2024届备战高考数学易错题《函数及其应用、指对幂函数》含答案解析

高中③函数类型的一切函数．④常数函数2.周期性技巧结论1：若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：也可理解为：平移个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的距离为，结论2：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.证明：口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.结论3：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.证明：先向左平移个单位得令如同结论1结论4：定义在上的函数，对任意的，若有，(或)(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.证明：，结论5:定义在上的函数，对任意的，有且，(其中是常数，)则函数是周期函数，是函数的一个周期.另一种题干出现的信息：①若的图象关于直线都对称，则等价于且，则为周期函数且.②若为偶函数且图象关于直线对称，则为周期函数且证明：向左平移个单位，得，同理，利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.秒出周期结论6:若定义在上的函数对任意实数，恒有成立()，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：由函数，向右平移个单位得口诀：内同号，外异号，内部只差需2倍，出现周期很.结论7:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：如同结论4，结论8:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：结论9:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：得结论10:①若定义在上的函数的图象关于两点都对称，则是周期函数，且是它的一个周期.②若奇函数的图象关于点对称，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：函数满足且，则利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.秒出周期结论11:①若定义在上的函数的图象关于点和直线都对称，则是周期函数，且是它的一个周期.②若奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.证明：函数满足且，则3.对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．结论：1.(1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有.(2)如果函数是偶函数，那么.2.函数周期性常用结论对定义域内任一自变量的值:(1)若，则.(2)若，则.(3)若，则.3.对称性的三个常用结论(1)若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称.(2)若对于上的任意都有或，则的图象关于直线对称.(3)若函数是奇函数，则函数的图象关于点中心对称.易错提醒：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别1．函数的奇偶性由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．2．函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称．例．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是奇函数，所以，则．又是偶函数，所以，所以．故选：C.变式1．已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．是以4为周期的函数 D．的图象关于对称【答案】B【详解】因为函数是定义域为的偶函数，所以，因为是奇函数，所以，将换成，则有，A：令，所以，因此本选项正确；B：因为，所以函数关于点对称，由，可得，的值不确定，因此不能确定的值，所以本选项不正确；C：因为，所以，所以，因此是以4为周期的函数，因此本选项正确；D：因为，所以，因此有，所以函数的图象关于对称，由上可知是以4为周期的函数，所以的图象也关于对称，因此本选项正确，故选：B.变式2．已知函数，下列结论中：①当时，的最小值为3；②函数是奇函数；③函数的图象关于点对称；④是图象的一条切线，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】①当时，,,当且仅当即时等号成立，所以最小值是3，正确；②函数，记，其定义域是，，因此是奇函数，正确；③的图象关于原点对称，把它向右平移一个单位，再向上平移一个单位得的图象，因此的图象关于点对称，正确；④，由得或，，，因此直线和都是函数图象的切线，④正确，故选：D．变式3．已知定义域为的函数满足，，当时，，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【详解】因为，，所以，所以，所以4为函数的周期，所以．故选：C．1．已知函数的定义域为，，当时，，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】由可得函数为奇函数，又可知，所以，可得，即，因此是周期为的奇函数，则，代入计算可得.故选：B2．定义在R上的奇函数满足是偶函数，当时，，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，又函数是偶函数，则，变形可得，则有，进而可得，所以函数是周期为4的周期函数，则.故选：C.3．已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（

）A．的周期为4 B．C． D．【答案】ACD【详解】由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称，所以，所以①，而②，两式相加得，则③，所以，所以是的一个周期，A选项正确.由③令得，由①令得，由②令得，则，所以，所以，C选项正确.由①令得，由，得，两式相减得，即，且关于对称，，所以④，所以，所以是周期为的周期函数，所以，所以B选项错误.由④令得，所以，所以，所以D选项正确.故选：ACD.4．已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（

）A．B．关于点对称C．D．【答案】BD【详解】假设，则，都为偶函数，则所设函数符合题意，此时，所以A错误；因为为偶函数，所以，即，令，则，所以关于点对称，故B正确；因为均为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，即，因为，所以，所以，所以，，又，，所以，所以无法确定的值，所以C错误；又，，所以，又，所以，由知函数周期为4，则的周期也为4，则

，所以D正确.故选：BD5．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；因为为偶函数，所以，即，则，又，所以，所以，即，所以，故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；对两边同时求导，得，所以导函数的周期为8，所以，故C正确；由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，所以，故D正确.故选：BCD.6．已知函数的定义域为，并且对，都有，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于对称B．函数为偶函数C．D．若时，，则时，【答案】ACD【详解】由可知函数关于直线轴对称，故A正确；由可得，又，所以，故函数为奇函数，故B错误；因为，所以，故为函数周期，又，所以，故C正确；由知函数关于成中心对称，当时，设为函数图象上任意一点，则在函数图象上，且，所以，即，故D正确.故选：ACD7．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（

