第七章 系统函数

第七章系统函数第1页，共85页，2023年，2月20日，星期三§7.1系统函数与系统特性主要内容：一、系统的零点与极点二、系统函数与时域响应三、系统函数与频域响应第2页，共85页，2023年，2月20日，星期三一、系统的零点与极点LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式,它是s或z的有理多项式B(·)与A(·)之比。对于连续系统第3页，共85页，2023年，2月20日，星期三对于离散系统A(·)=0的根p1，p2，······，pn称为系统函数H(·)的极点；B(·)=0的根ζ1，ζ2，······，ζm称为系统函数H（·）的零点

极点pi和零点ζi的值可能是实数、虚数或复数。由于A(·)和B(·)的系数都是实数，所以零、极点若为虚数或复数，则必共轭成对。第4页，共85页，2023年，2月20日，星期三例1、已知系统函数如下所示，请求出系统的零、极点，并画出其分布图解：零点：＝－2；极点：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j将零点、极点画在复平面上得到零、极点分布图（2）j

j-j-1-2极点用“”表示；零点用“o”表示。本题：由H(s)得到零极点图第5页，共85页，2023年，2月20日，星期三例2、已知H(s)的零、极点分布图如下图所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表达式。j

j2-j2-1解：极点p1＝-1＋j2;p2=-1-j2零点＝0所以根据初值定理，有本题：由零极点图得到H(s)第6页，共85页，2023年，2月20日，星期三二、系统函数H(·)与时域响应h(·)冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。1．连续因果系统

H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。

（1）在左半平面若系统函数有负实单极点p=–α(α>0)，则A(s)中有因子(s+α)，其所对应的响应函数为Ke-αtε(t)第7页，共85页，2023年，2月20日，星期三(b)若有一对共轭复极点p12=-α±jβ，则A(s)中有因子[(s+α)2+β2]---Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c)若有r重极点，则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其响应为Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。（2）在虚轴上(a)单极点p=0或p12=±jβ，则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----稳态分量

(b)r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—递增函数

第8页，共85页，2023年，2月20日，星期三（3）在右半开平面：均为递增函数。

综合结论：LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t→∞时，响应均趋于0。②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t→∞时，响应均趋于∞。第9页，共85页，2023年，2月20日，星期三2．离散因果系统

H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。根据z与s的对应关系，有结论：①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k→∞时，响应均趋于0。②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞。第10页，共85页，2023年，2月20日，星期三系统函数的收敛域与其极点的关系：根据收敛域的定义，H(.)收敛域不能含H(.)的极点。例3、某离散系统函数为（1）若系统为因果系统，求单位序列响应h(k)；（2）若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k)；（3）若系统为双边序列，求单位序列响应h(k)；解：（1）因为系统为因果系统，所以收敛域为|Z|>3;所以第11页，共85页，2023年，2月20日，星期三（2）因为系统为反因果系统，所以收敛域为|Z|<1/2;所以（3）因为系统为双边序列，所以收敛域为1/2<|Z|<3;所以问：因果系统的极点在…第12页，共85页，2023年，2月20日，星期三二、系统函数与时域响应时域特性能反映响应变化的快慢、上升、下降时间长短及衰减的程度等。系统的自由响应（P42）的函数（或序列）形式由A(·)的根确定，亦即由H(·)的极点确定，而冲击响应或单位序列响应的函数形式也由H(·)极点确定。第13页，共85页，2023年，2月20日，星期三××××××××jωσtttttt

