混凝土的徐变收缩理论

13混凝土的徐变收缩理论徐变、收缩及其影响因素徐变、收缩的数学模型徐变效应分析徐变、收缩微分方程徐变、收缩代数方程徐变收缩有限元、拟弹性逐步分析法小结本章参考文献

徐变、收缩是混凝土这种粘弹性材料的基本特性之一，它不但对桥梁结构影响大，而且持续的时间长，且其变化过程复杂，不易把握。徐变、收缩及其影响因素(1)徐变与收缩

徐变——当荷载作用在混凝土构件上，试件首先发生瞬时弹性变形，随后，随时间缓慢地进一步增加变形。这种缓慢增加的变形称为混凝土的徐变变形。

收缩——在无荷载情况下，混凝土构件随时间缓慢变形，这种变形称为混凝土的收缩变形。在实际混凝土结构中，徐变、收缩与温度应变是混杂在一起的。从实测的应变中，应扣除温度应变和收缩应变，才能得到徐变应变。在分析计算中温度应力与温度应变往往单独考虑。徐变与收缩则可在一起考虑。根据1990年CEB-FIP标准规范，在时刻承受单轴向、不变应力为

的混凝土构件，在时刻的总应变可分解为

加载时初始应变在时刻时的徐变应变收缩应变温度应变由应力产生的应变不由应力产生的应变在不包括温度应变时，混凝土的应变可进一步分解为（下图）——初始瞬时弹性应变

——滞后弹性应变，属可恢复的徐变

——初始瞬时流塑应变，主要不可恢复

——基本徐变应变，不可恢复

——干燥徐变应变，部分可能恢复混凝土的徐变，通常采用徐变系数来描述。目前国际上对徐变系数有两种不同的定义。如在时刻开始作用于混凝土的单轴向常应力至时刻所产生的徐变应变为，第一种徐变系数采用混凝土在28天时的瞬时弹性应变定义，即采用这种定义的是CEB-FIP标准规范（1990年版）及英国标准BS5400第四部分（1984年版）。徐变系数的另一种定义可表示为这一定义是由美国ACI209委员会报告所建议的（1982年版）。在该建议中，混凝土的标准加载龄期，对于潮湿养护的混凝土为7天，对于蒸汽养护的混凝土为1～3天从时刻开始对混凝土作用单轴向单位应力，在时刻所产生的总应变通常定义为徐变函数。对于上述两种徐变系数的定义方法，徐变函数可分别表示为CEB-FIP

AC1209混凝土的收缩是混凝土硬固由于所含水分的蒸发及其它物理化学的原因（但不是由于应力的原因）产生的体积的缩小。与收缩相反的是混凝土凝固因含水量的增加也导致的体积的增加。混凝土的收缩应变，一般表达为的函数形式。混凝土收缩应变终值的预计，主要依据环境条件、混凝土成分及构件尺寸，CFB-FIP建议、ACI209委员会建议及BS5400规范都有相应计算方法(2)徐变、收缩对桥梁结构的影响混凝土的徐变、收缩对桥梁结构的影响表现在：

（a）在钢筋混凝土、预应力混凝土等配筋构件中，随时间而变化的混凝土徐变、收缩受到内部配筋的约束将导致内力的重分布。预应力损失实际上也是预应力混凝土构件内力重分布的一种

（b）预制的混凝土梁或钢梁与就地灌筑的混凝土板组成的结合梁，将由于预制部件与现场浇筑部件之间不同的徐变、收缩值而导致内力的重分布。同样，梁体的各组成部分具有不同的徐变、收缩特性者亦将由于变形不同、相互制约而引起内力或应力的变化（c）分阶段施工的预应力混凝土超静定结构，如连续梁、刚架、斜拉桥、拱桥等，在施工过程中发生体系转换时，从前期结构继承下来的应力状态所产生的徐变受到后期结构的约束，从而导致结构内力与支点反力的重分布（d）外加强迫变形如支座沉降或支座标高调整所产生的约束内力，也将在混凝土徐变的过程中发生变化，部分约束内力将逐渐释放（e）徐变对细长混凝土压杆会产生的附加挠度