）A．函数是奇函数B．函数的图象关于轴对称C．函数是最小正周期为2的周期函数D．若函数满足，则【答案】ABD【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确；因为，所以，又，所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确；因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误；因为，所以，那么，所以也是周期为4的函数，，因为，所以，，所以，所以，故D正确.故选：ABD.8．已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（

）A．B．直线为函数图象的一条对称轴C．函数在区间上存在3个零点D．若在区间上的根为，则【答案】AB【详解】对于A，因为，所以周期，故A正确；对于B，因为为偶函数，所以，又，所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C，若当时，无零点，则根据周期性和对称性可推出无零点，故C错误；对于D，因为的图象关于直线对称，且的周期，又在区间上的根为，所以，故D错误.故选：AB.易错点四：遗漏幂函数的特征及二次函数弦长公式（幂函数与二次函数）1、根据图象高低判断幂指数大小的方法幂函数的幂指数的大小，大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映.一般地，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大、图低”)，在区间上，幂函数中指数越大，图象越远离轴(不包括幂函数，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大图低")，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴.2、对于函数，若是二次函数，就隐含，当题目未说明是二次函数时，就要分和两种情况讨论.在二次函数中，的正负决定抛物线开口的方向的大小决定开口大小)确定抛物线在轴上的截距，与确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).3、根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函数在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非端点），4、二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.结论：1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为3.一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如下所示.①，限定条件②限定条件③限定条件在区间内没有实根限定条件限定条件限定条件限定条件限定条件在区间内有且只有一个实根限定条件限定条件在区间内有两个不等实根限定条件4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：=1\*GB3①轴处在区间的左侧；=2\*GB3②轴处在区间的右侧；=3\*GB3③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.易错提醒：幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种）（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.（3）两点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.例1若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设函数，则函数是由二次函数与指数函数复合而成的.当时，由于函数单调递减，而二次函数的图象开口向上，在区间上不可能单调递减，则函数在区间上不可能单调递增，故不满足题意；当时，函数单调递增，要使函数在区间上单调递增，则二次函数在区间上单调递增，又其对称轴为，故，所以.故选：C.变式1．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，又在上单调递减，，解得：.故选：B.变式2．已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在上单调递增；∴，解得；所以实数a的取值范围为．故选：A．变式3．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题可得，因为是奇函数，是偶函数，所以，联立解得，又因为对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，(i)若，则对称轴，解得；(ii)若，在单调递增，满足题意；(iii)若，则对称轴恒成立；综上，，故选：B.1．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即，解得或，所以实数的取值范围是。故选：D2．若幂函数在上单调递减，则（

）A．2 B． C． D．-2【答案】C【详解】由幂函数的定义可知，，即，解得或.当时，，在上单调递增，不合题意;当时，，在上单调递减，符合题意，故.故选：C.3．已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数在上为奇函数,所以，解得，又，，解得，解得，所以，，由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，则不等式，即，等价于，所以，解得，即不等式的解集为.故选：C4．已知为奇函数，当时，，当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为当时，，则在上单调递增，在上单调递减，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，，则所以.

故选：A5．已知的解集是，则下列说法正确的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，则m的取值范围是或D．当时，，的值域是，则的取值范围是【答案】ABD【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，于是得，即，对于A，不等式化为：，解得，A正确；对于B，，，当且仅当，即时取“=”，B正确；对于C，，令，则在上单调递增，即有，因有解，则，解得或，C不正确；对于D，当时，，则，，依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，从而得或，因此，D正确.故选：ABD6．已知函数，函数，则下列结论正确的是（

）A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是C．若有4个不同的零点，则D．若有4个不同的零点，则的取值范围是【答案】BCD【详解】解：令得，即所以零点个数为函数与图像交点个数，故，作出函数图像如图，由图可知，有3个不同的零点，则a的取值范围是，故A选项错误；有4个不同的零点，则a的取值范围是，故B选项正确；有4个不同的零点，此时关于直线对称，所以，故C选项正确；由C选项可知，所以，由于有4个不同的零点，a的取值范围是，故，所以，故D选项正确.故选：BCD7．已知函数(即，)则（

）A．当时，是偶函数 B．在区间上是增函数C．设最小值为，则 D．方程可能有2个解【答案】ABD【详解】：当时，，即，所以，所以是偶函数，故正确；：当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，综上，在上是增函数，故正确；：当时，，当时，，因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；：令，当时，，有2个解，故正确.故选：ABD8．已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【详解】当,，当且仅当时,等号成立，当时,为二次函数，要想在处取最小，则对称轴要满足,且,即，解得,故选：BCD.9．设，函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】由题意，函数，令，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为，当时，即时，可得，此时函数在单调递减，在上单调递增，且可得在递减，在上递增，且；当时，即时，可得，此时函数在单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性，可得在递减，在上递增，且，此时选项B符合题意；当当时，即时，此时函数有两个零点，不妨设另个零点分别为且，此时函数在单调递减，在上单调递增，可得在递减，在上递增，且，则在递减，在上递增，且，此时选项D符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD.故选：BD.10．关于的方程，下列命题正确的有（

