平面问题有限元

平面问题有限元第1页，共78页，2023年，2月20日，星期一3-1 有限单元法的计算步骤3-2 平面问题的常应变(三角形)单元3-3 单元刚度矩阵3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质3-5 平面问题的矩形单元3-6 六节点三角形单元3-7 单元载荷移置3-8 整体分析3-9 整体刚度矩阵的形成3-10 整体刚度矩阵的特点3-11 支承条件的处理3-12 应力计算4/29/2023第2页，共78页，2023年，2月20日，星期一弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤：

1、所分析问题的数学建模2、离散化3、单元分析4、整体分析与求解5、结果分析4/29/2023图3-1第3页，共78页，2023年，2月20日，星期一

有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。 对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。 因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。如图3-14/29/2023第4页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/20231、位移函数如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。第5页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

三结点三角形单元六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3节点三角形单元的位移函数如下，该位移函数，将单元内部任一点的位移设定为坐标的线性函数，该位移模式很简单。其中为广义坐标或待定系数，可据节点i、j、m的位移值和坐标值求出。位移函数写成矩阵形式为：第6页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023最终确定六个待定系数其中为2A第1行各个元素的代数余子式，a(i,j,m),b(i,j,m),c(i,j,m)只是记号，表示此方阵仅与x(i,j,m),y(i,j,m)有关。

第7页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023令（下标i，j，m轮换）简写为[I]是单位矩阵，[N]称为形函数矩阵，Ni只与单元节点坐标有关，称为单元的形状函数第8页，共78页，2023年，2月20日，星期一据弹性力学几何方程得单元的应变分量由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量）4/29/2023第9页，共78页，2023年，2月20日，星期一2、形函数的特点及性质1)形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。即4/29/20233)单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。4)形函数的值在0—1间变化。第10页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/20233、收敛性分析选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件：位移函数必须含单元常量应变。单元必须能反映单元的刚体位移（即单元应变为0时的位移）。前面位移函数改写为（注意：为0）则单元刚体位移为显然，位移函数包含了单元的刚体位移（平动和转动）第11页，共78页，2023年，2月20日，星期一(3)位移函数在单元内部必须连续位移。因为线性函数，内部连续(4)位移函数必须保证相邻单元在公共边界处的位移协调（即在公共边界上位移值相同）。如右图设公共边界直线方程为y=Ax+B，代入位移函数可得：边界上位移为 显然，u,v仍为线性函数，即公共边界上位移连续协调。 综上所述，常应变三角形单元的位移函数满足解的收敛性条件，称此单元为协调单元4/29/2023y=Ax+B边界不协调产生裂缝边界不协调产生重迭第12页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵[N]。第13页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

由三角形的面积把上步求得的a(i,j,m),b(i,j,m),c(i,j,m)代入第14页，共78页，2023年，2月20日，星期一4、应力、应变矩阵将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵：4/29/2023第15页，共78页，2023年，2月20日，星期一应力矩阵由平面问题物理方程得：应变矩阵[B]反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系应力矩阵[S]反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系显然，常应变三角形单元的应变矩阵[B]为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值。由此可见，在相邻单元的边界处，应变及应力不连续，有突变。4/29/2023第16页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023yiFixmFxjFxiFymFyjFmj*yiFi*xmF*xjF*xiF*ymF*yjFmjys*xy*y*xgeexytxs(a)节点力、内部应力(b)虚位移、虚应变

讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节点位移表示节点力的表达式。由应力推算节点力，需要利用平衡方程。采用虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上作的虚应变功。第17页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为：

任意虚设位移，节点位移与内部应变为第18页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为第19页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。第20页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

微小矩形的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为第21页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

根据虚功原理，得这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。虚应变可以由节点虚位移求出：代入虚功方程第22页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

接上式，将应力用节点位移表示出有令实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为

则建立了单元的节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。第23页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且因此可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。第24页，共78页，2023年，2月20日，星期一单元刚度矩阵可记为分块矩阵形式将应变矩阵[B]的分块阵代入单元刚度矩阵，可得其子块计算式：对于常应变三角形单元，考虑平面应力问题弹性矩阵[D]，可得4/29/2023第25页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

上述推导单元刚度矩阵的过程可归纳为单元刚阵[K]的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。其元素的意义为：当第j个自由度发生单位位移，而其他自由度的位移为0时，在第i个自由度上所施加的力。若按节点来说明，则刚阵中每个子块表示：当节点j处发生单位位移，而其他节点固定时，在节点i上所施加的力。{}s[]tABT[]tA]B][D[]B[KTe={}ed{}e{}eF[]D[]B[]]B][D[S=(6)(3)(3)(6╳3)(3╳3)(3╳6)(3╳6)(6╳6)第26页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

