第十部分 液体运动的三元分析

第十部分液体运动的三元分析第1页，共47页，2023年，2月20日，星期三本章重点理解液体微团运动的4种基本形式：平移、旋转——刚体运动——理论力学伸缩、剪切——变形运动——变形体力学

掌握液体流动的连续方程、运动方程及其推导思路掌握势流的概念，掌握流速势函数、流函数的性质第2页，共47页，2023年，2月20日，星期三本章对后续内容的意义本章所介绍的概念＆方程——渗流、波浪、明渠非恒定流等实用水力学之基础连续方程、运动方程的推导思路＆方法——有助于培养创新能力理论联系实际能力——从解决工程问题的角度去寻求方法和理论第3页，共47页，2023年，2月20日，星期三本章学习方法上课听讲，思考课后看书，思考参考文献＆教材第4页，共47页，2023年，2月20日，星期三第10章液体运动的三元分析10.1基本概念回顾10.2液体运动的基本形式10.3基本方程——连续方程，运动方程10.4液体流动的一个特例——势流第5页，共47页，2023年，2月20日，星期三流动是液体的运动状态之一。液体的流动除了存在运动学方面的问题外，还有动力学方面的向题。运动学：给出位移、速度、加速度等运动要素之间的关系。动力学：给出作用在液体上的各种力与运动要素的关系。

10.1关于液体流动的基本概念回顾第6页，共47页，2023年，2月20日，星期三液体的一元、二元、三元运动：运动要素与几个位置坐标有关？恒定流与非恒定流：运动要素是否与时间有关？均匀流与非均匀流（渐变流、急变流）：流线是否相互平行？理想液体与实际液体：是否考虑液体黏性？压缩与不可压缩：密度是否为常数（不随时间和空间变化）？第7页，共47页，2023年，2月20日，星期三液体的一元、二元、三元运动，例子：（1）一元流——管道、渠道中水的流动；广阔地层中地下河槽、集水井的渗流。特点是：断面平均流速v或流量Q仅和一个空间位置坐标（流程s）有关。（2）二元流——土石坝坝身及地基的渗流（断面）；二维规则波浪运动（剖面）；宽矩形断面渠道中的流动（点流速u和流程s与竖向位置坐标z有关）第8页，共47页，2023年，2月20日，星期三可简化成一元流动和二元流动的例子一元流：地下河槽中的渗流二元流：长大型港工或水工建筑物基础下某一断面的渗流第9页，共47页，2023年，2月20日，星期三波浪的二维规则波动——对于微幅波，波的剖面形状类似余弦（或正弦）曲线二元流：二维规则波浪运动，波的剖面第10页，共47页，2023年，2月20日，星期三三元流——是最一般的流动。流速u是三个坐标s,y,z的函数实际问题中，三元流能简化成二元流、一元流的则尽量简化。以满足要求和工程精度为准。第11页，共47页，2023年，2月20日，星期三通过基础水力学的学习，我们已经知道了一些基本理论：最重要的就是理解描述液体运动的两种方法；控制体的概念——对应Euler方法质点系的概念——对应Lagrange方法描述和求解运动要素的连续方程、运动方程，分别依据质量守恒、动量守恒定律推导而出。目的：最终要得到流场中的流速、压强、密度分布；通过过流断面的流量等。为确定水流流态，确定过流能力，设计建筑物的尺寸和给出所受荷载，以及利用水能＆消能服务。第12页，共47页，2023年，2月20日，星期三第10章液体运动的三元分析10.1基本概念回顾10.2液体运动的基本形式10.3基本方程——连续方程，运动方程10.4液体流动的一个特例——势流第13页，共47页，2023年，2月20日，星期三10.2液体微团运动的基本形式Lagrange方法，追踪液体微团的运动液体微团：是由液体质点组成的（有限尺寸），具有平移、旋转刚体运动和伸缩、剪切等变形运动的微小液体团。其边界随着液体一起运动，边界面的形状和大小可以随时间变化。如何采用力学手段进行描述？变形体力学+刚体力学第14页，共47页，2023年，2月20日，星期三10.2.1液体微团运动的刚体运动平移运动：例如，液体微团的“随大流”，滔滔江水，势不可挡旋转运动：液体微团的旋转角速度——液体微团上相互垂直的两条直线旋转角速度的平均值。以直线的逆时针旋转的角度为正旋转角速度ωz表示液体微团的旋转轴与z轴平行第15页，共47页，2023年，2月20日，星期三10.2.2液体微团运动的变形运动伸缩运动：线变形运动。单位时间、单位长度线段的伸缩变形速度称为线变形速度。第16页，共47页，2023年，2月20日，星期三液体微团运动的变形运动（续）剪切变形运动：角变形运动。平面上相互垂直的线段间的夹角在流动中会扩张或收缩。这个扩张或收缩速度的一半定义为液体微团的剪切变形速度。第17页，共47页，2023年，2月20日，星期三例子液体微团的平移运动液体微团的旋转运动-有涡流（绕自身轴的旋转）第18页，共47页，2023年，2月20日，星期三例子液体微团的伸缩运动液体微团的剪切变形运动，无旋转运动第19页，共47页，2023年，2月20日，星期三第10章液体运动的三元分析10.1基本概念回顾10.2液体运动的基本形式10.3基本方程——连续方程，运动方程