）A．存在实数，使得方程无实根B．存在实数，使得方程恰有2个不同的实根C．存在实数，使得方程恰有3个不同的实根D．存在实数，使得方程恰有4个不同的实根【答案】AB方程化为关于的二次方程.当时，方程无实根，故原方程无实根.当时，可得，则，原方程有两个相等的实根.当时，方程有两个实根，由可知，，.因为，所以无实根，有两个不同的实根.综上可知：A，B项正确，C，D项错误.故选：AB易错点五：根式奇偶讨论（指对数函数考点）指数1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。对数：1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.|3.，且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.4.识别对数函数图象时，要注意底数以1为分界：当时，是增函数；当时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点，且以轴为渐近线.5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.6.比较对数值的大小(1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较(2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较(3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:第一步：求出函数的定义域；第二步：判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；第三步：判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性结论：1.画指数函数，且的图象，应抓住三个关键点:2.在第一象限内，指数函数且的图象越高，底数越大.3.有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域与值域形如的函数的定义域就是的定义域.求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域.若的范围不确定，则需对进行讨论.求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域.(2)判断复合函数的单调性令，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在上是减函数.换底公式的两个重要结论(1)(2).其中，且，且.对数函数，且的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限.易错提醒：根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.例．设函数的定义域为，其图象关于直线对称，且.当时，，则下列结论正确的是（

）A．为偶函数 B．C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减【答案】AC【详解】因为函数的定义域为，且，所以，所以函数是以为周期的周期函数，又因函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以，所以，所以为偶函数，故A正确；当时，，，故B错误；因为为偶函数且的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故C正确；因为当时，，而函数在都是减函数，所以函数在是减函数，又因为偶函数，所以在区间上单调递增，故D错误.故选：AC.变式1、设偶函数在上单调递增，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】因为函数为偶函数，所以；又因为偶函数在上单调递增，则，所以，，且由函数为偶函数知在上单调递减，故对于选项A和B，∵，在上单调递减，∴，故A错误，B正确；对于选项C和D，∵，，函数为偶函数，在上单调递减，∴，故C正确，D错误.故选：BC.变式2、已知函数，则（

）A．的最小值为1 B．，C． D．【答案】ACD【详解】，当且仅当时，取得最小值1，A正确．因为当且仅当时，取得最小值，且最小值为1，所以，所以，B错误．因为，所以，又，且在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确．因为，所以，所以，D正确．故选：ACD变式3、已知，则下列不等关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】由可知，若，则，则不成立，又时，，故，又，则可看作的图象与直线交点的横坐标，作出与的图象如图，

结合图象可知，故A错误，B正确；由，，得，故，C正确；令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，由于，故，即，故，D正确，故选：BCD1．下列说法正确的是（

）A．函数的图像恒过定点B．“”的必要不充分条件是“”C．函数的最小正周期为2D．函数的最小值为2【答案】AB【详解】对于A，令，则，即，所以函数的图像恒过定点，故A正确；对于B，不能推出，而能推出，所以“”的必要不充分条件是“”，故B正确；对于C，因为，令等价于，所以①，令等价于，所以②，由①②可得：，所以函数的最小正周期为4，故C错误；对于D，函数，令，则，由双勾函数的性质知在上单调递增，故，故函数的最小值为2错误，故D错误.故选：AB.2．某数学课外兴趣小组对函数的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有（

）A．函数的图象关于轴对称B．当时，是增函数，当时，是减函数C．函数的最小值是D．函数与有四个交点【答案】AC【详解】的定义域为，关于原点对称，且满足，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；当时，，由的性质可知其在上是减函数，在上是增函数，所以由复合函数单调性可知，在上是减函数，在上是增函数，又是偶函数，图像关于轴对称，故B不正确；当时，（当且仅当时取等号），又是偶函数，所以函数的最小值是，故C正确；由函数定义可得，函数与不可能有四个交点，故D不正确.故选：AC.3．给出下列说法，错误的有（

）A．若函数在定义域上为奇函数，则B．已知的值域为，则的取值范围是C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为D．已知函数，则函数的值域为【答案】ABD【详解】选项A：函数在定义域上为奇函数，则，即，即，即，整理得，即，所以，解得，当时，，该函数定义域为，满足，符合题意，当时，，由可得，此时函数定义域为，满足，符合题意，综上所述，选项A说法错误；选项B：因为的值域为，所以函数的值域满足，所以，解得，所以B说法错误；选项C：由得，所以的定义域为，选项C说法正确；选项D