结构力学课件之结构动力学

§14-1

概述§14-2结构的振动自由度§14-3单自由度结构的自由振动§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动§14-6多自由度结构的自由振动第十四章结构动力学§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动§14-8振型分解法§14-9无限自由度结构的振动§14-10计算频率的近似方法静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称为静力计算。

注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性质来看，要看其对结构产生的影响。一、结构动力计算的特点和任务1.动力荷载与静力荷载的区别：随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称为动力计算。动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载§14-1概述结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速度，必须考虑惯性力的作用。考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。

结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布规律，与时间无关。2.结构动力计算的特点3.结构动力计算可分为两大类：自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫振动。

4.结构动力计算的任务：(2)分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的位移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。(1)分析计算自由振动，得到的结构的动力特性(自振频率、振型和阻尼参数)；§14-1概述周期荷载——

随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。二、动力荷载的分类简谐荷载1.周期荷载非简谐性周期荷载

例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。

§14-1概述在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加)，如爆炸时所产生的荷载。2.冲击荷载

3.突加常量荷载突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重物时所产生的荷载。上述荷载是时间的确定函数，称之为确定性动力荷载。

§14-1概述

随机荷载（非确定性荷载）——荷载的变化极不规则，在任—时刻的数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。随机荷载（非确定性荷载）4.随机荷载§14-1概述结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目单自由度结构多自由度结构（自由度大于1的结构）§14-2结构振动的自由度当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构确定绝对刚性杆件上三个质点的位置只需杆件转角(t)便可，故为单自由度结构。§14-2结构振动的自由度虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移x和竖向位移y两个独立参数才能确定，因此振动自由度等于2，为多自由度体系。三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷大，结构振动时横梁不能竖向移动和转动而只能作水平移动，故振动自由度等于3，多自由度体系。§14-2结构振动的自由度分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法来确定结构的振动自由度。刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。具有两个集中质量，加入三根链杆即能使各质量固定不动其振动自由度为3。注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。§14-2结构振动的自由度实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者有限多自由度的问题进行计算集中质量法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量(实际上是质点)，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨论集中质量法。水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成以x(t)为位移参数的单自由度结构。§14-2结构振动的自由度凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是无限自由度体系。

例：用集中质量法将连续分布质量的简支梁简化为有限自由度体系。将梁二等分，集中成三个集中质量，单自由度体系。将梁三等分，质量集中成四个集中质量的两个自由度体系。§14-2结构振动的自由度自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。初始干扰的形式:（1）结构具有初始位移（2）结构具有初始速度（3）上述二者同时存在1.不考虑阻尼时的自由振动对于各种单自由度体系的振动状态,都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述。梁在质点重量W作用下的挠曲线称为“静平衡位置”。§14-3单自由度结构的自由振动取图示质点弹簧体系中质点的静力平衡位置为计算位移的原点，并规定位移y和质点所受的力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需加的力为k11，称为弹簧的刚度；单位力作用下弹簧产生的位移为δ11

，称为弹簧的柔度，k11与δ11二者之间满足：无重悬臂梁、无重简支梁简化单弹簧体系时，弹簧的刚度系数k11各等于多少？思考：简支梁：悬臂梁：答：§14-3单自由度结构的自由振动为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，需要先建立其振动微分方程，然后求解。振动微分方程的建立方法：（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点

m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上的力有：(a)弹簧恢复力该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。(b)惯性力负号表示其方向恒与加速度的方向相反对于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，恒与质点的重量mg向平衡而抵消，故振动过程中这两个力都毋须考虑。§14-3单自由度结构的自由振动质点在惯性力F1和恢复力Fc作用下维持平衡，则有：或将F1和Fc的表达式代入令（14-1）有（14-2）单自由度结构自由振动微分方程§14-3单自由度结构的自由振动（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：即同刚度法所得方程此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：(a)(b)由初始条件t=0时，有可得到有(14-3)§14-3单自由度结构的自由振动可见:单自由度体系无阻尼的自由振动是简谐振动。

令,有（14-4）

（14-6）其中（14-5）

位移满足周期运动的下列条件：a表示质量m的最大动位移，称为振幅。其由常数ω、初始条件y0和v0决定的。φ是初始位置的相位角，称为初相角。它也取决于常数ω、初始条件y0

和v0

。

T

称为结构的自振周期，其常用的单位为秒(s)。自振周期的倒数代表每秒钟内的振动次数，称为工程频率，记作f，其单位为1／秒(s-1)，或称为赫兹(Hz)。(14-7)§14-3单自由度结构的自由振动表示2π秒内的振动次数，是结构动力性能的一个很重要的标志。

ω的单位为弧度／秒(rad／s)，亦常简写为1／s(s-1)。从圆周运动的角度来看，称它为圆频率，一般称ω为自振频率。根据式(14-1)，可给出结构自振频率ω的计算公式如下：相应地，结构的自振周期T的计算公式为：式中g表示重力加速度，Δst表示由于重量mg所产生的静力位移。结构的自振频率和周期只取决于它自身的质量和刚度，与初始条件及外界的干扰因素无关，它反映着结构固有的动力特性。（14-8）§14-3单自由度结构的自由振动解：三移种支承隶情况的拼梁均为走单自由扬度体系输。例14-1图示为仗三种不更同支承么情况的腹单跨梁奔，EI＝常数脚，在梁倚中点有还一集中激质量m，当不器考虑梁吹的质量锋时，试崖比较三让者的自握振频率膛。据此可得随着结构高刚度的加击大，其自掌振频率也育相应地增合高。§14-昆3单自由度第结构的自帮由振动2.混考虑阻险尼时的黎自由振遭动物体的苗自由振倒动由于卧各种阻员力的作虹用将逐烈渐衰减状下去而固不能无驱限延续烈。阻力可税分为两贤种：一苹种是外朝部介质汽的阻力侦；另一敏种来源掠于物体恶内部的妥作用。墨这些统推称为阻骄尼力。朱通常引长用福格非第假定橡，即近阳似认为苦振动中俗物体所仍受阻尼驻力与其雷振动速吴度成正然比，称求为粘滞昆阻尼力坏，即：其中：β为阻尼系垫数，负号积表示阻尼公力的方向刻恒与速度拍方向相反考虑阻尼岸时，质点m的动力慨平衡方平程为即：令有(14-9)§14-化3单自由度顽结构的自推由振动这是一个转常系数齐者次线性微掠分方程，固设其解的兴形式为解得其特征缘瑞方程为秘：根据阻尼阳大小不同餐，现分以挠下3种情浮况讨论：(1)k<ω，即小阻尼姑情况，此时r1和r2为两个共勇轭复数，式(1怨4-9)商通解为：(14-9)（14刻-10胡）（14般-11探）有阻尼自压振频率（14布-12）式（1吼4-1绩0）可鸣改写为曾：§14-3单自由互度结构昆的自由坝振动式中（14-脏12）

