2023届天津市新四区示范校数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是212．假设如图所示的三角形数表的第行的第二个数为，则（）A．2046 B．2416 C．2347 D．24863．根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A．1 B． C． D．4．定积分（）A． B． C． D．5．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在荷叶上，则跳三次之后停在荷叶上的概率是（）A． B． C． D．6．用数学归纳法证明：“”，由到时，等式左边需要添加的项是（）A． B．C． D．7．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg8．在圆中，弦的长为4，则（）A．8 B．-8 C．4 D．-49．有五名同学站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法种数为（）A．4 B．8 C．16 D．3210．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．刘徽应用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后四位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是应用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：，）A．12 B．24 C．36 D．4811．已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为（）A．14 B．16 C．18 D．2012．已知是虚数单位，若复数满足，则复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知、满足约束条件，若目标函数的最大值为13，则实数______.14．双曲线的虚轴长为，其渐近线夹角为__________.15．已知复数，那么复数的模为______.16．在一栋6层楼房里，每个房间的门牌号均为三位数，首位代表楼层号，后两位代表房间号，如218表示的是第2层第18号房间，现已知有宝箱藏在如下图18个房间里的某一间，其中甲同学只知道楼层号，乙同学只知道房间号，不知道楼层号，现有以下甲乙两人的一段对话：甲同学说：我不知道，你肯定也不知道；乙同学说：本来我也不知道，但是现在我知道了；甲同学说：我也知道了.根据上述对话，假设甲乙都能做出正确的推断，则藏有宝箱的房间的门牌号是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．18．（12分）已知函数.证明：；已知，证明：.19．（12分）已知函数，且在和处取得极值.（I）求函数的解析式.（II）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20．（12分）某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据回归方程为＝x＋，其中，(1)画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；(2)根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程＝x＋；(3)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．21．（12分）已知矩阵.（1）求直线在对应的变换作用下所得的曲线方程；（2）求矩阵的特征值与特征向量.22．（10分）如图，直三棱柱中，侧面为正方形，，是的中点，是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．【详解】由茎叶图知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对故选B．【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．2、B【解析】

由三角形数表特点可得，利用累加法可求得，进而得到结果.【详解】由三角形数表可知：，，，…，，，整理得：，则.故选：.【点睛】本题考查数列中的项的求解问题，关键是能够采用累加法准确求得数列的通项公式.3、C【解析】

根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．【点睛】本题考查程序框图，是基础题．4、A【解析】

先根据定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数与，所围成的图形的面积，在求出，可得答案.【详解】解：由定积分的几何意义可知是由曲线与，所围成的图形的面积，也就是单位圆的，故，，故，故选：A.【点睛】本题主要考查定积分的有关计算，属于基础题，注意运算准确.5、C【解析】

根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论．【详解】设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p+2p=3p=1，解得p=，即按照顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率为，若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若先按逆时针开始从A→B，则对应的概率为××=，②若先按顺时针开始从A→C，则对应的概率为××=，则概率为+==，故选：C.【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.6、D【解析】

写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论【详解】解：∵时，左边最后一项为，时，左边最后一项为，∴从到，等式左边需要添加的项为一项为故选：D．【点睛】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7、D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．8、A【解析】分析：根据平面向量的数量积的定义，老鹰圆的垂径定理，即可求得答案.详解：如图所示，在圆中，过点作于，则为的中点，在中，，可得，所以，故选A.点睛：本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中涉及到圆的性质，直角三角形中三角函数的定义和向量的数量积的公式等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9、D【解析】

根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析：①将甲安排在3号位置；②在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，依据乙、丙两位同学不能相邻，再安排丙；③将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析：①甲必须站在正中间，将甲安排在3号位置；②在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，有4种情况，由于乙、丙两位同学不能相邻，则丙有2种安排方法；③将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，有种安排方法.故有1×4×2×2=16种安排方法.故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用，注意题目的限制条件，优先满足受到限制的元素.10、B【解析】试题分析：模拟执行程序，可得，不满足条件；不满足条件；满足条件，推出循环，输出的值为，故选B.考点：程序框图.11、B【解析】

