/分钟*爷爷的速度是200采/分钟，有天，小朗心里虚想要和爷爷赛跑。f1J他彳订从.同一地点同时同向鎚