小阻尼情况自由振动时的y-t曲线小阻尼妻时自由奏振动曲滥线为衰勉减的正纽奉弦曲线纷，其振溪幅按e-kt的规律减沿小，故k为衰减滩系数。§14-迅3单自由蝴度结构触的自由刃振动由式(14-11)有工程中ξ的值很小害（对于钢墨筋混凝土剩结构ξ大约为5%，钢结惩构的大葛约为1%-喇2%）。于驳是有ω=ω'相隔一哭周期后恢的两个巾振幅之川比为一害常数，愿振幅是殃按等比差级数递正减的。若用yn表示某一孝时刻tn的振幅床，yn+1表示经叉过一个恩周期T'后的振幅赞，则有上式两边逢取对数，楼得振幅的对堡数递减量同理，经旧过j个周期后份，有由实测裤各周期炮的振幅嫩可求出冈阻尼比悬。§14-3单自由贤度结构揪的自由左振动(2)k>ω，即大阻尼坡情况，此时r1和r2为两个泳负实数鲜，式(1动4-9)优通解为效：y(t)不是一稼个周期节函数,独即在岁大阻尼从情况下馒不会发滤生振动范。（14俭-13抗）（14陕-14扮）(3)

k=ω，即临界阻尼情况此时r1,2=-k，方程(14-9)的解为y-t

曲线以上两神种情况崭均不属婆振动，轧位移时滴程曲线烘（y-t曲线）表示体系辜从初始位射移出发，步逐渐返回挑到静平衡软位置而无浴振动发生贱。y(t)不是周期函数，亦即在临界阻尼情况下不会发生振动。此时，临界阻尼系数§14-量3单自由度赴结构的自绩由振动强迫振动晶：结构在酬动力荷旗载即外声来干扰受力作用芽下产生寻的振动筹。设质点m找受干扰力拐F（t）信作用，则歪质点m的喂动力平衡低方程为：即：或(14-18)§14-4单自由度坛结构在简劳谐荷载作昂用下的强夕迫振动方程的解威包括两部舟分：对应拖齐次方程银的通解和抛对应干扰梨力F(t何)的特解(14-18)通解特解随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分力等，表达为：(14-19)其中为干扰力的频率，F为干扰力最大值。此时式(14-18)写为：(14-20)设方程的特解为：（b）（a）§14-4单自由染度结构筝在简谐粱荷载作赞用下的严强迫振租动式(b馅)代编入式(并14个-20垃)，得傻到式(a)奖+式(b短)，并剩引入初始料条件，得牵到(14-躁21)由初始条径件决定的乔自由振动伴生自辫由振动按干扰放力频率录θ振动搞的纯强秘迫振动园或稳态钢强迫振挣动由初始躺条件决缩慧定的自田由振动核阶段和谷伴生自驻由振动啊阶段会旋随时间衡很快衰福减掉，迫故称为帽过渡阶掌段；最米后只剩敢下按干动扰力频供率振动舍的纯强师迫振动臂，故称肥为平稳书阶段。王实际问糊题中，竖一般只绳讨论纯竟强迫振握动。§14-影4单自由梢度结构覆在简谐贤荷载作懂用下的嚼强迫振关动1.不揭考虑阻尼捏的纯强迫留振动(14绸-22染)因此，教最大动炮力位移斤（振幅党）为(14-连23)其中:代表将干记扰力最大父值F作为丈静载作用阻于结构上虚时引起的反静力位移位移动厚力系数，代表闹最大动疫力位移棉与静力僵位移之馆比当θ<ω烧时，μ值为正，浓动力位移常与动力荷伙载同向；情当θ>ω挤时，μ值为负，车表示动力这位移与动萝力荷载的肃指向相反些,这种忙现象仅在岂不计阻尼尼时出现。§14-碗4单自由剪度结构盲在简谐何荷载作公用下的斧强迫振存动

动力反应谱（动力放大系数μ随频比θ/ω变化的关系曲线）动力放大滚系数μ的大小伶反映了辣结构动眯力反应鸦的强弱码。单自示由度结时构，当疼干扰力森与惯性月力的作粪用点重错合时，喷位移动惨力系数薯与内力椒动力系惑数是完键全一样同的。当，通常,当动力荷忘载(即干资扰力)的周期大于结构终自振周期吸的五、六功倍以上时幼，可将宽其视为静力碌荷载。(1)由当θ<<ω时，即θ/ω→0，这时μ→1。这种胁情况相凭当于静传力作用究。§14-败4单自由鸽度结构漠在简谐轮荷载作拐用下的眼强迫振休动

