弹性力学初步

弹性力学初步第1页，共48页，2023年，2月20日，星期一刚体：在任何外力作用下,形状大小均不发生改变的物体。刚体内任意两质元间的距离保持不变内部质元之间可以有相对运动，宏观上体现为形变或非均匀流动。如果质元之间可以有相对运动？刚体 忽略形变弹性体形变不可忽略流体无法维持固定的形状弹性体和流体的研究方法：微元为有质量的体积元质量的体积元密度r力作用在微元的表面应力：F/S微元不是离散的质点第2页，共48页，2023年，2月20日，星期一弹性形变——当物体所受外力撤除后，在外力作用下所发生的形状和体积的变化完全消失，而恢复原状的形变.弹性体——在外力作用下，物体内部各点的相对位置发生改变；宏观上，表现为物体的大小和形状发生变化。自然界中并没有完全弹性体，一般变形体，既有弹性，还有撤去外力后不能完全复原的塑性。假设：(1)变形体材料均匀连续，忽略实际物体中的微粒间的不连续性。认为物体的性质处处相同。多晶纯橄榄石矿物在正交显微镜下图像。颗粒之间是不连续的。每个颗粒都是橄榄石矿物。（注颜色不同是矿物双折射的干涉产生的。）第3页，共48页，2023年，2月20日，星期一(2)变形体材料各向同性，在各个方向具有相同的力学性质。暂不考虑各向异性的材料。譬如：单晶是各向异性的。多晶，在宏观上表现出各向同性。这是由于多晶是大量单晶无规则排列的结果，在宏观上的平均效果表现为各向同性(3)变形体变形很小，即物体几何大小和形状的改变与其总尺寸相比甚小。在形变很小的情况下，可以认为物体内各点的相对位移与力成正比，即该形变是弹性形变。这时，变形和作用力之间的关系仍然呈线性，是胡克定律在复杂力作用下的推广，称为“广义胡克定律”第4页，共48页，2023年，2月20日，星期一第5页，共48页，2023年，2月20日，星期一外力，内力和应力ABAB讨论横截面积远小于其长度的细直杆。两端受到沿轴线的力而平衡假想横面AB将直杆分成上下两部分。通过截面AB产生一对内力。考虑平衡。应力

Fn是内力在外法线方向的投影，S是横截面积单位：帕,N/m2

应力是物体中各部分之间相互作用的内力8.2.1线应变第6页，共48页，2023年，2月20日，星期一在固体中一个截面上的应力一般不与此截面垂直，我们可以将它分解为法向分量和切向分量，前者称为正应力，后者称为剪切应力。纯正应力相对应的体应变纯剪切应力相对应的剪切应变赵州桥如果设计得好，楔型石料将主要承受压应力第7页，共48页，2023年，2月20日，星期一8线应变取一根长、宽、高分别为l，w，h的等截面杆形材料。如果两端在拉力F作用下，其长度伸长为l，并满足小变形假设。胡克定律：力与伸长成正比，即F∝l。杆伸长l不仅取决于外力F，也取决于杆的长度。F∝l/l为得到杆形材料的伸长l，力F将取决于该材料的横截面积。F/S∝l/l相对伸长l/l就是单位长度的伸长，一般称为应变。第8页，共48页，2023年，2月20日，星期一（仅形变较小时成立）胡克定律即Y是弹性模量(杨氏模量),是描写材料本身弹性的物理量.FlOCDBOABPP

是塑性应变.断裂点弹性极限第9页，共48页，2023年，2月20日，星期一第10页，共48页，2023年，2月20日，星期一第11页，共48页，2023年，2月20日，星期一实验：当在一个方向上对材料拉伸时，必将在与这一伸长垂直的方向上收缩。宽度的相对收缩正比于长度的相对伸长。根据材料的各向同性假设常数v

称为泊松比，它是表征材料性质的另一个参数。泊松比是一个无量纲的正数，小于1/2第12页，共48页，2023年，2月20日，星期一8.2.2叠加原理在力和位移上都是线性的，而且均满足小位移假设，所以叠加原理成立。由此，一维情况下成立的应力-应变关系与泊松比关系在多维情况下也成立第13页，共48页，2023年，2月20日，星期一8.2.3体应变与剪切应变1）体积形变·体应力与体应变若只有p1单独作用，棱边a为纵向边，棱边b和c为横向边，三个应变分别为：在p2单独作用下，以及p3单独作用下，棱边a，b，c的应变分别为：第14页，共48页，2023年，2月20日，星期一在应力p1，p2，p3同时作用下，棱边a的应变为：在应力p1，p2，p3同时作用下，棱边b和c的应变为：体积：第15页，共48页，2023年，2月20日，星期一体积变化（体应变）当

