数学学案：利用导数研究函数的极值VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B选修1—1第三章3.3。2利用导数研究函数的极值1．了解函数的极值和最值的有关概念．2．会用函数的导数求函数的极值和最值．1．极值的概念已知函数y＝f（x）及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有________，则称函数f(x)在________处取极大值，记作y极大值＝f（x0),并把______称为函数f(x）的一个极大值点；如果都有__________，则称函数f(x）在______处取极小值，记作y极小值＝f(x0）,并把______称为函数f(x)的一个极小值点．________与________统称为极值．________与________统称为极值点．（1)函数f(x）在点x0及其附近有定义是指在点x0及其左右邻域都有意义．（2)极值是一个局部概念，是相对某一点左右两侧邻域而言．（3)极值总是函数f(x）定义域中的内点，因而端点绝对不是函数的极值点．(4)函数f(x）在其定义域内的极值点可能不止一个,也可能没有．函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值不一定小于极大值．【做一做1】在下图中x1是函数的极__________值点，x2是函数的极__________值点．（填“大"或“小”)2．求可导函数y＝f（x)极值的步骤(1）求__________．(2)求方程________的所有实数根．（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，__________的符号如何变化．如果f′(x)的符号________，则f（x0)是极大值；如果f′(x)的符号__________，则f(x0)是极小值;如果在f′（x）＝0的根x＝x0的左右侧符号不变,则f(x0)不是极值．极值点与导数为0的点的关系：(1)导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x）＝x3，在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要不充分条件．(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点．如函数f（x)＝|x｜,在x＝0处,左侧(x＜0时),f′(x)＝－1＜0,右侧(x＞0时），f′(x)＝1＞0，当x＝0时，f（x)＝0，x＝0是f(x)的极小值点,但f′（0)不存在．【做一做2】方程f′（x）＝0的根一定是函数f(x)的极值点吗？3．求可导函数y＝f（x)在［a，b］的最大(小)值的步骤(1）求f（x）在开区间（a，b)内的__________．（2）计算函数f（x)在________和________的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．（1）函数的极值表示函数在一点附近的情况，是对函数局部的函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2）函数的极值不一定是最值，需要极值和区间端点的函数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性．（3）如果函数y＝f（x)在闭区间[a，b］上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间（a，b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．【做一做3】函数的最大值一定是函数的极大值吗？1．如何理解极值的概念?剖析：极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值,极值指的是函数值．（1）极值是一个局部概念．由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或是最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．（2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内,极大值或极小值可以不止一个．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点,而f(x4）＞f（x1)．(4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点处．2．导数为零的点一定是极值点吗?剖析：可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如f（x）＝x3在x＝0处的导数f′（0）＝0,但x＝0不是它的极值点，也就是可导函数在点x0处的导数f′(x0）＝0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件．特别地，函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点．题型一求函数的极值【例1】求下列函数的极值：(1）y＝f（x）＝3x3－x＋1;（2)f（x)＝x2ex.分析：首先对函数求导，求得f′（x）．然后求方程f′(x）＝0的根，再检验方程根的左右两侧导数f′（x)的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．反思：按照求函数极值的一般步骤求解即可．解答此类问题时要注意f′(x)＝0只是函数f（x）在x0处有极值的必要条件,如果再加上x0左右两侧导数值异号，方能判断函数在x0处取得极值．解题时，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误．题型二求函数的最值【例2】(1)求函数f（x）＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]内的最值．