混凝土的徐变、收缩及其对结构性能影响的预计和控制，是十分复杂又难以获得精确答案的问题。正如美国混凝土学会第209委员会1982年的报告所指出的那样，几乎所有影响徐变、收缩的因素，连同它们所产生的结果本身就是随机变量，它们的变异系数最好也要达到15%～20%左右。因此，对于一些特别重要的工程，应该通过模型试验或实物测量的方法来校核计算中所用的参数，以提高计算结果与实际接近的程度。(3)影响徐变、收缩的因素徐变、收缩虽各有自身的特点，但它们都可以与混凝土内水化水泥浆的特性联系起来。化学成分截然不同的水泥制造的混凝土，所反映的徐变、收缩性能并没有本质上的差异，这说明徐变、收缩的机理在于混凝土水化水泥浆的物理结构，而不在于水泥的化学性质。关于混凝土收缩的原因及机理可归纳为：

（a）自发收缩。这是在没有水分转移下的收缩，其原因是水泥水化物的体积小于参与水化反应的水泥和体积，因此是一种水化反应所产生的固有收缩。这种收缩的量值较小

（b）干燥收缩。这是混凝土内部吸附水的消失而产生的收缩。也是混凝土收缩应变的主要部分（c）碳化收缩。这是由混凝土中的水泥水化物与空气中的二氧化碳发生化学反应而产生。碳化收缩是不久以前才发现的现象关于混凝土徐变机理的各种理论和假设，迄今为止还没有一种能被广泛接受。美国混凝土学会209委员会在1972年的报告中将徐变的主要机理分为（a）在应力和吸附水层的润滑作用下，水泥胶浆体的滑动或剪切所产生的水泥石的粘稠变形。（b）在应力作用下，由于吸附水的渗流或层间水转移而导致的紧缩。（c）在水泥胶凝体对骨架弹性变形的约束作用所引起的滞后弹性变形（d）由于局部发生微裂及结晶破坏以及重新结晶与新的联结而产生的永久变形。在下图中，影响混凝土收缩因素是与荷载条件无关的部分，但对混凝土徐变与收缩均有影响的因素，其作用不尽相同对于混凝土徐变，另一项重要的影响因素就是荷载条件。在徐变试验中施加于构件的应力一般取低于混凝土强度45%左右的单轴向压应力。大量试验结果表明，当压应力小于混凝土强度的50%时，徐变应变可以被认为与所施加应力具有线性关系。超过这一应力，将导致非线性关系。这种现象被认为是由于骨料与凝固水泥浆交界面上出现的微裂所致。当应力小于混凝土强度的50%时，拉力徐变与所施应力呈线性关系，拉力徐变初始速度较大但降速快，最终徐变可能小于压力徐变。混凝土徐变泊松比一般可视为与弹性泊松比相等。内部因素骨料种类水泥品种配合比水灰比外加剂构件外形尺寸搅拌捣固养护时间养护湿度养护温度

材料性质构件几何性质制造养护构件性质与荷载有关(无关)的随时间的应变外部因素

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环境湿度环境温度环境介质加载(或干燥)开始龄期荷载持续时间荷载循环次数卸荷时间应力大小应力分布加荷速度

环境条件加载历史荷载性质荷载条件与荷载有关︵无关︶的随时间的应变

影响徐变、收缩的因素徐变、收缩的数学模型(1)徐变、收缩数学表达式（a）徐变数学表达式目前国际上徐变系数的数学表达式有多种，但是可以分为两类：一类将徐变系数表达为一系列系数的乘积，每一个系数表示一个影响徐变值的重要因素；另一类则将徐变系数表达为若干个性质互异的分项系数之和。①H.Tost与W.Rat在1967年提出徐变系数的一般表达式可写成加载龄期

——常应力持续作用的时间

——加载龄期的影响系数——徐变随时间发展的函数，

——徐变系数特征值，，其中分别为取决于环境、混凝土成分及稠度、构件尺寸的系数上式又可写成加载龄期为时徐变系数终值在上式中，连乘系数的多少视考虑因素的多少而定，每一种系数可以从现成的图表中查得，或按一定的公式计算。目前，采用这种表达式的有英国规范BS5400（1984年版第四部分），及美国ACI209委员会的建议（1982年版）②CEB-FIP标准规范（1978年版）采用下述的徐变系数表达式式中：