10.4液体流动的一个特例——势流第20页，共47页，2023年，2月20日，星期三应用控制体的概念，已推导出液体三元流动的连续方程（式（3.3.15））：随时间和空间的变化教材10.3节再次应用控制体的概念，重新推导了液体三元流动的连续方程（式（10.3.3））：基本思路是：单位时间内，控制体内的质量随时间的变化与流出与流入控制体的液体质量之和等于零。因为液体是连续的，充满整个流动空间。10.3.1基本方程——连续方程第21页，共47页，2023年，2月20日，星期三实际上，推导大可不必这么繁琐！只需应用高斯公式，即可由式（3.3.15）直接推导出式（10.3.3）：

cos,cosβ,cosγ为曲面S法向正方向的方向余弦

第22页，共47页，2023年，2月20日，星期三对于不可压缩液体，密度为常数（不随时空而变），从而上式就是对于实际液体和理想液体都适用的连续方程！

第23页，共47页，2023年，2月20日，星期三连续方程只反映了液体运动的运动学条件，即液体质点速度之间的关系，没有说明液体运动的动力学条件，即液体所受外力与速度之间的关系。这个关系要通过描述运动方程来反映（是动量守恒的体现）。对于实际液体（此处只指牛顿液体），液体质点间除法向存在假想的平均动水压强p以外，还存在着由于液体粘性所引起的附加正应力σ′和附加剪应力τ。

10.3.2基本方程——运动方程第24页，共47页，2023年，2月20日，星期三附加正应力总正应力附加切应力第25页，共47页，2023年，2月20日，星期三针对微元控制体，应用动量守恒定律，可得不可压缩、实际液体的运动微分方程（过程见教材）：式中v为运动黏度，与动力黏度的关系v=µ/ρ，见表1.3.1。

第26页，共47页，2023年，2月20日，星期三对于理想液体，则令v

=0，可得不可压缩、理想液体的运动微分方程，称为Euler运动微分方程：理想液体式中未知数为压强p，液体质点的运动速度ux,uy,uz

。上式共3个方程，加上1个连续方程，共4个。4个未知数，4个方程，加上给定的初始、边界条件，理论上可求解。

第27页，共47页，2023年，2月20日，星期三需要指出的是：（1）连续方程在渗流、波浪、明渠非恒定流等具体工程应用中的形式基本不变。它反映了流场中的流动连续，质量守恒。（2）运动方程在渗流、波浪、明渠非恒定流等具体工程应用中具有不同的变化和利用形式。学习时应注意前后对照。第28页，共47页，2023年，2月20日，星期三例如，若在Euler运动微分方程中引入旋转角速度，可导出葛罗米柯运动微分方程：式中

第29页，共47页，2023年，2月20日，星期三第10章液体运动的三元分析10.1基本概念回顾10.2液体运动的基本形式10.3基本方程——连续方程，运动方程

10.4液体流动的一个特例——势流第30页，共47页，2023年，2月20日，星期三10.4液体流动的一个特例：势流无涡流——若液体流动时每个液体微团不存在绕自身轴的旋转运动，则称此流动为无涡流，也称为无旋流，势流。有涡流——若液体流动时每个微团都存在着自身轴的旋转运动，则称此流动为有涡流。

下面只讲无涡流，即势流。第31页，共47页，2023年，2月20日，星期三势流上之右式的成立，是为某一函数的全微分的充分必要条件，其中t为参变量。

旋转角速度ωx表示液体微团的旋转轴与x轴平行。第32页，共47页，2023年，2月20日，星期三由于无涡流中存在着流速势函数

φ(x,y,z,t)，因此也称无涡流为势流。第33页，共47页，2023年，2月20日，星期三（1）对于不可压缩液体的势流，连续方程——小结势流需要满足的连续方程＆运动方程：第34页，共47页，2023年，2月20日，星期三（2）对于理想液体的无涡流动，假设质量力有势，液体不可压缩，则由葛罗米柯运动微分方程可导出如下运动方程——第35页，共47页，2023年，2月20日，星期三进一步，若质量力只有重力（X=Y=0，Z=-g），则由上之微分方程进行积分，可导出如下的拉格朗日能量方程（运动方程的积分形式）：此式表明，在理想、不可压缩、重力作用下液体的势流中，在任一指定时刻t，流场中任何位置处的均相等，且等于常数C(t)。该常数由边界条件定出。此方程在波浪理论中有应用。第36页，共47页，2023年，2月20日，星期三对平面势流存在

运动要素仅和两个坐标有关的流动称为平面流动。无涡的平面流动称为平面势流。势流理论在渗流、波浪等工程问题中有很大的用处。10.4.1.连续方程、运动方程势流的特殊情况——恒定平面势流第37页，共47页，2023年，2月20日，星期三对不可压缩液体，恒定平面势流的——运动方程：连续方程：第38页，共47页，2023年，2月20日，星期三10.4.2流速势及等势线把值相等的点连接起来的曲线就称为等势线。函数的全微分为所以有等势线的方程为第39页，共47页，2023年，2月20日，星期三流速势函数的性质：流速势函数在某一方向m上的偏导数，就等于流速u在该方向上的投影。等势面或等势线与流线正交，等势面就是过水断面。流速势函数沿流线s方向增大。流速势函数是调和函数，满足Laplace方程。第40页，共47页，2023年，2月20日，星期三的方程就是Laplace方程，故流速势是一个调和(Harmonic)函数。Laplace方程的解法在水力学及流体力学中最常用的有流网法、势流叠加法、数值解法等。形如第41页，共47页，2023年，2月20日，星期三在XY平面的平面流，其流线方程式为若上式左边是某一函数的全微分，则上式就可积分。10.4.3流函数及其性质：求解平面流就是要求解水流的流动场和流动图形，流线反映了平面流的流动图形。或写作此函数叫做平面流的流函数。第42页，共47页，2023年，2月20日，星期三比较上两式可知，流函数存在的充分必要条件在某一确定时刻，函数的全微分可写作

流函数存在的充分必要条件就是不可压缩液体的连续方程，所以不可压缩液体作