H(s)的极点与所对应的响应函数1、连续系统>0第14页，共85页，2023年，2月20日，星期三结论：1）LTI连续系统的自由响应（书P42）、冲击响应的函数形式由H(s)的极点确定。2）H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的，当t->∞时，对应的响应函数趋近于零。极点全部在左半平面的系统是稳定的系统（见§7.2）。3）H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变化。4）H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或在右半开平面上的极点，其所对应的响应函数都随t的增长而增大，当t趋于无限时，它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。见书P237第15页，共85页，2023年，2月20日，星期三2、离散系统离散系统的系统函数H(z)的极点，按其在z平面的位置可分为：在单位圆内、单位圆上和单位圆外三类。S域与Z域的关系T为取样周期S表示为直角坐标形式Z表示为坐极标形式可见，S平面的左半平面(<0)对应Z平面的圆内(|Z|=<1);在S平面以虚轴为界，Z平面以|Z|=1的单位圆为界第16页，共85页，2023年，2月20日，星期三S平面映射到Z平面第17页，共85页，2023年，2月20日，星期三kko××kkkk×××××××Im[z]Re[z]H(z)的极点与所对应的响应离散系统第18页，共85页，2023年，2月20日，星期三结论：1)、LTI离散系统的自由响应、单位序列响应的函数形式由H(z)的极点确定。2)、H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列是衰减的，当k->∞时，对应的响应序列趋近于零。极点全部在单位圆内的系统是稳定的系统。3)、H(z)在单位圆上的一阶极点对应的响应序列的幅度不随时间变化。4)、H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点或在单位圆外的极点，其所对应的响应序列都随k的增长而增大，当k趋于无限时，它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。第19页，共85页，2023年，2月20日，星期三三、系统函数与频域响应在s平面上，任意复数（常数或变数）都可以用有向线段表示ζj

φj

θi

pi

jωjωσoAiBj×零、极点矢量图1、连续系统要求系统函数的极点都在左半开平面第20页，共85页，2023年，2月20日，星期三对于任意极点pi和零点ζj令式中Ai、Bj分别是差矢量（jω-pi)和（jω-ζj）的模，θi、φj是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：第21页，共85页，2023年，2月20日，星期三相频响应：式中幅频响应：提示：把频率从0（或-）变化到+,根据各矢量模和幅角的变化，就可大致画出幅频响应和相频响应曲线。第22页，共85页，2023年，2月20日，星期三例1、某线性系统的系统函数的零、极点如图所示,已知H(0)=1。(1)求该系统的冲激响应和阶跃响应(2)若该系统的零状态响应为求其激励(3)大致画出系统的幅频特性和相频特性j

-1-2-30第23页，共85页，2023年，2月20日，星期三解:(1)根据零极点图，得因为H(0)=1K=6（2）第24页，共85页，2023年，2月20日，星期三(3)因为极点均在左半开平面，所以根据上式可分别画出其幅频曲线和相频曲线j

-1-2-30A1A221第25页，共85页，2023年，2月20日，星期三幅频曲线相频曲线第26页，共85页，2023年，2月20日，星期三全通函数：

如果系统的幅频响应|H(jω)对所有的ω均为常数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。以二阶系统为例说明。如有二阶系统，其系统函数在左平面有一对共轭极点：p1,2=－α±jβ，令s1=－p1，s2=－p2，它在右半平面上有一对共轭零点ζ1=α＋jβ=s1，ζ2=α－jβ=s2，那么系统函数的零点和极点对于jω轴是镜像对称的。其系统函数可写为：第27页，共85页，2023年，2月20日，星期三其频率特性为：对所有的ω有A1=B1，A2=B2，所以幅频特性相频特性：上述幅频响应为常数的系统，对所有频率的正弦信号都一律平等地传输，因而被称为全通系统，其系统函数称为全通函数。无失真传输？？第28页，共85页，2023年，2月20日，星期三φ1

θ1

jωjωoA1B1s2

-s1-s2θ2φ2s1A2B2××2π

1H|jω|H|jω|Φ(ω)