（2)设函数f（x）＝lnx＋eq\f(1，x）＋ax(a＞0)．若f（x)在（1,2］上的最大值为eq\f(5,2），求a的值．分析：（1）按照求最值的一般步骤求解即可．(2)按照求最值的方法求其最大值，其最大值是关于a的表达式．由题意知，最大值等于eq\f(5,2）,解方程即可求得a.反思：(1)利用求函数最值的步骤求解此类问题．(2）函数最大值点及最小值点必在下面各种点之中:导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点;若函数在区间［a，b]上连续且可导，则其最大值应在极大值点或区间端点处取得，最小值应在极小值点或区间端点处取得．题型三易错题型【例3】已知函数f（x）＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，求a，b的值．错解:f′（x）＝3x2－2ax－b。由题意得3－2a－b＝0，1－a－b＋a2＝10,解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,,b＝－3，)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－4，,b＝11.）)错因分析：在x＝1处有极值10，则x＝1是f′(x）＝0的根．但f′（x）＝0的根并不一定是极值点,故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x＝1处有极值．1函数y＝x2－x＋1的极小值是（)A．1B．eq\f（3，4）C．eq\f(7,4）D．22函数y＝x3－3的极大值（）A．是0B．是1C．是2D．不存在3函数y＝x＋eq\f(1,x)（x＞0)在x＝1处取得（)A．极小值B．极大值C．既有极大值又有极小值D．最大值4若a＞0，函数y＝x＋eq\f（a，x）在(0，＋∞）的最小值为4，则a＝__________。5已知函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x在x＝1处有极大值，求a的值．答案：基础知识·梳理1．f（x)＜f(x0)点x0x0f(x）＞f(x0)点x0x0极大值极小值极大值点极小值点【做一做1】大小2．（1）导数f′(x)（2)f′(x)＝0（3)导函数f′（x）由正变负由负变正【做一做2】不一定．3．（1)所有极值点（2）极值点端点【做一做3】不一定．典型例题·领悟【例1】解：y′＝9x2－1，令y′＝0,解得x1＝eq\f(1，3）,x2＝－eq\f（1，3)。当x变化时，y′和y的变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3）)）－eq\f（1,3）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，3),\f（1，3）)）eq\f(1,3）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,3)，＋∞)）y′＋0－0＋y单调递增极大值eq\f（11，9)单调递减极小值eq\f(7，9）单调递增此,当x＝－eq\f(1，3）时，y有极大值,并且y极大值＝eq\f（11，9).而当x＝eq\f(1,3）时，y有极小值,并且y极小值＝eq\f（7，9).（2）函数的定义域为R。f′（x）＝2xex＋x2·ex＝ex·x(2＋x），令f′(x）＝0，得x＝0或x＝－2。当x变化时,f′(x)，f（x)的变化情况如下表:x（－∞，－2)－2(－2，0)0（0，＋∞）f′(x）＋0－0＋f(x)极大值eq\f（4，e2)极小值0由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值,且f（0）＝0。当x＝－2时,函数有极大值,且f（－2）＝eq\f(4,e2)。【例2】解：（1）f′(x）＝3x2－4x，令f′(x）＝0,有3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝eq\f（4,3）.当x变化时，f′（x），f（x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(4,3）)）eq\f（4，3）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（4,3）,2))2f′（x)＋0－0＋f（x）－21－eq\f(5，27)1故f（x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2］上，f（x）最大值＝1，f（x)最小值＝－2.(2)f′(x)＝eq\f（1,x)－eq\f(1,x2）＋a＝eq\f（x－1，x2)＋a。∵当x∈（1，2］时，f′(x）＞0，∴f（x)在(1，2]上单调递增．故f（x)在(1，2]上的最大值为f(2)＝ln2＋eq\f（1,2）＋2a。由题意知ln2＋eq\f（1,2)＋2a＝eq\f（5，2），∴a＝eq\f（2－ln2，2)。【例3】正解：f′(x)＝3x2－2ax－b。由题意得3－2a－b＝0，1－a－b＋a2＝10，解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3，,b＝－3,))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－4，,b＝11。））当a＝3，b＝－3时，f′（x）＝3（x－1)2≥0，所以f（x）单调递增，不存在极值,故应舍去．当a＝－4，b＝11时,满足题意．所以a＝－4，b＝11.随堂练习·巩固1．B2．D3．A当0＜x＜1时，y′＝1－eq\f（1，x2）＜0；当x＞1时，y′＝1－eq\f（1,x2）＞0.故函数y＝x＋eq\f(1，x）（x＞0)在x＝1处取极小值．4．4y′＝1－eq\f(a，x2).当x＞eq\r(a)时，y′＝1－eq\f（a，x2)＞0;当0＜x＜eq\r（a)时，y′＝1－eq\f(a，x2)＜0。故函数y＝x＋eq\f(a，x）在x＝eq\r（a