动力反应谱(2)谦当θ≈ω时，即θ/ω≈1，这时μ→∞。即振幅痛趋于无限吉大,这种踢现象称为共振。2)实际上由宏于阻尼的庭存在共振扫时振幅不搜会无限增蜂大。1)共振现聚象的形曾成有一拼个过程泡，振幅矿是由小恳逐渐变叫大的。注意:3)应衣避开0.7挎5<θ/ω<1.抗25共振区。(3)签当θ>>ω时，即θ/ω>>1，这时μ值为负值,并且趋侨近于零晶。这表明高倘频简谐荷耀载作用下颜，振幅趋暗近于零，恋体系处于饥静止状唤态。工程设抗计中，绪要求的植是振幅巴绝对值桌,动力镇反应谱杠中θ/ω>1部分的μ画在横并坐标的拖上方。注意:§14-汗4单自由给度结构待在简谐禁荷载作斧用下的寻强迫振赔动在单自轧由度体遇系上，冷当干扰旅力作用薪在质量涝上、扰铜力作用勾线与质堡体的振怎动位移遥方向重何合时，苍其位移恼动力系弓数与内无力动力绸系数是勿完全相呼同的，忆结构的芒最大动耗内力可悲以采用贡动力系格数法求至得。如果干扰灿力不作用根在质量上鲜，体系的暖位移和内矩力没有一坊个统一的驰动力系数六。这种情纳况下的结挎构动内力支、动位移馋的计算，麦可用建立动力球微分方程狐的方法计敬算。见书P8自9图14逝-15§14-4单自由度仍结构在简宇谐荷载作造用下的强郊迫振动解：在银发电机潜重量作踢用下，丛梁中点的最大胳静力位移皂为：故自振搁频率为例14-镜2简支梁中半点装有一翼台电动机陶，电动机弱重量G=35k足N。已寺知梁的湿惯性矩I=8.8×10-5m4，E=210患GPa。派发电机转唐动时离心砍力的垂直夫分力为F掩=sinθt，且F弟=10K咸N。不计箩阻尼，求衡当发电机顷每分钟转陡数为n=翅500r遣/min己时，梁的优最大弯矩辞和挠度。干扰力频逐率:动力系获数:梁中点耻的最大席弯矩为梁中点的梯最大挠度延为§14-4单自由度脆结构在简滚谐荷载作鞋用下的强轧迫振动质体的动卡位移y(t)是以静力曲平衡位置尝为零点来竟计算的，誉因此y(t)中不包括抄质体的重窗力影响，让但在确定医质体的最饮大竖向位课移时，应夫加上这部货分（Δst=δ11G）的影响呢。注意：§14-4单自由度纽奉结构在简慈谐荷载作丙用下的强男迫振动运用图乘法可求得

(a)

(1)咱设惯性力米和动力荷杏载分别为歪单位力和庸单位力偶糠作用在体村系上，并缴绘出相应摊的弯矩图浴.例14-搞3图示简支惰梁跨中有身一集中质补量m，支座A处受动力摄矩Msinθt的作用印，不计梁督的质量配，试求坟质点的史动位移否和支座A处的动阅转角的币幅值。解：该星体系不底能直接朋用放大以系数求慰动位移广，可由扑建立体挖系的振恨动方程园来求解罚。§14-球4单自由度喊结构在简兔谐荷载作毅用下的强达迫振动式中

代δij入上式，经整理后得(b)解式(b)得稳态解为(c)(2)根据叠加原理列出动糖位移质点的动很位移是惯驼性力FI(t)和矛动力荷圣载共同鹊作用下敌产生的篮，按叠恳加原理辅可表示匪为§14-4单自由杀度结构能在简谐父荷载作葵用下的窃强迫振压动这说明都质体动遵位移尚题可应用到放大系排数计算。质点的动位移幅值为，其中为动荷载幅值M所引起的质点静位移yst，μ动力系数。支座A处的动幕转角也壤是由惯稼性力FI(t)和动力荷作载共同作扮用下产生释的，按叠葛加原理可钻表示为由稳态解俯式(c)纲可知§14-4单自由度借结构在简切谐荷载作旺用下的强奴迫振动对式(熔c)求誓导两次莲后代入帖上式，条可得将式(众a)和F*=3M/l代入上式妈,得(c)§14-摔4单自由度庭结构在简煎谐荷载作煌用下的强违迫振动可见,按质点肝位移的布动力系玩数μ和支座处忌动转角的黎动力系数μφ是不同的搬。支座A处的动转角幅值为,

为动荷载幅值M所引起的静转角，μφ为该动力系数。其中而动荷载壶不作用究在质量燃上时，遇体系不龙能用一布个统一作的动力波系数来李表示。§14-4单自由洗度结构渴在简谐愈荷载作魄用下的细强迫振启动由式(14-21)的第三项，有：命（14-27）（14-28）令宗和管，则振皂幅A可写为（14-29）2.有斑阻尼的强仔迫振动§14-观4单自由乳度结构践在简谐识荷载作戚用下的久强迫振该动动力系述数μ不仅与甩频比β有关，摸而且还削与阻尼晋比ξ有关。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图在0.75佛<β<1.2喝5共振区纷范围内友，阻尼湖力大大耻地减小腔了μ的峰值。但在这执范围以外祝，阻尼对μ的影响较删小，可按权无阻尼来欠计算。当θ>>ω时，则μ很小，表歪明质量m接近于不翼动或只作消极微小的割振动。(1)湿阻尼穿对简谐荷积载的动力肿系数μ影响较积大简谐荷鼓载作用迎下有阻霞尼稳态唤振动的刻主要特讲点：§14-辫4单自由忧度结构筹在简谐香荷载作草用下的成强迫振约动(2)姨在β=1的共振情掩况下,双动力系数弃为动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图在考虑阻林尼的影响屈时，共振恰时动力系渴数不是无坡穷大,傲而是一个并有限值。趁在研究共狐振时的动引力反应时做，阻尼的干影响是不洒容忽略的巷。§14-4单自由度蒜结构在简蛙谐荷载作取用下的强诊迫振动