Φ(ω)ω如下图所示：最小相移函数:右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。全通函数:若系统的幅频响应|H(jω)|为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。第29页，共85页，2023年，2月20日，星期三2、离散因果系统的频率响应若H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位圆上也收敛，频率响应为：式中＝Ts,为原来信号的角频率，Ts为取样周期系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的系统函数第30页，共85页，2023年，2月20日，星期三例7.1-2某离散因果系统的系统函数求其频率响应。解：由H(z)的表达式可知，其极点在p=1/3处，故收敛域包括单位圆，系统的频率响应（=Ts）第31页，共85页，2023年，2月20日，星期三其幅频响应为相频响应为响应曲线？？第32页，共85页，2023年，2月20日，星期三一、系统的因果性因果系统指的是，系统的零状态响应yzs(·)不出现于激励f(·)之前的系统。即对于任意的f(.)=0,t(或k)<0,如果系统的零状态响应都有yzs(.)=0,t(或k)<0，就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。连续因果系统的充分和必要条件是：或者，系统函数H(s)的收敛域为：0>0;0<0;0=0??§7.2系统的因果性与稳定性第33页，共85页，2023年，2月20日，星期三离散因果系统的充分和必要条件是：或者，系统函数H(z)的收敛域为即其收敛域为半径等于0的圆外区域，或者说H(z)的极点都在收敛圆|z|=0内部第34页，共85页，2023年，2月20日，星期三二、系统的稳定性一个系统（连续的或离散的），如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳定的系统，简称为稳定系统。也就是说，设Mf，My为正常数，如果系统对于所有的激励其零状态响应则称该系统是稳定的。连续系统是稳定系统的充分和必要条件：连续因果系统第35页，共85页，2023年，2月20日，星期三离散系统是稳定系统的充分和必要条件：离散因果系统

若H(z)的收敛域包括单位圆，则系统是稳定的；对于既是稳定的又是因果的连续系统，其系统函数H(s)的极点都在s平面的左半开平面；其逆也成立。若存在虚轴上的一阶极点，按上面的定义是不稳定的，但有时也称为边界稳定系统。对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数H(z)的极点都在z平面的单位圆内；其逆也成立。第36页，共85页，2023年，2月20日，星期三例1、如图所示的反馈因果系统，问当k满足什么条件时，系统是稳定的，其中子系统的系统函数为F(s)G(s)KY(s)X(s)解：设加法器的输出信号为X(s),有第37页，共85页，2023年，2月20日，星期三H(s)的极点为为使极点在左半平面，必须K<2第38页，共85页，2023年，2月20日，星期三例2、y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)(1)若为因果系统，求h(k),并判断系统是否稳定；（2）若为稳定系统，求h(k)。解：若为因果系统，则|z|>2系统不稳定（2）若系统是稳定的，0.5<|z|<2;所以问，该系统是因果系统吗？若|z|<0.5，系统稳定吗？第39页，共85页，2023年，2月20日，星期三例3、下图为离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围。F(z)Z－1Y(z)2a解：设加法器输出信号为X(z),有为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位圆内，即有|a|<1第40页，共85页，2023年，2月20日，星期三例7.2-2如图7.2-4所示的离散系统，当K满足什么条件时，系统是稳定的？F(z)Y(z)Z－1Z－1k3X(z)12解：设系统左端加法器的输出为X(z),则有第41页，共85页，2023年，2月20日，星期三所以系统函数为当k1/4时，为实极点，为使极点在单位圆内，必须满足K>0当k>1/4时，为复极点，为使极点在单位圆内，必须满足|p1,2|<1,可得k<1;所以当0<k<1时系统是稳定的。第42页，共85页，2023年，2月20日，星期三三、连续因果系统稳定性判断准则——罗斯-霍尔维兹准则

所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。1、必要条件—简单方法一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：（1）所有系数都必须非0，即不缺项；（2）系数的符号相同。例1

A(s)=s3+4s2-3s+2符号相异，不稳定例2

A(s)=3s3+s2+2，a1=0，不稳定例3

A(s)=3s3+s2+2s+8需进一步判断，非充分条件。对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。第43页，共85页，2023年，2月20日，星期三2、罗斯列表将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列第1行anan-2an-4…第2行an-1an-3an-5…第3行cn-1cn-3cn-5…它由第1，2行，按下列规则计算得到：…第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。第44页，共85页，2023年，2月20日，星期三特例：对于二阶系统A(s)=a2s2+a1s+a0，若a2>0，不难得出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：a1>0，a0>0例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：212218028.502第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。

