人教课标实验版七年级下册三角形课题学习镶嵌【全国一等奖】

用正多边形拼地板【学习目标】1．理解正三角形、正方形、正六边形以及任意三角形、四边形能镶嵌平面的道理．2．理解两种以上正多边形的组合铺满地面所必须具备的条件．3．体验数学在实际生活中的应用．4．感受数学美，创造更美丽的图案．【主体知识归纳】当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，这几个多边形就能拼成一个平面图形．【基础知识精讲】1．通过用正多边形拼地板的问题，理解正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、四边形能镶嵌平面的理由，体验应用数学知识解决实际问题的过程，学会必要的数学方法．2．由多种正多边形拼地板的组合尽管能够围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面3．根据自己的爱好，设计各种各样美丽的图案．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．【例题精讲】例1．请问能否全用正五边形的材料铺满地面，为什么?解:不能全用正五边形材料铺满地面．因为正五边形的每个内角为＝108°,要铺成平整、无空隙的地面，必须满足围绕一点拼在一起的若干个正五边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即360°．但找不到符合条件的整数n，使n·108°＝360°，故不能全用形状为正五边形的材料铺满地面．例2．用两种多边形铺满地面．图8－55分析：如果用两种不同边数的正多边形铺满地面，同样，必须在一个顶点处，正多边形的内角之和为360°．解：（1）正三角形与正方形．设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正方形的角．那么，这些角的和应满足方程：m·60°＋n·90°＝360°，即2m＋3n（2）正三角形与正六边形．设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正六边形的角．那么，应有m·60°＋n·120°＝360°，即m＋2n＝6．（3）正三角形与正十二边形．设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正十二边形的角．那么，这些角的和应满足方程：m·60°＋n·150°＝360°，即2m＋5n（4）正四边形与正八边形．设在一个顶点周围有m个正四边形的角、n个正八边形的角．那么，这些角的和应满足方程：m·90°＋n·135°＝360°，即2m＋3n例3．你能用三种不同的正多边形铺满地面吗？解：用三种不同正多边形镶嵌，同样，必须在一个顶点处，正多边形的内角之和为360°，如果正多边形的边数分别为n1、n2、n3，且每一个顶点处，一种正多边形只有一个，则根据平面镶嵌的条件，必须有这样，上式的正整数解可列表如下Non1n2n3137422382433918431015531212645207461284889551010666如图8－56就是其中的一个．图8－56（2）一个顶点处，各种正多边形不只一个的可类似讨论，比较复杂．略由（1）（2）知能用三种不同的正多边形铺满地面．1．填空题（1）正三角形的每一个内角都是_______度，用_______个正三角形拼在一起，可以铺满地板．（2）正方形的每一个内角都等于_______度，所以用_______个正方形拼在一起，可以铺满地面．（3）正八边形的每一个内角都是_______度，而一个周角为_______度，360不是135的整数倍，所以用正八边形_______能铺满地面．（4）我们常常见到像下列图8－57那样图案的地板，它们分别是用正方形、等边三角形、正六边形的材料铺成的，用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板，这是因为____________．图8－57（5）能够使用两种不同形状的正多边形瓷砖拼成无缝隙的地板的组合是_______或_______或_______．（6）如图8－58，分别指出下列图形组合是哪几种正多边形组合：图8－58（a）_______；（b）_______；（c）_______；（d）_______；（e）_______；（f）_______．2．我们知道，任意四边形的内角和都等于360°，红光木器厂的工人师傅准备用—批形状、大小完全相同，但不规则的四边形边脚余料用来铺设地板．你认为工人师傅这样做行吗?请你用一叠白纸剪一些这样的任意四边形拼一拼．（如图8－59）图8－59用若干个这样的五边形能否铺满地面，试一试，把结果贴在下面，与同伴进行交流．图8－604．动手做．请你用一些薄纸片，剪出以下形状的小拼块：图8－61于是，你就有一副简单的拼图了．（1）请你试着把它们拼成一个正方形．（2）将拼图的痕迹用实线在图8－62正方形中画出来．图8－62（3）若想把你的拼图变得更漂亮、更有趣，你可以在拼成的正方形（如图8－62）上画上自己喜爱的图形，并涂上自己喜欢的颜色，再将拼成正方形的各小拼块拆开，于是你就拥有一副漂亮、有趣的拼图了．现在你可以与同学交换着来玩各自设计的拼图游戏．5．观察图8－63中两块地砖的草图，它们利用基本图形的不同颜色，排放而构成新的图案，从而更多样、美丽．请你也试一试用我们所学过的基本图形来设计一种地砖的样式．图8－63参考答案1．（1）606（2）904（3）135360不（4）绕着一点的内角和为360°（5）正三角形与正方形正三角形与正六边形正方形与