—加载后最初几天产生的不可恢复的变形系数；

——可恢复的弹性变形系数，或徐弹系数

——不可恢复的流变系数，或徐塑系数③Z.P.Bazant提出了由基本徐变和干燥徐变组成的徐变表达式，称为BP模式，用徐变函数表示为总应变式中：

—分别表示干燥龄期、加载龄期及计算徐变时的龄期；

——单位应力产生的初始弹性应变；

——单位应力产生的基本（无水分转移）徐变；

——干燥以后徐变的减小值。④1990年版CEB-FIP标准规范的徐变系数表达式有很大变动，形式上也类似于系数乘积式中：——名义徐变系数

——环境相对湿度修正系数

——混凝土强度修正系数

——加载龄期修正系数

——徐变进程时间系数

以上、除与环境相对湿度有关，也与构件的理论厚度有关。水泥品种、养护温度对徐变的影响，通过修正加载龄期予以考虑。混凝土徐变随加载龄期的增长而单调地衰减，又随着加载持续时间的增加而单调地增加，但增加的速度随时间的增加而递减。关于徐变系数是否存在极限的问题，学术界有着不同的意见。认为极限存在者，一般用指数函数或双曲线函数作为表达式,认为不存在极限者，则多采用幂函数或对数函数作为表达式⑤指数函数表达式最有代表性的是老化理论表达式，也称Dischinger法，假定不同加载龄期的徐变系数——龄期曲线，可能由通过原点的徐变系数——龄期曲线的垂直平移而得，即按指数形式可表达为徐变速率这种表达式是F.Dischinger在1937年首先应用于复杂结构分析而被称为Dischinger法。⑥双曲线幂函数系数表达式是D.E.Branson于1964年提出的，也是美国ACI209委员会所建议的形式

、——由试验确定的常数，美国ACI209委员会在1982年报告中取⑦1975年Z.P.Bazant提出了双幂函数来表示基本徐变式中是一些与影响徐变因素有关的函数。这是徐变系数最为复杂的时间函数，但其适合计算机编程运算（b）收缩应变的数学表达式混凝土收缩应变一般表达式为收缩应变终值与时间函数的乘积，即收缩应变发展的时间函数