第45页，共85页，2023年，2月20日，星期三例2已知某因果系统函数为使系统稳定，k应满足什么条件？解列罗斯阵列331+k(8-k)/31+k所以，–1<k<8，系统稳定。第46页，共85页，2023年，2月20日，星期三四、离散因果系统稳定性判断准则——朱里准则

为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。朱里列表：第1行anan-1an-2……a2a1a0第2行a0a1a2……an-2an-1an第3行cn-1cn-2cn-3……c1c0第4行c0c1c2……cn-2cn-1第5行dn-2dn-3dn-4……d0第6行d0d1d2……dn-2

……第2n-3行r2r1r0第47页，共85页，2023年，2月20日，星期三第3行按下列规则计算：…一直到第2n-3行，该行有3个元素。朱里准则指出，A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是:(1)A(1)>0(2)(-1)nA(-1)>0

(3)an>|a0|cn-1>|c0|dn-2>|d0|……r2>|r0|奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得A(1)>0A(-1)>0a2>|a0|第48页，共85页，2023年，2月20日，星期三例A(z)=4z4-4z3+2z-1解4-402-1-120-4415-140440-1415209

-210564>1，15>4，209>56所以系统稳定。

(-1)4A(-1)=5>0排朱里列表A(1)=1>0第49页，共85页，2023年，2月20日，星期三§7.3信号流图主要内容信号流图梅森公式第50页，共85页，2023年，2月20日，星期三信号流图是用有向的线段和点描述线性方程组变量间因果关系的一种图。信号流图用来描述系统较方框图更为简便；而且通过梅森公式将系统函数与相应的信号流图联系起来，不仅有利于系统分析，而且也便于系统模拟。一.信号流图第51页，共85页，2023年，2月20日，星期三Y(z)H(s)F(s)Y(s)H(s)F(s)Y(s)H(z)F(z)H(z)F(z)Y(z)方框图信号流图一般而言，信号流图是一种赋权的有向图。它由连接在结点间的有向支路构成。它的一些术语定义如下：第52页，共85页，2023年，2月20日，星期三2、源点：仅有出支路的结点称为源点。汇点：仅有入支路的结点称为汇点。信号流图基本术语1、结点和支路

信号流图中的每个结点对应于一个变量或信号，连接两结点间的有向线段称为支路，每条支路的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）。3、通路

从任一结点出发沿着箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点到达另一结点的路径称为通路。通路包含有：开通路、闭通路或回路（或环路）、不接触回路、自回路（自环）等。第53页，共85页，2023年，2月20日，星期三前向通路：从源点到汇点的开通路。闭通路或回路（或环路）:通路的起点就是通路的终点（与其余节点相遇不多于一次）不接触回路:相互没有公共节点的回路。自回路（自环）:只有一个节点和一条支路的回路。开通路:如果通路与任一节点相遇不多于一次；第54页，共85页，2023年，2月20日，星期三dx5x4x3x2x11abcgfe前向通路：x1x2x3x4x5;x1x2x3x5回路:x2x3x2;x2x3x4x2;x4x4不接触回路：

x2x3x2与x4x4自回路：

x4x4通路(开通路或回路)中各支路增益的乘积称为通路增益（或回路增益）第55页，共85页，2023年，2月20日，星期三流图化简的规则

（2）两条增益分别为a和b的支路相并联，可以合并为一条增益为（a+b）的支路。（1）两条增益分别为a和b的支路相串联，可以合并为一条增益为a·b的支路，同时消去中间的结点。第56页，共85页，2023年，2月20日，星期三（3）一条x1x2x3的通路，如果x1x2支路的增益为a，x2x3的增益为c，在x2处有增益为b的自环，则可以化简为增益为ac/(1-b)的支路，同时削去结点x2。第57页，共85页，2023年，2月20日，星期三（1）将串联支路合并从而减少结点；（2）将并联支路合并从而减少支路；信号流图化简步骤（3）消除自环。反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化为只有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系统函数。第58页，共85页，2023年，2月20日，星期三例7.3-1求图下图所示信号流图的系统函数解