用求极值的方法确定μ的最大值发生在处,因ξ的值通常都很小，近似地将β=1时的值作为最大值。(3)μ最大值转并不发长生在β=1处泪。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图§14-4单自由址度结构疤在简谐馅荷载作扮用下的称强迫振扣动当β<1时，0<φ<π/2；当β>1时，π/2<φ<π；当β=1时，φ=π/2。(4)阻尼体苍系的位窑移y(t)=A寒sin秘(θt-φ)和干栋扰力F(t)=s字inθt不同步升，其相位角泻为φ。只要有散阻尼存停在,郑位移总侧是滞后烤于振动德荷载。§14-司4单自由再度结构狸在简谐怠荷载作降用下的谎强迫振膊动共振时,φ=π/2,位袄移方程式绸为y(t)=–ystμcosθtμ=1培/(2ξ)，θ=ω，c=ξcc=2ξmω阻尼力为注意到率共振时可见共冶振时干康扰力与尽阻尼力剥互相平逐衡。共振时关受力特伸点讨论湾:§14-4单自由缴度结构五在简谐砖荷载作恨用下的泰强迫振什动为了减疾小动力免放大系松数μ，当β=θ/ω<1时（称熔为共振光前区）染，应设拼法加大仿结构的嫂自振频腹率ω。这种谣方法称勤为“刚毒性方案掉”。当β=θ/ω>1时称为(榜共振后区晌)，这高时，应设设法减小结杏构的自振丧频率ω。这种讨方法称搁为“柔宗性方案嫩”。动力系数μ与频比β和阻尼比ξ的关系图讨论：§14-辩4单自由度刮结构在简宜谐荷载作赛用下的强匆迫振动采用冲尽量方法饥首先讨沸论瞬时街冲量的陪动力反盼应，在述此基础畏上讨论茎一般动责力荷载激下的动凭力反应非。1.强迫力为啊一般动力俯荷载--无阻仗尼(1)瞬时冲量仔的动力反迷应假定冲击嗽荷载作用利之前体系岛的初位移尚及初速度落均为零。由于荷钞载作用浆时间极柱短，可抗以认为粱在冲击缘瑞荷载作谋用完毕的瞬阅间，体系带的位移仍话为零。但地冲击荷载女有冲量，夫可以使处虹于静止状傲态的质点愤获得速度龟而引起自粱由振动。思考：体系在降冲击荷中载作用蔑下获得动的是位饶移还是默速度？§14-5单自由度鸦结构在任讯意荷载作栏用下的强宫迫振动根据动量统定律，质巾点在瞬时粗冲量F·Δt作用下的钟动量变化蹦为由于v0=0,所以有原来初位移、初速度为零的体系,在冲击荷载作用后的瞬间,变成了初位移为零,初速度为的自由振动问题。由(14-30)得§14-5单自由猾度结构镜在任意张荷载作肚用下的帮强迫振膊动若冲击荷零载不是在t＝0，而是泳在t＝τ时作用，绕则上式中悼的t应改为(t-τ)。(14-31)

由式(标14-创30)聚可得在t＝τ时作用瞬刑时冲量S引起的盗动力反巾应。(14-30)§14-5单自由度货结构在任扫意荷载作摇用下的强俯迫振动(2)一触般动力荷崖载F(t)的动兴力反应帝。把整个加盒载过程看全成是由一慨系列瞬时何冲量所组察成的。在鄙时刻t＝τ作用的荷韵载为F(t)，此荷载枣在微分时筒段dτ内产生堵的冲量盘为dS=F(t)·dτ。根据式鱼(14-俭31)，耗此微分冲拖量引起的茫动力反应忠为：(g)对加载胜过程中议产生的刻微分反卧应进行及叠加，时得出总铸反应如记下：——称为杜哈梅(Duha名mel)积分。

(14-32)§14-筒5单自由蒸度结构悬在任意演荷载作泳用下的阵强迫振济动——(1错4-33爱)式中第一控、二项代拌表自由振社动部分，哀第三项代灰表强迫振依动部分。(14-32)如果初始集位移y0和初始速混度v0不为零，直则总位移腰应为：§14-寻5单自由啊度结构谊在任意岂荷载作茫用下的粪强迫振组动2.几种动荷抄载的动力魔反应(1)突加长期折荷载o

F(t)t0F突加长期锦荷载就是晌指突然施拘加于结构李并继续作降用在结构躲上的荷载督，它可表伴示为：如果原结蛮构的初始俗位移和初钉始速度都梨等于零，浅将式（h签）代入式洒(9-3毫2)并进筐行积分后搜，可得动冲力位移如验下：（h）

(14-34)

(14-32)§14-5单自由评度结构仁在任意跪荷载作译用下的光强迫振泛动当t=T/2时麦，[y(t)]max=2yst，动力蔬系数为μ=2。位移时程曲线图

(14-34)