收缩应变的终值取决于环境的相对湿度、混凝土成分和构件理论厚度等因素。收缩应变时间函数的表达式有如下几种形式：①美国ACI209委员会建议的双曲线函数表达式与混凝土的养护条件有关的参数②1978年Z.P.Bazant教授提出的BP模式中，采用平方根双曲线函数形式表示收缩应变的时间函数常数由构件形状、有效厚度及开始干燥的龄期等因素而定③收缩应变另一种时间函数是假定其发展速度同徐变一样，故通常取指数函数的形式，即收缩的速率（c）黑混凝土提弹性模惹量随时漏间的发样展在混凝土安徐变的分导析中，混桃凝土弹性模量听随时间的发展盼规律是常一个重券要的参念数，尤旱其在较返精确的匠分析计从算中。①根据美魂国ACI2虚09委员会1982年的报告疗，混凝土虹的弹性模针量的时间缩慧函数表示霞为常数，根辨据养护条贪件和水泥稻品种而定②19笨90年乓版的CEB-袭FIP标准规范杰给出的混担凝土的割扯线模量的顺时间函数介则为与水泥拾品种有窝关的系毕数和与快龄期有咐关的函字数以上两中种规范牲所给出葱的混凝姻土割线榨弹性模棋量函数筝的形式完全不同。事实辽上，由毛于决定猴混凝土阀弹性模清量的因纯素复杂却，随着啊试验的归深入，席同一规泻范在不些同时期呼也会有康较大改政变，如CEB嗓-FI影P19证78年版的与愤其上式完灾全不同。（2）蜜徐够变、收必缩应变认、应力督的关系（a）线性叠性加原理如前所足述，在住工作应理力下，于混凝土魂的弹性荒应变和们徐变应暑变都与拐应力呈馆线性关钟系。因拜此，只要总慢应力不脂超过混碰凝土强盏度的50%左右，分援批施加应件力所产生丙的应变可附以采用叠通加原理。至于卸载辣或减载后废的徐变恢直复是否可救叠加和如乓何叠加的除问题是值赤得进一步线探讨的。1943年D.M跪cHe劲nry提出了销徐变可创逆性理该论，他鱼将卸载角考虑为孕施加负竖荷载，早其所产用生的徐剧变与同卖一时刻剪施加的岁正荷载搁所产生瞒的徐变堂相等，束但方向片相反。叔混凝土婶试件的悬试验都嫁说明叠订加原理淘对基本口徐变符爹合得很怨好，但是对于羞包括干燥哨徐变的总傍徐变来说茂，由叠加原理所梦得出的徐尚变恢复一萝般大于实轿际恢复。因此至，应用掩叠加原划理对递鱼减荷载凭将会产胶生少量训偏差。叠加原理姨仍是设计性工作中有红价值的工续具根据叠加惯原理，对厉于在料时刻施贴加初应力悉，逢又在不同优的时刻王分伤阶段施加玻应力增量的混凝蛛土，其小在以后鬼任何时欢刻产包括辅收缩应贿变在内动的总应肃变可以就表达为对后加虹应力为晕连续变圾化的应天力，则窃可写出咐描述叠线加原理糟的积分辨表达式进行分卷部积分殊，并假客定收缩应变阴的发展进厘程与徐变裳相似，即则（b）烂应力、养应变关秒系的微给分方程雷表达式将不同的谢徐变系数慕表达式代标入上式可止推导出应骡力、应变阳关系的微枝分方程表太达式。如双对于Dis恒chi喘nge款r法，应力帖、应变的漫微分方程灭为但是，有横些徐变系减数表达式执不能得出惹常微分方蛾程，故不骗能利用微相分方程求无解，正因榴为如此，Disc屡hing绳er法在国内洽外广泛被致采用，直拘到20世纪60年代后弓期才逐哀渐为Tro捐st-艰Baz华ant法所取代（c）发应力、梯应变关身系的代碗数方程厅表达式1967知年H.T乒rǒst教授在丘他的论巡寿文中，点从混凝钻土应力—应变的垂线性关邮系和叠佣加原理祖出发，伴引入了格老化系醋数（松污弛系数坟）的概链念，并氧假定混族凝土弹悬性模量寻为常数颗，推导兴出在不扇变荷载纽奉下，由袭徐变、作收缩导稍致的应愿变增量颂与应力蚂增量之戚间关系歉的代数纵方程表么达式为从上式迁又可推禁导出从传应变变股化求应储力变化惰的公式圾，即——老梅化系数值（当初H.T够.ro初st称其松怠弛系数办，197史2年Z.P.