切线长定理-知识讲解(基础)

切线长定理一知识讲解(基础)责编：康红梅【学习目标】了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称 •切线是直线，而非线段•.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等•圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等•要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 •这个三角形叫作圆的外切三角形•2•三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心形的三条角平分线的交点•

三角形的内心是这个三角要点诠释：任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；1I'：(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2⑶三角形的外心与内心的区别:名称名称外心(外接圆的圆确定方法图形性质A三角形三边中垂线的(1)0A=0B=0C(2)外心不一交占八、、定在三角形内部心)内心(三角形内切圆的圆心)

三角形三条角平分线的交点

X (1)到三角形三边距离相等;(2)OA、OBOC分别平分MBAGMABGMACB⑶内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理秋?PAPBOOAB,EABEPACPB于D.(1PA=6,PCD(2)若/P=50°求/DOC解：(1)连接OE•••PAPB与圆O相切，•••PA=PB=6同理可得：AC=CEBD=DE△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+P；=12(2)TPAPB与圆O相切，•••/OAPMOBP=90/P=50°,•••/AOB=360-90°-90°-50°=130°,在Rt△AOC和Rt△EOC中，rOA=OELOC=OC ，Rt△AOQRt△EOC(HL),•••/AOCHCOE同理：/DOEMBOD/=25.【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键.2.(2016秋?江阴市校级期中)如图，AB、AC、BD是OO的切线，P、C、D为切点，如果AB=5,AC=3，贝UBD的长为 AC、BD是OO的切线，贝UAC=AP,BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长.•••AC=AP,•/BP、BD为OO的切线,•BP=BD,•BD=PB=AB-AP=5-3=2.故答案为：2.举一反三： 【答案】2.【变式】已知：如图，OOA AD_解析: /A、P为OO的切线,过点

于点 求证：DA为【总结升华】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键.为.：ABC的外接圆，BC为OO的直径，作射线BF，使得BA平分三CBF,的切线.AO=BO2=.3.BA平分.CBF,• •1=.2.•Z3Z1.DB//AO.AD_DB,• BDA90..DAO90.【答案】O是.半径，•DA为OO的切线.3.内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切则△ADE的面积（ ）

ABCDBC为直径在正方形ABCDFDC相交于E点，A.12【答案】

B.24 C.8 D.6【解析】AE 0F,显然根据切线长定理有AF=AB=4cm,EF=EC,设EF=EC=xcm,则DE=(4-cm,AE=(4+x)cm,在三角形ADE中由勾股定理得：222(4-+4=(4+x),x=1cm,/•CE=1cm,.DE=4-仁3cm,2--^DE=AD?DE-=2=3^4^2=6cm-【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF,EF=EC.类型二、三角形的内切圆4.(2015?青江市校级二模)如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，00经过B点且与AI相切于I点.求证：AB=ACBC=16005AI的长.【解题思路】AIBCD,OI,如图，根据内心的性质得/OBI=ZDBIOI//BDOIAIUBDLADAI平分/BAC所以△ABC为等腰三角形，得到AB=AC(2OI//BC得到△AOIsAABD得到比例式，再根据勾股定理求得【答案与解析】解：(1AIBCD,OI，如图,

ADJAB2BD2T是厶 ABC的内心，•••BI平分/ABC即/OBI=ZDBI,•/OB=O|•••/OBI=ZOIB,•••/DBI=ZOIB,01//BD•/AI为OO的切线，01AI,BDLAD•/AI平分/BACABC为等腰三角形，AB=AC(2)TOI//BC△AOIsAABD-yli.Hiii，•订:AB』AI=?AD=BD8Ai2"32,

二11~=~【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键.举一反三：ABC中，/BC=4,AC