节点力和节点位移的关系：(以简单平面桁架为例)平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在节点载荷的作用下，节点对单元、单元对节点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为节点力。节点力和节点位移的关系前面已经求出：第27页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

单元刚度矩阵的物理意义：将写成分块矩阵写成普通方程其中表示节点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上所需要施加的节点力的大小。第28页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

单元刚度矩阵的物理意义：将节点力列矩阵与节点位移列矩阵均展开成(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵：元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。第29页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

单元刚度矩阵的物理意义：

单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。表示节点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平节点力和垂直节点力的大小。例如表示节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i所需要施加的水平节点力的大小。第30页，共78页，2023年，2月20日，星期一1）单元刚度矩阵是对称阵，(只要证明)2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。3）单元刚阵是奇异阵，即|K|=0，这是因为计算单元刚阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解，只能得到唯一的节点力解。4）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。4/29/2023第31页，共78页，2023年，2月20日，星期一

例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设4/29/20231、求[B]2、求[D]3、求[S]4、求第32页，共78页，2023年，2月20日，星期一几点说明：1）单元刚度方程是满足节点力平衡条件而建立的，即有限元方程是一组节点力平衡方程组。2）单元内任一点位置的平衡条件往往不满足，即微分平衡方程可能不满足。对于非线性单元，位移函数常不满足以位移为未知量的平衡方程，对线性单元，因位移函数为线性的，应变、应力为常量，可以满足单元内平衡。3）单元之间的平衡条件一般得不到满足，线性单元的应力为常量，单元间应力有突变，明显不满足平衡条件。4/29/2023第33页，共78页，2023年，2月20日，星期一利用节点位移，可待定系数4/29/2023xyi(1,-1)j(1,1)l(-1,1)m(-1,-1)

矩形单元是平面问题常用的一种单元，尤其是边界比较规则的平面结构，如图2a*2b的4节点8自由度矩形单元。位移函数取无量纲坐标，得矩阵表示第34页，共78页，2023年，2月20日，星期一代入系数至位移函数，并整理成位移插值函数Ni为形函数，仍具有前述的形函数的基本性质记为矩阵形式，I为单位矩阵可以证明该位移函数满足收敛性条件，单元为协调元4/29/2023第35页，共78页，2023年，2月20日，星期一应变矩阵4/29/2023应变矩阵[B]的元素是x，y的函数，所以，矩形单元中的应变不是常量，而是随x或y线性变化的，显然，应力也是随x或y线性变化的。较常应变单元有更高的计算精度第36页，共78页，2023年，2月20日，星期一将刚阵记为分块形式其子块的计算为（虽然该计算式是从三角形推导的，但它是一般格式，适用于所有单元）4/29/2023第37页，共78页，2023年，2月20日，星期一面积坐标称为p点的面积坐标，显然三个面积坐标不完全独立，有如下关系实际为三角形的高与高的比，即平行jm线的直线上的所有点有相同的。同时，易得4/29/2023ijmp第38页，共78页，2023年，2月20日，星期一将三角形顶点ijm坐标与p点坐标代入面积坐标，则得面积坐标与直角坐标xoy的关系式比较与常应变三角形的形函数可知，两者相同4/29/2023第39页，共78页，2023年，2月20日，星期一如图六节点12自由度三角形单元位移函数：单元内任意一点的位移位移函数用6个节点位移与相应的形函数来表示4/29/2023i(1,0,0)j(0,1,0)m(0,0,1)1(1/2,1/2,0)2(0,1/2,/2)3(1/2,0,1/2)第40页，共78页，2023年，2月20日，星期一应变矩阵4/29/2023从上可知：位移为面积坐标或直角坐标的二次函数，应变或应力为面积坐标或直角坐标的一次式，即在单元内位移为二次变化，应变或应力为线性变化第41页，共78页，2023年，2月20日，星期一将刚阵记为分块形式4/29/2023其子块的计算为(虽然该计算式是从三角形推导的，但它是一般格式，适用于所有单元)第42页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置(分解)，而成为节点载荷。如果弹性体承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为节点，就不存在移置的问题，集中力就是节点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向节点移置。将载荷移置到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。第43页，共78页，2023年，2月20日，星期一载荷移置的原则：能量等效，即单元的实际载荷与移置后的节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等载荷移置的条件：圣维南原理载荷移置的方法：

1）直接法（静力等效法，虚功移置法）

2）普遍公式法4/29/20230.5ql0.5ql0.5ql0.5qlMM静力等效第44页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

虚功移置：在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算得节点载荷。即移置前后虚功相等。如均质等厚度的三角形单元所受的重力，把1/3的重力移到每个节点，即yjcbxiwlmmyiYjYyjcbxiwlmmxiXjX1/3第45页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

例：总载荷的2/3移置到节点i，1/3移置到节点j，与原载荷同向yxmjip=0.5qLiX=2/3pjX=1/3pjL=2/3LiL=1/3LyxmjiqL第46页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

