阳关三叠 妙解生花 论文

阳关三叠妙解生花——一道2022年高考题的解法探究摘要：对2022年普通高等学校全国统一考试（新课标1卷）第7题进行了较为深入的探究，在分析解法的基础上，得到了函数解题方法的启发与升华。关键词：2022年普通高等学校全国统一考试（新课标1卷）比较大小构造函数切线 放缩泰勒展开

正文：

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）数学试题科学、规范、严谨，既注重基础，又考察能力。现对试卷第7题的解法进行细致的探究。（2022年新课标1卷第7题）设a=0.1e0.1,b=1/9,c=-ln0.9,则（）

A．a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

这是一道以比较大小为目标的选择题，考查了转化与化归的思想，体现了逻辑推理、数学抽象等核心素养。现对本题的解题方法和技巧进行深入的探究，从三个不同的方向进行解答，整理成文，便于与各位同行交流学习。方法一（构造法——最朴素的解法，展现最扎实的数学功底）思路1：（将做差进行到底） 1 1 10 10解：∵b–c=–(–ln0.9)=–ln =( 9 9 9 9 10

令x= >1,构造f(x)=x–1–lnx 9 1 x-1

∵f'(x)=1–= >0.x x 10

–1)–ln

9∴f(x)在（1，+∞）单调递增，

∴f(x)>f(1)=0,

∴b–c>0,即b>c;1 1 1∵a–b=0.1e0.1–= (e0.1– )，9 10 1-0.11令x=0.1∈(0,1),构造g(x)=ex– =[ex(1–x)-1]/(1–x),1-x令h(x)=ex(1–x)-1,则h'(x)=–xex<0,

∴h(x)在（0,1）单调递减，

∴h(x)<h(0)=0,∴g(x)<0,

∴a–b<0,即a<b;

a–c=0.1e0.1+ln0.9=0.1e0.1+ln(1–0.1),令x=0.1∈(0,0.1],构造t(x)=xex–ln(1–x)，∴t'(x)=ex(x+1)- 1

=[ex(1–x2)-1]/(1–x)1-x令m(x)=ex(1–x2)-1,

则m'(x)=ex(1–x2-2x)=-ex(x2+2x-1)>0,∴m(x)在(0,0.1]，单调递增，∴m(x)>m(0)=0,∴t'(x)>0,∴t(x)在(0,0.1]，单调递增，

∴t(x)>t(0)=0,∴a–c>0,即a>c.综上，c<a<b,故选C.显然，这种通过两两做差，构造函数，利用导函数研究函数的单调性，进一步来判断大小的方法，是解决比较大小问题常用的方法。但是，这种方法至少要进行两次做差，每次都要化归成统一形式后构造成一个函数，并对其求导，讨论单调性，有时还需要进行二次求导，方能确定其单调性。这种频繁的构造函数、求导、判断范围，使得题目计算量暴增，在时间紧迫的考试中，将是对学生严峻的考验。思路2（无中生有，同构思想）

解：∵a=0.1e0.1，∴抽象出y1=xex，1 o.1 x∵b==9 1-0.1，∴抽象出，y2=1-x ，∵c=–ln0.9=–ln（1–0.1），∴抽象出y3=–ln（1–x）

（由于y1，y2中同含有x项）构造f(x)=y1/y2=ex(1–x)，x∈(0,0.1]，∵f'(x)=–xex<0,∴f(x)在(0,0.1]单调递减，∴f(x)<f(0)=1, a

由=f(0.1)<1，∴a<b;

b构造g(x)=y1–y3=xex+ln（1–x）,x∈(0,0.1]，∴g'(x)=[ex(1–x2)-1]/(1–x)>0,

∴g(x)在(0,0.1]，单调递增，

∴g(x)>g(0)=0,∴g(x)<g(0)=0,

由a–c=g(0.1)>0，∴a>c.综上：c<a<b,故选C.这种通过同构思想，将每个数值化归成统一形式，有利于选择合适的方法（做差或做商）比较大小，进而简化一部分运算。通过代数变形，统一成相同的变量，进而抽象出目标函数。利用这种思想解题，需要学生平时对一些特殊函数如“六大同构函数”有所记忆，有一定的函数积累，方能在构造函数类问题时事半功倍。方法二（巧用结论，解题神助攻）

在平时函数的学习中，我们常用导数放缩技巧，得到一些常用不等式， 1

如：1.ex≥x+1≥x≥x–1≥lnx≥1-(切线放缩) x 1 1

2.lnx≤(x-)(x>1)(飘带函数)

2 x当然我们同样可以通过构造函数，来证明这些不等式。如果，在平时的学习中，做一个“有心人”，收集、整理一些常用的“二级结论”，将有助于我们快速、准确的解决相应的一些问题。1 10 10解：∵x–1≥lnx，∴b== –1>c=–ln0.9=ln ,∴b>c;9 9 99 10 10 1又∵ex≥x+1，∴e-0.1>-0.1+1= ,∴1/e-0.1> ,∴e0.1< ,∴0.1e0.1<,即a<b;10 9 9 9∵a=0.1e0.1>0.1(0.1+1)=0.11,1 1 10 1 10 9又由lnx≤(x-)(x>1)得，c=–ln0.9=ln >( – )<0.11,∴c<a.2 x 9 2 9 10综上：c<a<b,故选C.方法三（泰勒展开，感受复变函数的魅力）解：由处等函数的泰勒展开式：ez=1+z+z2/2!+…+zn/n!ln(1+z)=z-z2/2+z3/3…+(-1)n-1+… 1 1

可得a=0.1e0.1≈0.1[1+0.1+×(0.1)2+×(0.1)3+…]≈0.1105, 2 6 1

b==0.111…,

9 1 1

c=–ln0.9=-ln(-0.1+1)=-[-0.1-×(-0.1)2+×(-0.1)3+…] 2 3 ≈0.1053,

∴c<a<b,故选C.一些初等函数的泰勒展开方法，常采用一些已知展开式进行计算的方法，除了以上ez与ln(1+z)的展开式，我们高中阶段还可以用到cosZ和sinZ的展开式。这些在高等学校教材《复变函数论》中讲到的初等函数的泰勒展开式，如果在平时的教学中适量的交给学生，既有助于快速估算指、对数和三角函数的函数值，又能让高中学生感受高等数学的魅力，激发他们进入大学继续深造的信念。如果说“构造函数”是脚踏实