仓Baza敏nt改称老史化系数岛）表示加弹载龄期朗对徐变政系数终商值的影妥响系数197级2年Z.P员.Ba躬zan椅t将定义为按饱龄期调整羞的有效模舱量老化系数董可根据所就采用的徐蒜变系数表爸达式进行忧推算。如宗采用Disc于hing碍er法的表待达式，法则老化开系数可燥以表示脂为（d）烂徐变与矛松弛从龄期衣开毙始施加撇常应变黎至龄克期扯时的附应力可表达为松弛函被数松弛系数松弛系数纪定义为从会龄期孝至胆的应刃力降低值售对初应力躁之比在实际添结构中俭，应力小和应变局往往是肝随时间诊同时变暖化，交泥错影响常的。在静定结咬构中，汤应变或笔变形的最增减并毁不导致眠应力的食变化，薯但是应碑力的变游化往往乌导致应映变的变千化。在超时静定结驱构中，救不仅应阁力的变皮化将导涂致应变皇的变化螺，而且毯应变的收变化也幼会导致继应力的绢变化。甚工程中螺一些重万要的问铃题如：①相已知支座向的不均匀禁沉陷量，独求支座反协力与内力刮的变速化问题；②结合梁勺的内力重裤分布问题③分阶导段施工夺的超静监定结构补在体系声转换后推的内力唐重分布西问题等都属阴于松弛问题松弛试验泰较为困难扯，资料很豆少。但是程徐变和松富弛具有内巩在的联系演，往往需乘要从已知访的徐变函却数来推求循松弛函数怪。Z.P.谎Baza夹nt从徐变函杠数与松弛东函数的基己本概念出栗发，推导狸出从松弛应函数到老赔化系数的君计算公式牵：徐变效斯应分析（1）陷老化理圾论分析（a）世徐变微宿应变与蹈微应力牧关系若弹性模皇量取为常旅数，并不饼计弹性应像变和收缩桥影响，则据应力、应碧变关系方舱程表达式岭为将老化猫理论的艺徐变系桶数把上式修代入上怒式有时刻总袜应力（b）徐帝变微应变喝与内力的饿关系设搂、蓬为违时实际结笑构的初始所弯矩和轴纱力，它可数以是静定师的、超静粪定的、或证者部分静赖定另一部阁分超静定希结构的内茧力，视具宇体情况而灭定。在糠后结构成卧为超静定扬，悄为徐跑变引起超鹿静定结构黑的赘余力（毛），计为超炊静次数熔，张和麻为=1作用于饮基本结尤构产生遥的弯矩失和轴力贴，于是晃赘余力自产生的丽任意截吧面的弯糠矩和轴锡力为由它产生妹的徐变应兔力轴力和徐网变应力以那受拉为正抄，弯矩适陈用于右手惭规则，以码指向翅轴正向为仁正，如下及图所示。结构初厨始内力帜产生的侦应力消去Mct，Nct并微分有写成应晚力应变解式有式中截面重泳心处的穷轴向应翅变和重负心轴的惹曲率（c）嗓变形协侦调及内菠力求解设切口住方向的衔变形为洪，利用皮虚力原惯理得将唱和跑表达式兄代入上吩式有应当注抽意，结沫构不同换位置的宫徐变系耗数是不脊同的，眨如果最仰年轻混哄凝土的陷徐变系灿数为冈，羞那么，北由老化散理论知单，其他阴龄期混热凝土的况徐变系刘数可表冒示成则有根据变形赛协调条件肢，应当有写成矩豪阵形式渣为上式是老化理托论求解凭超静定起结构徐剩变二次驶内力的枯基本微酒分方程马组，当混凝劈燕土龄期相名同时，即午，族于是有令于是由此解约得即（d）讨猎论如果用柿、正表占示后期吉结构的捕弯矩和好轴力，夺即一次蜓落架的矿内力，慎、臂为银时刻孩的结构挥内力，政则有由于有得类似可袋以推得表明，当属结构初始户内力是一取次落架的龙内力时，惰即那么这两式右边炮的第二项块等于零，麻亦就是徐彼变的二次梢内力等于第零；另外，评也表明，酷、缸的差值杀越大，徐酬变二次力慰亦越大，锦结构内力滚变化亦越盲大，这些惭性质对了简解结构的党徐变效应处是十分重谨要的。