苏教版-必修五-第二章 数列-2.3 等比数列 说课一等奖

《等比数列的前n项和》同步练习1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比．2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn．4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2．5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值．7．求和（x＋eq\f(1,x)）2＋（x2＋eq\f(1,x2)）2＋…＋（xn＋eq\f(1,xn)）28．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和．参考答案1．分析：利用等比数列的前n项和公式Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)解题．解：若q＝1，则应有S2n＝2Sn，与题意不合，故q≠1．当q≠1时，由已知得eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝80①,eq\f(a1（1－q2n）,1－q)＝6560②))由eq\f(②,①)，得eq\f(1－q2n,1－qn)＝82，即q2n－82qn＋81＝0得qn＝81或qn＝1(舍)，∴qn＝81，故q＞1．{an}的前n项中最大，有an＝54．将qn＝81代入①，得a1＝q－1 ③由an＝a1qn－1＝54，得a1qn＝54q即81a1＝54q ④由③、④得a1＝2，q＝3评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出qn＝81，应保留qn为一个整体求解方便．2．分析：应对{an}的公比q分类讨论．解：设bn＝a(n－1)k+1＋a(n－1)k+2＋…＋ank，且数列{an}的公比为q则当q＝1时，b1＝b2＝…＝bn＝…＝ka1,∴{bn}为公比是1的等比数列．当q≠±1时，bn＝eq\f(a（n－1）k＋1（1－qk）,1－q)，eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(ank＋1,a（n－1）k＋1)＝qk∴{bn}为公比是qk的等比数列．当q＝－1时，若k为偶数，则bn＝0，此时{bn}不能为等比数列．若k为奇数，数列{bn}为公比为－1的等比数列．综上：当{an}的公比不为－1时，数列{bn}仍为等比数列；当{an}的公比为－1时，若k为偶数，则{bn}不是等比数列；当k为奇数时，数列{bn}为公比为－1的等比数列．3．解：(1)a＝0时，Sn＝1；(2)a＝1时，Sn＝eq\f(1,2)n(n＋1)；(3)a＝－1时，Sn＝eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(n,2)（n为偶数）,eq\f(n＋1,2)（n为奇数）))；(4)a＝±1；a≠0时，Sn＝eq\f(（1－an）（1－an＋1）,（1－a）（1－a2）)．4．分析：由于条件中涉及Sn与an的关系，因此，要考虑Sn－Sn－1＝an(n≥2)的运用，然后回答定义．（1）证明：∵Sn＝1＋kan ①Sn－1＝1＋kan－1 ②①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)∴(k－1)an＝kan－1，eq\f(an,an－1)＝eq\f(k,k－1)(常数)，（n≥2）∴{an}是公比为eq\f(k,k－1)的等比数列．（2）解：∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝eq\f(1,1－k)∴an＝eq\f(1,1－k)·(eq\f(k,k－1))n－1＝－(3)解：∵{an}中a1＝eq\f(1,1－k)，q＝eq\f(k,k－1)∴{an2}为首项为（eq\f(1,k－1)）2，公比为（eq\f(k,k－1)）2的等比数列．当k＝－1时，等比数列{an2}的首项为eq\f(1,4)，公比为eq\f(1,4)∴a12＋a22＋…＋an2＝eq\f(eq\f(1,4)[1－（eq\f(1,4)）n],1－eq\f(1,4))＝eq\f(1,3)[1－（eq\f(1,4)）n]评述：应注意an＝eq\b\lc\{(\a\al(S1（n＝1）,Sn－Sn－1（n≥2）))的应用．5．解：设数列的公比为q，项数为2n则eq\b\lc\{(\a\al(a1＋a3＋…＋a2n－1＝85,a2＋a4＋…＋a2n＝170))，得q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝170，∴q＝2又∵eq\f(a1（1－q2n）,1－q2)＝85，即eq\f(1－22n,1－22)＝85∴22n＝256＝28，∴2n＝8评述：在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及到a1，n，q，an，Sn5个量，其中a1和q是基本量，利用这两个公式，可知三求二．6．分析：关键是确定首项和公比．解：设此数列的首项和公比为a1和q．则eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(a1（1－q4）,1－q)＝1①,eq\f(a1（1－q8）,1－q)＝3②))由②÷①得q4＝2．∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝eq\f(a1（1－q20）,1－q)－eq\f(a1（1－q16）,1－q)＝eq\f(a1q16（1－q4）,1－q)＝q16＝24＝16．评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a1和q,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简．7．分析：注意到（xn＋eq\f(1,xn)）2＝an＝x2n＋eq\f(1,x2n)＋2，且{x2n}与{(eq\f(1,x))2n}为等比数列，故可考虑拆项法．解：Sn＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋(eq\f(1,x2)＋eq\f(1,x4)＋…＋eq\f(1,x2n))＋当x＝±1时，Sn＝n＋n＋2n＝4n．当x≠±1时，Sn＝eq\f(x2（1－x2n）,1－x2)＋eq\f(eq\f(1,x2)（1－eq\f(1,x2n)）,1－eq\f(1,x2))＋2n＝eq\f(（x2n－1）（x2n＋2＋1）,x2n（x2－1）)＋2n评述：在运用等比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1．8．分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题．解：（1）当x＝0时，Sn＝0．(2)当x＝1时，Sn＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝eq\f(1,2)n(n＋3)．(3)当x≠1时，Sn＝2x2＋3x3＋4x4＋…＋(n＋1)xn+1 ①xSn＝2x3＋3x4＋4x5＋…＋nxn+1＋(n＋1)xn+2 ②①－②得：（1－x）Sn＝2x2＋x3＋x4＋…＋xn+1－(n＋1)xn+2＝2x2＋eq\f(x3（1－xn－1）,1－x)－(n＋1)xn+2∴Sn＝eq\f(2x2―x3―（n＋2）xn+2＋（n＋1）xn+3,（1－x）2) ③又当x＝0时，Sn