式中表示在静力荷载F0作用下所产生的静力位移。当突加诱荷载作既用在系针统上的挤时间超睬过t=T/2隐时就算况作长期及荷载,腹这时炕引起的米最大动填力位移盐为相应茧静力位晚移的两旗倍。§14-5单自由群度结构拿在任意干荷载作裹用下的挤强迫振拿动其特点轿是当t=0时，前在质体上殿突然施加角常量荷裁F0，而且暮一直保湿持不变框，直到t=t1时突然渣卸去。(2)粪突其加短期席荷载体系在晨这种荷甚载作用碗下的位缎移反应突，可按助两个阶雀段分别照计算再挥叠加。第一阶段滩（0≤t≤t1）：此阶艺段与突加汪长期荷载景相同，因播此动力位雾移反应仍殖按公式(箱9-34层)计算。荷载可以令看作突加淘长期荷载F0(图中协坐标上割方实线蕉及所续仔虚线部遭分)叠繁加上t=t1时突加上浴来的负长厉期荷载(－F0)(图祸坐标下溉方虚线牲部分)昂。§14-槽5单自由度季结构在任届意荷载作笼用下的强撕迫振动(14-35)第二阶推段(t≥t1)：荷然载可以证看作突负加长期效荷载F0(图中坐内标上方实愚线所续虚贝线部分)带叠加上t=t1时的负量突加长爬期荷载(-F0)(图9中乱坐标下方胳虚线部分乓)。当t≥t1时，有第一阶段觉（0≤t≤t1）与突加楚长期荷载索相同，动堤力位移反样应为§14-5单自由扣度结构织在任意郑荷载作猜用下的苍强迫振学动质点位移废反应可分集为两个阶筐段按式（越14-3饱3）积分僚求得。(3)殊爆炸冲竭击荷载变化规律梯为第一阶段（0≤t≤t1）§14-腰5单自由度法结构在任旱意荷载作中用下的强稠迫振动——(1位4-37围)第二阶段柜（t≥t1）当(t1／T)>0.4时，最大位移公反应在第否一阶段出割现，否则就出稿现在第二病阶段出。从前面几疼种动力荷淋载作用下拴单自由度工体系的位急移反应可知，最大判位移反应仇与与t1／T有关。最大位移纤反应可用叨速度为零状（即位移枪的导数）活这个条件恩下的时间位值来计算朝。§14-5单自由度树结构在任负意荷载作昌用下的强校迫振动3.当强以迫力为一坑般动力荷浙载情况-届-有阻尼有阻尼体烟系在一般薪动力荷载F(t)作用时，考其动力位汤移也可表的示为杜哈殿梅积分。由于冲量S=mv0，故在劈燕初始时恒刻由冲生量S引起的振陡动为（9-46）单独由初始速度v0(初始位移为零)所引起的振动为§14-5单自由渔度结构想在任意肢荷载作现用下的晨强迫振筋动把一般迁动力荷彩载F的加载葬过程看雨作是由荒无限多啦个瞬时盛冲量所抽组成，扁对t=τ到t=τ+dτ的时间分拆段上的微钳分冲量dS=F(τ)dτ来说，它娱所引起的怀动位移为(t>τ)积分后即黎得开始处便于静止状惯态的单自外由度体系继有阻尼的棒受迫振动冤方程为(14朗-47造)§14-傍5单自由度侦结构在任寻意荷载作吵用下的强营迫振动如果还有懒初始位移y0和初始额速度v0，则总哗位移为(14-妄47)(14-滨48)这就是粉有阻尼淋情况下违的杜哈幅梅积分花。§14-5单自由上度结构张在任意兄荷载作筑用下的序强迫振输动工程实际刑中有很多炉结构是不骑宜简化为接单自由度游体系计算居的。例如万多层房屋聋、多跨不懒等高工业闻厂房以及周烟囱等,作都必须惰按多自由子度体系来笨处理。图示等甚截面烟饭囱，将贡其分为支八段，齐从上到再下将每林两段的什质量集蔽中于其窑中点，溉将一个纹无限自偶由度的欲体系简桨化为四捞个自由鼻度体系兆。§14-踪蝶6多自由异度结构钩的自由页振动图示简支出梁的自重已略去不计,体热系有n个振动自嗽由度，y1、y2、…、yi…、yn分别代表敲这些质点银自静平衡沈位置量起侄的位移。1.振衣动微分方脊程的建立质（刚度法智、柔度法浓）刚度法（1）壮首先加丛入附加朱链杆阻治止所有刃质点的剑位移,艳则在各构质点的旺惯性力作用下，驾各链杆产骑生和惯性构力大小相贫等、方向进相反的反删力；可按照强位移法角的步骤船来处理§14-爽6多自由度凯结构的自防由振动（2）搞其次令英各链杆脉发生与酷各质点虽实际位凯置相同滑的位移颠，此时言各链杆窃上所需蹈施加的力为FRi(i=1,奴2,…筝,n)源。（3）绣不考虑餐阻尼时严，将上位述两种望情况叠均加，各统附加链厘杆上的着总反力彻为零，尿由此可列出砍各质点规的动力湾平衡方量程。以剃质点mi为例：即：§14-6多自由盘度结构拐的自由储振动

(14-46)同理，体罪系中的每魄一个质点索都可以列堪出相应的雹动力平衡笛方程式，烦有写成矩稠阵形式但：(14-48)简写为：§14-逗6多自由信度结构彻的自由上振动Y和Ÿ分别是黄位移向谁量和加辞速度向异量：M和K分别是已质量矩扶阵和刚翠度矩阵胃：§14-冈6多自由菠度结构闪的自由擦振动体系中裕某质点i产生位争移yi可看成广是系统蚊内各质舌点运动奇时的惯令性力共冲同引起滤的。即柔度法考虑每勒一个质帜点的位除移，可柔得一组如运动微犯分方程申式：FI1，FI2，…，FIn为质点1，2，……n的惯性膊力。体系的逼柔度系钉数δij为作用在魄质点j上的单位种力引起质瞧点i的位移。§14-怒6多自由钢度结构诸的自由汪振动写成矩硬阵形式锻：δ称为体系照的柔度矩队阵,I—单位矩距阵。或(14-51)所以，必由刚度桑法建立偶的公式（1湖4-48猴）与公式涉（14-武51）是完全储相通的糕。因为：§14-慰6多自由度岸结构的自动由振动设公式（14酷-51愈）的特解绢为：2.按潮柔度法求付解(14-51)即所有贪质点按寇同一频结率同一撇相位作饭同步简爽谐振动扮，但各后质点的垦振幅值啊各不相贫同(14颂-53追)(14-54)有(f)柔度法讽的振幅早方程§14-质6多自由度偏结构的自晚由振动柔度法的社频率方程振幅向量A存在非峰零解的禾条件为(14-蜜56)(14-55)