普遍公式法集中力的移置体力的移置分布面力的移置在线性位移模式下，用直接计算法简单；非线性模式下，要用普遍公式计算。第47页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023图示结构的网格共有四个单元和六个节点。在节点1、4、6共有四个支杆支承。结构的载荷已经转移为结点载荷。整体分析的四个步骤：1、建立整体刚度矩阵；2、根据支承条件修改整体刚度矩阵；3、解方程组，求节点位移；4、根据节点位移求出应力。单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析。第48页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/20231、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵)

上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和12个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，转换关系为：分块形式为：其中子向量和都是二阶向量，子矩阵是二行二列矩阵，整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。第49页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、根据支承条件修改整体刚度矩阵建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以处理。在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6的四个支杆处相应位移已知为零：建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。3、解方程组，求出节点位移。通常采用消元法和迭代法两种方法。4、根据节点位移求出应力。第50页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。1、刚度集成法的物理概念：刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。在单元刚阵中，表示j节点单位位移，其他节点位移为零时，单元e在i节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中，表示j节点单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在i节点引起的节点力(由于结构已被离散为一系列单元，即所有与i、j节点相关的单元在i节点引起的节点力之和)。如上图结构，计算时，与节点2和3相关的单元有单元①和③，当节点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在节点2引起节点力，将相关单元在节点2的节点力相加，就得出结构在节点2的节点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。第51页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、刚度矩阵的集成方法：1）在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移，2）整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri，12i

3412i

Ri34第52页，共78页，2023年，2月20日，星期一2、整体刚度矩阵的集成方法具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵[K]。关键是如何找出中的子块在[K]中的对应位置。这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之间的对应关系。4/29/2023第53页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023结构中的节点编码称为节点的总码，各个单元的三个节点又按逆时针方向编为i,j,m,称为节点的局部码。单元刚度矩阵中的子块是按节点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是按节点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把节点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排列。第54页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4，因此子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵为：而相应的单元刚度方程为（或节点力表达式）：第55页，共78页，2023年，2月20日，星期一用同样的方法可得出其他单元的扩大的单元刚度方程:4/29/2023据节点力平衡，各个单元相应节点力叠加：整理可得，整体平衡方程：第56页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023整体平衡方程：

1）其中[K]为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩阵：集成包含搬家和迭加两个环节：

A、将单元刚度矩阵中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵。

B、将各单元的扩大刚度矩阵迭加，得出结构刚度矩阵[K]。2）为节点载荷向量，为节点位移向量。第57页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023第58页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。

1、对称性。只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。

2、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。第59页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。

节点5只与周围的六个节点(2、3、4、6、8、9)用三角形单元相连，它们是5的相关节点。只有当这七个相关节点产生位移时，才使该节点产生节点力，其余节点发生位移时并不在该节点处引起节点力。因此，在矩阵[K]中，第5行的非零子块只有七个(即与相关节点对应的七个子块)。第60页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、稀疏性一般，一个节点的相关结点不会超过九个，如果网格中有200个节点，则一行中非零子块的个数与该行的子块总数相比不大于9/200，即在5%以下，如果网格的节点个数越多，则刚度矩阵的稀疏性就越突出。利用矩阵[K]的稀疏性，可设法只存贮非零元素，从而可大量地节省存贮容量。第61页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

3、带形分布规律。上图中，矩阵[K]的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中(包括对角线元素在内)，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d表示。半带宽的一般计算公式是：半带宽d=(相邻结点码的最大差值+1)*2

上图中相邻节点码的最大差值为4，故d=(4+1)*2=10

利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。

第62页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023图(a)中的矩阵[K]为n行n列矩阵，半带宽为d。半带存贮时从[K]中取出上半带元素，按图(b)中的矩阵的排列方式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量n*d，存贮量与[K]中元素总数之比为d/n，d值越小，则存贮量约省。矩阵[K]矩阵对角线第1列

r行r行

r列45度斜线r行s列r行s-r+1列元素元素第63页，共78页，2023年，2月20日，星期一4/29/2023同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带宽d也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。第64页，共78页，2023年，2月20日，星期一无约束结构的整体刚阵是奇异的，即整体平衡方程的解不唯一，所以，必须引入几何约束，才能求得唯一解。位移约束常分为：节点固定和给定节点位移两种约束。由于引入位移约束条件通常在整体刚阵及节点载荷形成后进行，即此时[K]、{R}中的元素均已按一定顺序分别储存于相应的数组，故引入位移约束时，要求尽量不要打乱[K]、{R}的储存顺序。引入约束的方法常有：1）降阶法2）对角元素置1法3）对角元素乘大数法4/29/2023第65页，共78页，2023年，2月20日，星期一1）降阶法：此法将打乱[K]{R}的储存顺序，仅用于方法说明。设节点位移中，