设出直线的斜率，得到的斜率，写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得的值，进而求得最小值.【详解】抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.12、C【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，，复数对应的点的坐标为，，在第三象限．故选．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

在平面直角坐标系内,画出不等式组所表示的平面区域.平移直线,找到使直线在纵轴上的截距最大时,所经过的点坐标,把这个点的坐标代入目标函数解析式中，可以求出的值.【详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域如下图所示：平移直线,∵，所以当直线经过点时,直线在纵轴上的截距最大,解方程组：,把点的坐标,代入目标函数中，,解得.故答案为：1【点睛】本题考查了已知目标函数的最值求参数问题,正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键.14、60°．【解析】

计算出的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.【详解】由题意知，双曲线的虚轴长为，得，所以，双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的倾斜角分别为、，因此，两渐近线的夹角为，故答案为.【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.15、【解析】

由模长性质求解即可.【详解】因为,故.故答案为：【点睛】本题主要考查模长的性质,若,则.若,则.属于基础题型.16、325【解析】

利用演绎推理分析可得．根据房间号只出现一次的三个房间排除一些楼层，再在剩下的房间排除筛选可得．【详解】甲同学说：我不知道，你肯定也不知道；由此可以判断甲同学的楼层号不是1，4，6，因为房间号01，15，29都只出现一次，假设甲知道楼层号是1楼，若乙拿到的是01，则乙同学肯定知道自己的房间，所以甲肯定不是1层，同理可得甲也不是4，6层.101107126208211219311318325408415425507518526611619629所以只有以下可能的房间：208211219311318325507518526乙同学说：本来我也不知道，但是现在我知道了；由此可知，乙同学通过甲的信息，排除了1，4，6层，在2，3，5层中，由于211，311都是11号，所以乙同学的房间号肯定不是11号，同理排除了318和518.208211219311318325507518526所以只有以下可能的房间：208219325507526最后甲同学说：我也知道了，只有可能是325，因为只有3层的房间号是唯一的.由此判断出藏有宝箱的门牌号是325.【点睛】本题考查演绎推理，掌握推理的概念是解题基础．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值.试题解析：（1）因为向量与平行，所以，由正弦定理得，又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c>0，所以c＝3.故△ABC的面积为bcsinA＝.考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.18、证明见解析；证明见解析.【解析】

(1)，于是证明即可，左边可由所证得到；（2）即证，表示成含n的表达式，利用数学归纳法可证.【详解】令，则在上单调递增，在上单调递减.，即①当时，由①可得，即，即由可知②下面用数学归纳法证明当时，，结论成立；假设时，结论成立，即；当时，设，其中，则在上单调递增又，数列单调递增，故由归纳假设和中结论时结论成立，即结合②可得，即【点睛】本题主要考查利用导数证明不等式，数列与数学归纳法的运用，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度较大.19、(1)（2）存在，且或时，使得曲线与轴有两个交点.【解析】试题分析：解：（1），因为在和处取得极值，所以和是＝0的两个根，则解得经检验符合已知条件故（2）由题意知，令得，或，随着变化情况如下表所示：

1

（1，3）

3

－

0

+

0

－

递减

极小值

递增

极大值

递减

由上表可知：极大值＝，又取足够大的正数时，；取足够小的负数时，，因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，得：，∴或，即存在，且或时，使得曲线与轴有两个交点.考点：导数的运用点评：根据导数的符号判定函数的单调性是解题的关键，同时能利用其极值于x轴的关系的求解交点问题，属于中档题．20、（1）具有相关关系（2）（3）【解析】试题分析：（1）散点图如图：由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．（2）将表格数据代入运算公式，可得到其值，从而求得线性回归方程．（3）在回归方程中，令y=115，求得x的值，可得结论试题解析：（1）