根据频率方程可得到n个自振频率，将它们由小到大排列，分别称为第一，第二，…，第n频率，并总称为结构自振的频谱。注意:体系自振饰频率的个勒数和它的功自由度数蚊目相同。§14-6多自由度令结构的自闪由振动此时各质点按同一频率作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。这种多自由度结构按任一自振频率进行的简谐振动称为主振动，与其相应的特定振动形式称为主振型(振型)将代回式(14-53)，得到：(14-59)将n个自振频率中的任一个代入式(f)，得到特解为(14梅-57夺)§14-爹6多自由亏度结构说的自由切振动n个主振动爪的线性组女合，构成雅振动微分滋方程的一结般解：(14循-60顿)和取决于初始条件。然而自振频率和振型与外因干扰无关，只取决于结构的质量分布和柔度系数，因而反映着结构本身固有的动力特性。由于此时系数行列式为零，因此n个方程中只有（n-1）个是独立的，因而不能求得的确定值，但可确定各质点振幅间的相对比值，便确定了振型。振型向肯量规准化振倦型向量§14-6多自由形度结构气的自由搜振动对于两柏个自由题度结构绢，振幅体方程（凉14-递53）阳为：令贺，将上抄式展开得责：频率方罚程为：(14据-61扁)§14-6多自由度像结构的自覆由振动两个自菌振频率孝为：(14-蒜62)两个主振类型为：(14-衔63)(14-乌64)§14-很6多自由议度结构存的自由剪振动例14-撑3图示简支剖梁在跨度笔的三分之废一处有两鉴个大小相友等的集中贝质量m，试分公析其自量由振动斤。设梁害的自重学略去不真计，EI＝常数。解:(1盟)计算柔不度系数δij§14-6多自由度抢结构的自希由振动求得将δij和m值代人上式(2)求森频率：§14-6多自由饱度结构拖的自由呀振动将ωi和δij值代上顽入式得第一葡主振型召为第二主振估型为(3)英分析隐振型§14-6多自由举度结构乞的自由径振动可以看屡出，如腊果结构袋本身和舰质量分岩布都是哑对称的阳，则其址振型不垮是正对籍称的便窑是反对耕称的。第一主振分型第二主振爪型§14-6多自由当度结构者的自由姥振动例14-煮4图示刚架殖，在梁跨格中D处和柱顶A处有大虽小相等产的集中宴质量m，支座C处为弹性巡寿支承，弹捡簧的刚性匀系数k=(3EI)/l3。试求自振频率僵和振型。1.求柔度现系数解：体加系有两久自由度恢，A处质点的抄水平位移披和D处质的竖锦向位移。绘制M1、M2图,由图饭乘及弹簧军内力虚功语计算得§14-6多自由霉度结构身的自由意振动2.写友出振型方驳程（a）3.写泰出频率方历程，求频慢率展开式为解得相应的烤频率为§14-第6多自由度脱结构的自测由振动当λ=λ1=27.0唉83时，洁设A1(1)=1,得第一主振型为第二主杠振型为当λ=λ2=2.9登17克时，设A1(2)=1，得4.求声振型并绘什出振型图由所得结小果绘出振谈型§14-哲6多自由度紧结构的自纯由振动3.加按刚度雀法求解(14-66)

(14-65)振幅方程频率方奶程将得到的n个自振频率代回振幅方程，得：(14-67)同样可名确定n贴个主振圆型。对于两个钩自由度结旋构，频率妄方程为：§14-段6多自由度夜结构的自信由振动展开得魄：两个主振挂型为：§14-术6多自由度情结构的自标由振动例14-吗5三层刚否架如图叶所示。句设自上两到下，垮各层楼删面的质盖量(包秀括柱子清质量)屯分别为m1=18球000佛0kg，m2=270奶000k链g，m3=27沾000雾0kg；各层的秤层间侧移终刚度(即该层剖柱子上迎、下两眠端发生猴单位相剥对位移包时，该志层各柱塑剪力之剑和)分研别为k1=98园MN/唐m，k2=19恢6MN勇/m，k3=245委MN/m。求刚架梦的自振频客率和振型。设写横梁的目刚度EI＝∞。解:汉(1)求宋频率。体系的蜜自由度骨数为3扭。振型方程配为频率方勒程为§14-6多自由度掉结构的自雹由振动建立刚庆度矩阵肚和质量炊矩阵由图b可得：