根据串联支路合并规则，将图(a)中回路x1

x2x1和x1

x2

x3

x1化简为自环，如图b所例7.3-1第59页，共85页，2023年，2月20日，星期三示，将x1到Y(s)之间各串联、并联支路合并，得图（c）。并利用并联支路合并规则，将x1处两个自环合并，然后消除自环，得图（d）。于是得到系统函数这正是二阶微分方程的系统函数。第60页，共85页，2023年，2月20日，星期三二、梅森公式

梅森公式为式中：Δ称为信号流图的特征行列式，其中是所有不同回路的增益之和；是所有两两不接触回路的增益乘积和是所有三个都互不接触回路的增益乘积之和。第61页，共85页，2023年，2月20日，星期三

i表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号；Pi是由源点到汇点的第i条前向通路的增益；i是第i条前向通路特征行列式的余因子，它是与第i条前向通路不相接触的子图的特征行列式。第62页，共85页，2023年，2月20日，星期三例7.3-2求右图信号流图的系统函数。例7.3-2解为了求出特征行列式Δ，先求出有关参数。上图共有4个回路，各回路的增益为

x1x2

x1回路，L1=－G1H1

x2x3

x2回路，L2=－G2H2

x3

x4

x3回路，L3=－G3H3

x1

x4x3x2x1回路，L4=－G1G2G3H4它只有一对两两互不接触的回路x1

x2x1与x3x4x3，第63页，共85页，2023年，2月20日，星期三其回路增益乘积为没有三个以上的互不接触的回路。所以得再求其它参数。图中有两条前向通路，对于前向通路Fx1x2

x3

x4

Y

,其增益为由于各回路都与该通路有接触，故Δ1=1对于前向通路Fx1x4

Y

，其增益为第64页，共85页，2023年，2月20日，星期三最后，按式（7.3-8）得不与P2接触的回路有x2x3

x2，所以第65页，共85页，2023年，2月20日，星期三§7.4系统模拟主要内容直接实现级联实现并联实现为了对信号(连续或离散的信号)进行处理（如滤波），就必须构造出合适的实际结构（硬件实现结构或软件运算结构）。第66页，共85页，2023年，2月20日，星期三对于同一系统函数，通过不同的运算，可以得到多种形式的实现方案，常用的有直接形式、级联和并联形式等。一、直接实现将上式分子、分母除以s2,上式可写为设二阶系统的系统函数第67页，共85页，2023年，2月20日，星期三

根据梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式Δ，括号内表示有两个互相接触的回路，其增益分别为-a1s-1和-a0s-2。H(s)的分子表示三条前向通路，其增益分别为b2、b1s-1和b0s-2，并且不与各前向通路相接触的子图特征行列式Δi（i=1,2,3)均等于1，也就是说，信号流图中的两个回路都与各前向回路相接触，这样就以得到(a)信号流图，其对应的s域框图如图(b)。第68页，共85页，2023年，2月20日，星期三还可以得到如下的信号流图和框图。以上的分析方法可以推广到高阶的情形。见书P348例7.4-1某连续系统的系统函数用直接形式模拟系统。第69页，共85页，2023年，2月20日，星期三解

将H(s)改写为根据梅森公式，可画出上式的信号流图如图（a)信号流图的转置第70页，共85页，2023年，2月20日，星期三二、级联和并联实现

级联形式是将系统函数H(z)(或H(s))分解为几个简单的系统函数的乘积，即其框图形式如下图所示，其