2023届陕西省汉中市部分学校数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的，分别为63，98，则输出的（）A．9 B．3 C．7 D．142．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为、高为,则该容器外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．已知双曲线：1，左右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为（）A． B．11 C．12 D．164．用数学归纳法证明“”,从“到”左端需增乘的代数式为()A． B． C． D．5．定义在区间上的函数的图象如图所示，以为顶点的△ABC的面积记为函数，则函数的导函数的大致图象为()A． B． C． D．6．函数的一个单调增区间是（）A． B． C． D．7．设等差数列的前项和为，且，，则的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．48．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如8455用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（）A． B．C． D．9．设，则的值为（）A．2 B．0 C． D．110．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）A．2 B．4 C． D．11．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r312．已知点满足，则到坐标原点的距离的点的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数，计算__________．14．已知，满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．15．对于无理数,用表示与最接近的整数,如,.设，对于区间的无理数,定义,我们知道,若,和,则有以下两个恒等式成立：①；②,那么对于正整数和两个无理数,,以下两个等式依然成立的序号是______；①；②.16．甲、乙、丙、丁名同学被随机地分到三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是______________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）若函数有两个零点，，证明.18．（12分）已知函数.（Ⅰ）若函数在上是单调递增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的最大值，并说明取最大值时对应的的值.20．（12分）已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若不等式的解集为，求实数的值.21．（12分）已知实数满足，其中实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．22．（10分）已知，椭圆C过点，两个焦点为，，E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为．求椭圆C的方程；求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由，不满足，则变为，由，则变为，由，则，由，则，由，则，由，则，由，退出循环，则输出的值为，故选C.2、C【解析】

首先求出外接球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果【详解】根据已知条件，圆锥的底面积为8π，所以π•r2＝8π，解得圆锥的底面半径为，由题外接球球心是圆柱上下底面中心连线的中点，设外接球半径为R,则，解得所以表面积．故选C．【点睛】本题考查的知识要点：组合体的外接球的半径的求法及应用，球的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3、B【解析】

根据双曲线的定义，得到，再根据对称性得到最小值，从而得到的最小值.【详解】根据双曲线的标准方程，得到，根据双曲线的定义可得，，所以得到，根据对称性可得当为双曲线的通径时，最小.此时，所以的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的定义求线段和的最小值，双曲线的通径，考查化归与转化思想，属于中档题.4、B【解析】

分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“从到”左端需增乘的代数式.【详解】由题意知，当时，有，当时，等式的左边为，所以左边要增乘的代数式为.故选：.【点睛】本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从到，考查学生仔细观察的能力，是中档题.5、D【解析】

连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【详解】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选D．【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题．6、B【解析】

对函数在每个选项的区间上的单调性进行逐一验证，可得出正确选项.【详解】对于A选项，当时，，所以，函数在区间上不单调；对于B选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增；对于C选项，当时，，所以，函数在区间上单调递减；对于D选项，当时，，所以，函数在区间上单调递减.故选：B.【点睛】本题考查正弦型函数在区间单调性的判断，一般利用验证法进行判断，即求出对象角的取值范围，结合正弦函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题.7、B【解析】

根据题意，设等差数列的公差为，由条件得，由此可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．故选B．【点睛】本题考查等差数列的前项和，关键是掌握等差数列的前项和公式的形式特点，属于基础题．8、D【解析】

根据题意直接判断即可.【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有D符合，故选D.【点睛】本题主要考查合情推理，属于基础题型.9、C【解析】

分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：故选【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.10、A【解析】

根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积.【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱，所以其体积为.故选：A【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.11、A【解析】

根据正相关和负相关以及相关系数的知识，选出正确选项.【详解】由散点图可知图(1)与图(3)是正相关，故r1>0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r2<0，r4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2<r4<0<r3<r1.故选:A.【点睛】本小题主要考查散点图，考查相关系数、正相关和负相关的理解，属于基础题.12、B【解析】

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离的点P的概率．【详解】点满足，

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，．

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，

到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，

到坐标原点O的距离的点P的概率为：

．

故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】分析：求出二阶导数，再求出的拐点，即对称点，利用对称性可求值．详解：，，由得，，即的图象关于点对称，∴，∴．故答案为1．点睛：本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义．通过求出的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和．14、.【解析】，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15、①，②..【解析】

根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可.【详解】当时,由定义可知：,,当时,由定义可知：,,故①成立；当时,由定义可知：,,当时,由定义可知：,故②成立.故答案为：①，②.【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.16、【解析】

可把甲乙看成一个整体，再分到三个社区，算出对应的方法种数，再由题意算出所有的分配种数，结合古典概型公式求解即可【详解】把甲乙看作一个整体，再与其他两人分到三个社区共有种方法，而所有的分配方法有种，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是故答案为：【点睛】本题考查排列组合公式的应用，古典概型的求法，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)0.(2)证明见解析.【解析】

分析：求出导函数，可设切点为，由此可得切线方程，与已知切线方程比较可求得．（2）由可把用表示（注意是，不是它们中的单独一个），这样中的可用代换，不妨设，设，可表示为的函数，然后求得此函数的单调性与最值后可得证．详解：（1）由，得，设切点横坐标为，依题意得，解得．（2）不妨设，由，得，即，所以，设，则，，设，则，即函数在上递减，所以，从而，即点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性与最值．函数存在零点且证明与零点有关的问题，可利用零点的定义把参数用零点表示，这样要证明的式子就可表示的代数式，然后只要设，此代数式又转化为关于的代数式，把它看作是的函数，用导数求得此函数的最值，从而证明题设结论．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）将问题转化为对恒成立，然后利用参变量分离法得出，于是可得出实数的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数在上是增函数，设，并设，得知在区间上为减函数，转化为在上恒成立，利用参变量分离法得到，然后利用导数求出函数在上的最大值可求出实数的取值范围。【详解】（Ⅰ）易知不是常值函数，∵在上是增函数，∴恒成立，所以，只需；（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，不妨设，则，可化为，设，则，所以为上的减函数，即在上恒成立，等价于在上恒成立，设，所以，因，所以，所以函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）．所以．即的最小值为1．【点睛】本题考查函数的单调性与导数之间的关系，考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，对于函数双变量不等式问题，应转化为新函数的单调性问题，难点在于利用不等式的结构构造新函数，考查分析能力，属于难题。19、（1）的最小正周期为（2）时，取得最大值【解析】

降次化为的形式再通过求出最小正周期。根据的性质求出最大值即可。【详解】（1），所以的最小正周期为.（2）由（1）知.当时，即时，取得最大值.【点睛】本题考查三角函数的基本性质，属于基础题。20、（I）或；（II）2.【解析】

（I）代入a的值，求出不等式的解集即可；（II）解不等式，根据对应关系得到关于a的方程组，解出即可．【详解】（I）当时，由，得或