由图c可得：

由图d可得：

§14-卵6多自由度算结构的自走由振动得刚度山矩阵：质量矩窑阵为：§14-6多自由度经结构的自扯由振动频率方讯程：引入符号η,则展开式谈为§14-6多自由度收结构的自盾由振动解方程得：由求得三个自振频率为：§14-泰6多自由度恩结构的自瓣由振动将代入式(K-ω2M)φ=0，为求标准化振型，规定φ1(j)=1。2.求头振型：第三振型第二振型第一振型§14-仰6多自由度烫结构的自抬由振动(4)动与单自由提度体系相恋同，多自暗由度体系夸的自振频证率和主振最型也是体啄系本身的悠固有性质至。对于多拖自由度恢体系:(1)搬在多自由榆度体系自莲由振动问浸题中，主刊要问题是狱确定体系脱的全部自芬振频率及仓其相应的马主振型。(2)理多自由度价体系自振境频率不止婶一个，其紧个数与体匠系自由度职的个数相祝等。自振匀频率可由惩特征方程习求出。(3)重每个自振惩频率有自搁己相应的乖主振型。勤主振型是窑多自由度临体系能够柿按单自由勺度振动时乌所具有的扩特定形式撤。§14-6多自由含度结构页的自由妈振动对上述慌两式分蛛别两边诞同时左第乘慨和呀，有对其中其任两个潜不同的轮主振型惹向量Xi和Xj，有4.径主振型螺的正交烦性n个自由绕度结构丧具有n个自振瓣频率及n个主振型乘，每一频滚率及其相摔应主振型卡都满足(14-67)(b)(a)(d)(c)（d）仇式两边男转置，钓有(e)（c）服式-（点e）式非，有§14-6多自由度春结构的自考由振动当(i≠j)时，有这说明，阀对于质量佣矩阵M，话不同频率碗的两个主止振型是彼述此正交的郑。同理可办以证明栽，对于狡质量矩扇阵K，庸不同频棒率的两忽个主振定型彼此悟也是正槽交的。对于标不准化的骗振型向组量，也拖同样具胜有正交固性，即振型正交自性的物理杏意义:体系按逃某一振抚型振动丛时，它陷的惯性脑力不会饥在其它惜振型上蒙作功。粗也就是宣说它的袋能量不慎会转移阻到其它及振型上轿去，说疫明各个爱主振型迅都能够凶单独出诵现，彼流此线形碑无关。主振型的粮正交性是铸结构本身疼的固有特常性，它不缺仅可以用铲来简化结趋构的动力哗计算，而鞋且还可以漆用来检验朵所求的主下振型是否父正确。§14-6多自由度帝结构的自勿由振动计算结构假在动力荷投载作用下胸的位移和斑内力,史即结构的池动力反应触。本节只墙研究结构丛在简谐荷槽载作用下瓶的动力反掠应问题。范求解的方苦法只讨论淹直接法。若干扰力狸频率处于携共振区以恨外，则阻姓尼的影响犯不大。本沫节不考虑电阻尼。体系强迫强振动要解尤决的问题§14-7多自由委度结构障在简谐蔬荷载作逆用下的初强迫振罚动振动过程职中的任一馋时刻t，引起体陷系位移的行力有两种绢：1.各质点描的惯性申力FI1(t)、FI2(t)、…、FIn(t)2.干扰力F1sinθt、F2sinθt、…、Fksinθt一、柔惩度法建立为振动微分睛方程式体系中碗任一质且点mi的位移yi为：yiP为所有干烂扰力在质腊点mi处引起晚的位移堤。§14-7多自由啦度结构君在简谐湾荷载作摊用下的眠强迫振拨动动力荷锡载达到哑最大值俯时在质锋点mi处所引起废的静力位缠移。注意到F(t)=－惯miÿi，有对于n个自由境度体系拆，可以方建立n个这样较的方程仔。写成矩阵橡形式为：δMÿ+y=∆Psinθt(14费-73著)(14-考72)∆P=[∆1P∆2P…∆nP]T为动荷载量幅值引起斧的静力位藏移列向量眠。δ为结构怕的柔度用矩阵。§14-株7多自由度鲜结构在简宾谐荷载作牛用下的强尊迫振动是一个帮非齐次得线性微管分方程漠组。它铲的一般府解由两舍部分组践成：一感部分是扩对应齐日次微分捉方程的槽解；另忠一部分鸦则是某挎一特解锋。齐次撞解对应棋于自由剖振动部初分，这僻部分将气很快衰理减掉。旬在研究纠强迫振坛动问题闭时，着壁重讨论神式(1絮4-7乳9)的宣特解,律即稳定相强迫振搅动的解袄。δMÿ+y=∆Psinθt(14-乞73)设方程的佩特解为：y=Asinθt(14-沫74)A=[A1A2…An]TA为强迫振矛动位移幅逮值列向量宫：A1、A2、…、An.将y连同ÿ=－Aθ2sinθt代入式(厌14-7停3)，化井简后得(14-76)解方程组扭可求出各胁质点在纯必强迫振动顽中的振幅饶：由式(1篇4-74舍)可得各使质点的振枯动方程。§14-前7多自由度腐结构在简姻谐荷载作克用下的强健迫振动令FI0=θ2MAFI=－Mÿ=前θ2MAsinθt=FI0sinθtFIi0=θ2miAi(i=1,2,…,帝n)y=AsinθtFI0称为惯汪性力幅妻值列向攻量。写成展乐开形式接为：由上式萝可以看机出：位移、惯衰性力和干袍扰力均按耗同一频率瞧作同步简锋谐振动，边且同时达层到幅值。各质点糖的惯性被力为：FI=－Mÿ=云θ2MAsinθt(14遭-77羞)式中FI=[FI1FI2…FIn]T为惯性力东列向量。§14-7多自由度险结构在简雪谐荷载作软用下的强道迫振动在计算最评大动位移砍和最大动色内力时，重可先求得聪惯性力的合幅值FIi0，然后弯再把FIi0和干扰力雹幅值Fi同时作用永于结构上伞，按静力脊分析方法岁即可求得状最大动位惨移和最大禽动内力。§14-7多自由起度结构长在简谐暖荷载作亩用下的除强迫振烈动二、刚朝度法建党立振动养微分方薯程当干扰力蹄均作用在脚质点处时叛，由n个自由澡度的刚雁度法基政本体系齿，得出努其动力否平衡方如程如下盐：

(14-80)写成矩怒阵形式丹为：MŸ+KY=务F(t)(14-秒81)§14-既7多自由度唯结构在简虚谐荷载作摊用下的强撑迫振动F(t)=Fsinθt式中F=[F1F2…Fn]T为荷载幅睡值列向量徒。若各干扰烂力为同步税简谐荷载衣，即：在平稳见阶段各砍质点亦续均按频印率荷载θ作同步绒简谐振叼动。设：Y=Y0sinθt(14吨-82臭)将{Y}和{Ÿ}=-θ2{A}sinθt代人式(冻14-8桑0),并礼消去公因到子sinθt,得(K－θ2M)Y0=F(14-开83)则Y0=(K－θ2M)-1F§14-私7多自由搏度结构豪在简谐垫荷载作舰用下的读强迫振殊动由{A}便可求积得各质福点的惯奶性力幅产值：FI0=θ2MA或FIi0=θ2miAi(i=1,2,…,删n)其展开库形式为乓：(14糕-92燥)§14-7多自由尤度结构斯在简谐东荷载作溉用下的仅强迫振和动注意:当有简谐絮集中荷载旦未作用于院质量上时暖，可假设抱该处的质傍量为零后荷再套用公北式(14孤-87)据或公式(沟14-8海8);当有简协谐分布膏荷载作由用时，冒则需先书化为作刮用于质赢量上处右的等效腥动力荷亮载，或末者是采图用柔度无法计算兰。§14-斧7多自由竟度结构丽在简谐蓬荷载作矩用下的伤强迫振萄动解徐设以FI10、FI20分别代拥表质点m1、m2的惯性力皇幅值，其秃典型方程携如下：例14-6试求图示体系的最大动位移和动内力图。已知

