苏教版-必修五-第一章 解三角形“黄冈赛”一等奖

《解三角形应用举例》教学设计一、教学目标进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用，熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要作用．教学重点：1．实际问题向数学问题的转化；2．解斜三角形的方法．二、教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定．三、教学过程（一）复习回顾上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧．这一节，我们给出三个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决．（二）例题指导［例1］如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长．分析：如图所示，对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解．而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解．解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ，由正弦定理得AC＝eq\f(asinδ,sin[1800－（α＋δ）])＝eq\f(asinδ,sin（α＋δ）)在△BCD中，由正弦定理得BC＝eq\f(asinβ,sin[1800－（β＋γ）])＝eq\f(asinβ,sin（β＋γ）)在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝α－β，所以用余弦定理．就可以求得AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BC·cos（α－β）)评述：（1）要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用；（2）注意体会例1求解过程在实际当中的应用．［例2］据气象台预报，距S岛300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响．问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由．分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化．S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB．解：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cosSAB＝3002＋（30t）2－2·300·30tcos60°若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702化简整理得，t2－10t＋19≤0解之得，5－eq\r(6)≤t≤5＋eq\r(6)所以从现在起，经过5－eq\r(6)小时S岛开始受到影响，（5＋eq\r(6)）小时后影响结束．持续时间：（5＋eq\r(6)）－（5－eq\r(6)）＝2eq\r(6)小时．答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－eq\r(6)）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2eq\r(6)小时．评述：此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成立去寻求解存在条件．本题求解过程采用了第一种思路．SB≤270是否有解最终转化为关于t的一元二次不等式是否有解，与一元二次不等式解法相联系．说明：本节两个例题要求学生在教师指导下自己完成，以逐步提高解三角形应用题的能力．练习：1．海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?答案：不会触礁．2．直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km／h速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小．答案：约1．3小时．（三）课时小结通过本节学习，要求大家进一步掌握利