（2）械T-案B分析针法在应力想、应变呈关系的准代数方扣程式中舍去弹责性应变陶及收缩值影响，酱则有仿效上节镰老化理论呀分析过程酷，有利用虚杏力原理腹可以求匀出切口页方向的店变形为根据切翁口处的烦变形协虫调条件刃有写成矩阵螺形式上式是T-B法求解指超静定吐结构徐倍变赘余琴力的基挤本方程术，它是突代数方沿程组，堂很容易途求解当结构改混凝土原龄期相疲同，且勇初始内愈力为一窃次落架孔时，则悉有即徐变不吗引起此啄种超静线定结构佣内力重卷分布徐变、收嘱缩微分方劲程（1）将基验本假定（a）桥梁周结构的刚所有构再件具有吼相同的闪徐变和很收缩特但性（b）教体系转联换之前尾结构继默承下来匀的荷载送为芒，碗内力为惰，体珍系转换别之后结招构具有顷次璃超静定近。（2）识参数（a）左从前期值继承下轮来的，耀在赘余壶力方向剥的初内鲁力为（b）辽结构体编系转换南时刻为（c）蔬体系转浓换后时省刻饥产生斩于赘余夕力方向糖的次内栏力为枝（积）。（3）蓬相容方婶程在体系转弦换后的任燃何时刻躲的悦时间装内，第逝个赘余力鄙方向的变值位增量分亡别为：（a）由版次内力增瓶量晕产猎生的变位叮增量：（b）由灿徐变增量乏产生的变勤位增量：（c）咳由荷载斗及初内梅力盛产距生的变沟位增量牌：（d）由浅混凝土收匹缩变化产富生的变位雨增量：则变位相袭容条件为式中：—所产生构于基本悠静定结匹构第相个植赘余力课方向的室变位——由荷律载纤及初军内力侧产生于基贼本静定结娇构第树个岭赘余力方误向的变位——时间桂混凝雷土的徐变寇系数体系转换后经针的强时间站内，戏混凝土妖收缩产项生于基怠本静定皆结构第絮个赘余留力方向约的变位狱。（4）安求椅解方法若收缩速牙度与徐变堂相似，则则变位旁相容条好件式可朋化为式中：——荷载绍产男生于基本稿静定结构南第马个赘余力章方向的变的位；——在慨混坟凝土收蜘缩产生么于基本读静定结咳构第拍个赘余洗力方向毯的变位；——在照混梢凝土的徐缩慧变系数，圣即徐变系字数终极值另一方面箭，若以同穴样的外荷狱载和与收粉缩应变终橡极值瞬时歼施加于经阴体系转换后的后期结跟构中，令盯第个丧赘余力方童向的弹性叨次内力为享，则有相绵应方程比较式得半到解微分方宅程，并根罩据初始条员件：故式中：——第渡个赘余苹力方向砍因徐变痒与收缩孔而产生知的内力纯变化；——先昏期结构乎在第于个赘杏余力方犹向的截源面内力喷；——先林期结构辞荷载加附上与收绒缩应变秩终极值袍时的瞬冒时荷载歌，按后公期结构司计算得颜到的第翁个赘余昏力方向遭的截面谎内力可以看到蚁，在推导盐过程中，忽略了实阳际存在的傻构件施工帽节段之间阔徐变特性矩的差异，而经过顺体系转换明后超静定父结构几乎套毫无例外木地存在着栋这种差异徐，这是该潜式的缺点夸。但是该呈式使我们枣能够直接旦估计体系肆转换后的竭徐变影响锐，看到实际悦的内力线部总是在前壳期结构的混内力线和画后期结构捉的内力线酸之间变动冤，变动的速辐度与徐帆变大小有胜关徐变、收仆缩代数方让程（1）赛基溪本假定（a）且桥梁结箩构各构青件的徐马变、收波缩特性仆相同（b）羽后期结暮构为黄次超猫静定结改构（2）轻相容方霜程体系转臣换时刻袭为跳，转换及后任一息时刻怀，司因徐变皆、收缩戒产生于鲁第陵个赘余妨力方向叶的相容亦变位有级：（a）由伤截面徐变喝次内力净产生的变劫位：（b）由兆荷载及前狮期结构继孟承下来的损初内力产贫生的变位韵：（c）由收缩增框量产生的才变位则变位相盈容条件为式中：——由荷载元及前期星结构继弦承下来械的初内论力产生皱于基本割静定结胜构第妨个倘赘余力古方向的变位晨；——从颗时刻仿至喝时刻挽的时间电内，产利生于第个赘余廊力方向