，m1=m2=m,EI=常数。§14-刚7多自由轧度结构勺在简谐远荷载作类用下的茫强迫振浪动柔度系熔数和自制由项可霉利用图仿乘法求士得将上述数桥值代人典万型方程(a)，化简后描得§14-7多自由浸度结构戚在简谐快荷载作腊用下的臭强迫振急动解得：FI10=0.29邮36F，FI20=0.2嫩689F将FI10、FI20和F共同作用喝在结构上竹，然后按静留力计算方汪法求得最障大动位移致。§14-衬7多自由度赤结构在简驳谐荷载作浮用下的强牢迫振动最大动位移图最大动内力图§14-仪7多自由度池结构在简源谐荷载作俭用下的强阀迫振动算得截面l处动荷载抛幅值所产判生的静力疏值分别为专：相应的惕动力系皱数为：由此可碌见，在册多自由跌度体系度中，没勿有一个祝统一的似动力系闸数，这铁是与前登述单自茧由度体记系不相昂同的。§14-7多自由度次结构在简者谐荷载作身用下的强股迫振动例14-7求示结们构质点租的振幅钓和绘制接最大动垃力弯矩感图。已葬知m1=m2=m，F=苹ql，滴,雀各杆EI=常数告。解用压柔度法须求解。淘绘出M1、M2图,计算柔度膀系数和自潮由项.§14-7多自由穷度结构喘在简谐嫩荷载作压用下的五强迫振塑动绘MP自由项计论算如下§14-7多自由诵度结构滔在简谐撞荷载作无用下的皂强迫振应动将求得的指柔度系数、自由项以亚及θ带入惯性卡力幅值方俱程（14-熔85）得以乘上式经整理后得解得体系教的最大惯锤性力为：FI10=－2.6叛3ql，FI20=－1.62ql负值表明惯性力的方向与图中的单位力的方向相反。§14-咳7多自由麻度结构排在简谐侮荷载作霉用下的丢强迫振驴动最大动力弯矩图按

求得，当简谐荷载向右和向下时，对应的弯矩图为实线所示；当简谐荷载向左和向上时，对应的弯矩图为虚线所示。§14-场7多自由度明结构在简跑谐荷载作约用下的强武迫振动解干扰力频率为求得各刚度系数为：§14-唱7多自由队度结构担在简谐父荷载作过用下的妻强迫振侦动刚度矩垫阵为质量矩阵翅为干扰力幅钳值列向量粮为F=[50]TkN§14-芒7多自由度僚结构在简烫谐荷载作包用下的强声迫振动由第一层楼面处振幅A1=－0.20统6mm第二层楼面处振幅A2=－0.20制2mm惯性力幅辜值FI10=θ2m１A１=15.居712×100宴×(－0.20团6×10－4)=－5.08付kNFI20=θ2m2A2=15.7沾12×120迎×(－0.2桶02×理10－4)=－5.98就kN有§14-王7多自由度死结构在简太谐荷载作腾用下的强访迫振动将干扰力铁幅值和惯认性力幅值橡作用在结踪蝶构上,踩由位移法熄求得各杆挥端最大动白弯矩并作档弯矩图。M图(kN·m)§14-7多自由度熊结构在简界谐荷载作首用下的强运迫振动多自由话度结构叛无阻尼盗强迫振许动微分意方程为（14-缓81）对于只有背集中质量突的结构，蹲质量矩阵拴M是对角聚矩阵，但耗刚度矩阵动K一般不据是对角矩仓阵，因此陵振动微分迅方程的各秘方程为耦狸联的。当浪荷载F(寇t)为任津意动力荷汤载时，求扁解微分联踪蝶立方程组孝是很困难测的。为此，延可利用焦主振型领的正交征性通过秘坐标变私换的途艇径，把黎位移Y颈分解为获各主振劈燕型的叠著加，使努联立方涂程组变巩为相互袍独立的傍方程，塞简化计碎算。即义振型分凡解法。位移向量称为几何坐标将结构佣已规准灿化的n封个主振恶型向量作基底把几何郑坐标Y锻表示为夸基底的皱线性组愧合，即（14闸-86量）展开为压：（14-奴87）可简写垂为：（14劳-88乡丰）§14-8振型分裁解法这就把几飘何坐标Y郑变换成数盟目相同的正则坐暴标称为主振型蔽矩阵，为几何超坐标和棉正则坐趟标之间饭的转换样矩阵将式(14-88)代入式(14-81)，并左乘有（14-90）利用主虫振型的档正交性扒，易证研明§14-8振型分驰解法同理，有其中，相应于第i个主振型的广义质量，广义质量矩阵广义刚度矩阵其中，相应于第i个主振型的广义刚度，由前节可知，令j=i，将广义范质量和异广义刚亚度表达窄式代入仪，有或这就是卖自振频题率与广胶义刚度祥和广义右质量之蹦间的关制系§14-庭8振型分解必法记（14-97）则（14-98）广义荷载向量（14-99）其中，相应于第i个主振型的广义荷载（14-101）将广义辞质量矩肃阵、广育义刚度商矩阵、联广义荷漂载向量奸代入式洪(14铁-90葛)，有即方程屑组已解家除耦联摧，式(梯14-阶90)贞成为n端个独立节方程。§14-8振型分解幼法或因为所以（14-102）这与单爷自由度贿结构的女强迫振汗动方程池略去阻愉尼后的技形式相聚同，故歌可按同闪样方法柜求解。（14-103）在初位炭移和初爹速度为麻零的情黑况下，幕可用杜恼哈梅积赏分求得共式(1溪4-1债02)宜的解为练：这样，就毁把n个自编由度结构例的计算简认化为n个色单自由度幼计算问题略。在分别仁求得了各及正则坐标帅αi,可得哑到几何练坐标yi§14-8振型分解槽法振型分解法的计算步骤：（1）求自振频率和振型（2）计算广义质量和广义荷载

（3）求解正则坐标的振动微分方程，得到αi（i=1,2,…,n）（4）计算几何坐标，求出各质点位移，然后即可计算其它动力反应（加速度、惯性力等）§14-魔8振型分葛解法§14破-9无限自由淘度结构的裤振动结构自振否频率的计想算是结构愚动力计算折的一个重拳要内容。并从实用的闯要求来说笼,有必搜要采用近戚似的计算冤方法求解欧。能量法凯就是用来唯计算基本美领率ω1的近似当方法。实际结构倘振动时,惕由于阻尼稳作用的影魄响,高振率型分量很快就会消盼失。基本袭频率的计档算很重要形。在我国需有关设计亏规范中往包往可以根并据与基本同频率对应放的最大周夏期，便可数从规范中申选取各种竿有关的计督算参数。§14-臣10计算频遵率