遗的截面皇徐变次壶内力；——当敲时赏产生于粗基本静巾定结构遍第犹个赘余下力方向焦的变位艳；——从照到底时菊间内的收联缩增量产逢生的基本老静定结构谦第喂个赘余小力方向的隐变位（3）功求解方铁法假定收昌缩发展宫的速度始与徐变选相同，山则有整理有若认为微分方程式与代数方程式（的可求解结特果相同欢，则此即为前灭述的老化扰系数（4）龄考脱虑不同丘徐变、卵收缩特流性如结构卫各节段春混凝土册具有不去同的徐领变、收政缩特性践，则干、岭、青等均应弃按徐变特续性分段计党算。例如膝，以徐变现系数为钉者魄为斧段，徐三变系数为攀者为握段家等等，这岩有式中：兴、——第惨个赘余岔力在爬段作丹用引起的双第苹个赘蜜余力方向率的变位；荷载及前涂期结构内些力对痛段用作用引起滴的第杆个博赘余力方任向的变位伸；徐变收缩方有限元、含拟弹性逐颂步分析法用Disc附hing落er法、Tro笛st—腹Baz脑ant法或其它鞭方法，都鸽可以表示搜徐变、收探缩产生的韵应力增量称与应变增谈量之间的忘关系。以凝下将仅考召虑Tros筋t—Ba刷zant法。设异为计谎算时刻祥，用较占精确的学形式将栋应力与岂应变增粉量的关妈系表达聋为式中：挂、——至岁时间内蜡由徐变愁与收缩买引起的谜应变增划量和应楼力增量久；——移时刻的遭应力增柳量；——伤至兴时间内赚发生的忠收缩应呈变增量链；——享时刻的熔弹性模量缺；上式考互虑了混竹凝土弹葵性模量更随时间掀的变化戒，还考蛾虑了初洁应力和渴初应变袖形成的肾历史。喉同理，迅可写出鼻截面曲纸率增量搅与弯矩猾增量的附关系式中：哑、——至荐时间内牲由徐变与肚收缩引起违的曲率增共量和弯矩部增量；——谎时刻的弯窑矩增量；——同至坚时间内蛛收缩引起根的曲率增糟量；——混凝负土截面的贫抗弯惯性辰矩。注意到并设代入应趟力与应铸变增量怜的关系跟式，若犯以贺为通过肿形心点沙的应力错增量，军则轴力侮增量可剖表示为混凝土亡截面面裤积同样将学、联代入锻截面曲率秘增量与弯他矩增量式茎，表示为携弯矩增量县形式，即由以上公悟式可知，裁如用按龄录期调整得有效模泉量代替混凝东土的弹性蒜模量宪，则在涌第番个阀时间内，干因徐变、到收缩产生盯的应力或阁内力增量魄与应变增拥量之间具雁有线性关傅系，因而掀可以利亲用解弹示性结构絮的方法嫩来求解颜混凝土埋结的徐变和移收缩问题丹。在采用抢刚度法时晕，只需将辽刚度矩阵反中的附用夫代替多即可根据有哥限单元斤法形成恶荷载矩变阵的原梅理，如毁对结构溪中任一轮平面梁喊单元施欲加约束图，使在咸第刘个削时间内铅节点变脚位增量回保持为0，则可得客节点约束钻（或锁定碧）产生的敬轴向力增朗量与节点涨弯矩增量否分别为由上两饥式并考宿虑到单胳元两端及域的区别陶，按单孤元规定寒的坐标玻系即可结形成单乒元徐变眠、收缩加荷载矩兄阵。在对混凝项土桥梁的辩徐变与收柜缩进行有仙限单元分捆析时，可盟将从施工厕开始到竣患工直至收然缩、徐变尤完成的过守程划分为若干计算刚阶段，每个陶计算阶头段再划盼分为数梯个适当羊的时间溉间隔；绒每个计棋算阶段秀已建结风构划分剥成若干碍个单元龄，使每亭个单元显的混凝蚂土具有顽均一的歉徐变、障收缩特哲性。在舞静定结印构阶段剃，徐变潮、收缩险只发生道变形增苍量不产讽生内力粘增量，炭亦即徐聚变次内喘力为零桥，这时阔仍可用裕有限单撒元进行待分析，更但老化欢系数取始为1.0。若将混馋凝土徐变系数赴、收缩应蠢变模拟成睬以为牛底的多项起指数系数表达式哈，上列氧两式可沿通过递舌代方式蹄计算前县期内力键对徐变宵的影响秘，则在湾采用有菜限元分酬析计算按时，计重算机的匠内存消疼耗将大岭大减少廊，计算皂速度加词