时，即静水压作用下K为体积模量，有关系由上式得，

要小于0.5。否则体积模量K为负值，材料会在增加压力时发生膨胀。第16页，共48页，2023年，2月20日，星期一2）剪切形变·切应力与切应变剪切形变——物体受到力偶作用使物体两个平行截面间发生相对平行移动.ABCD切应力S是截面ABCD的面积，物体受到力偶发生剪切变形切应力具有与正应力相同的量纲和单位.2.切应力1.力偶：大小相等方向相反彼此平行的一对力Odm1m2与参考点的选择无关第17页，共48页，2023年，2月20日，星期一剪切应力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线的切应力相等.思考：切应力不相等时，物体会出现什么状态？

abc力偶矩3.纯剪切状态：剪切应力互等和’分别表示上下底面和左右侧面的切应力第18页，共48页，2023年，2月20日，星期一4.剪切应变描述abcdbc剪切形变特征:切应变:平行截面间相对滑移与截面垂直距离之比.即形变小时，又称切变角.第19页，共48页，2023年，2月20日，星期一即G称切变模量，由材料弹性决定.G反映材料抵抗剪切形变的能力，单位与弹性模量相同.剪切形变的胡克定律——若形变在一定限度内，切应力与切应变成正比.弹性模量E、切变模量G和泊松系数

之间的关系为5.剪切形变的胡克定律由上式得，

要大于-1。否则剪切模量G为负值，材料会在做剪切形变时对外力做功而不是外力做功使材料发生形变。第20页，共48页，2023年，2月20日，星期一Y、G和

之间关系的推导FFFF水平方向的应变为：1）正应力作用下2）剪切力作用下BD截面上受力为截面面积为因此拉(张)应力为F/S

AC截面上压应力为-F/S第21页，共48页，2023年，2月20日，星期一在立方体处于纯剪切状态下，其剪切应力F/S相当于彼此大小相等、互相垂直，并与原立方体面成45°截面上的拉(张)应力与压应力的组合。应力与应变可由下图所示的力作用下的结论得到，这可由上一个关系式给出：其中一条对角线伸长，另一条则缩短。在讨论剪切应变时，切应变常采用角变形

角表示第22页，共48页，2023年，2月20日，星期一例题：大理石在110MPa的应力下才碎裂，它在破裂之前经历的最大应变有多大？解：由应力-应变关系 ， Y=55×109Pa或其它值（查得） =2×10-3例题：一种砖密度为2×103kg/m3，最大可承受40MPa的应力。那么用这种砖一层层砌起高塔，能保持最底层的砖不破裂的塔的最大高度为多少？解：应力为可推得：h=2040.8m第23页，共48页，2023年，2月20日，星期一例题：一条铝线长0.850米，横截面为圆形且直径为0.780毫米。一端固定，另一端栓一1.20千克的物体在水平面内做圆周运动。请问多大的角速度能使铝线有1.00×10-3的应变？解：铝的杨氏模量E=69×109Pa 其中例题：一根铁质缆线横截面面积为3.00平方厘米，每米重2.40千克。如果500米的缆线垂直悬挂于悬崖下，请问在它自身的重力作用下，缆线会伸长多少米？解：在x处的应力为 x处的·dx微元的伸长量dl 总伸长量为第24页，共48页，2023年，2月20日，星期一例题：矩形横截面杆在轴向拉力的作用下产生拉伸应变为ε，此材料的泊松比为σ，求证体积的相对改变为：式中V0和V分别代表原来和形变后的体积。低碳钢的杨氏模量为

，泊松比为0.3，受到的拉应力为=1.37Pa，求杆体积的相对变化。解：应变泊松比：体积：第25页，共48页，2023年，2月20日，星期一得证拉应力：所以：第26页，共48页，2023年，2月20日，星期一在剪切钢板时，由于刀口不快，没有切断，该材料发生了剪切形变。钢板的横截面积为S=90cm2，二刀口间的距离为d=0.5cm，当剪切力为F=7*105N时，已知钢板的剪变模量为G=8*1010Pa，求：（1）钢板中的剪切应力；（2）钢板的剪切应变；（3）与刀口齐的两个截面所发生的相对滑移。解：（1）剪切应力：（2）剪切应变：第27页，共48页，2023年，2月20日，星期一（3）应变与相对滑移：第28页，共48页，2023年，2月20日，星期一一根长度为L，半径为a，其一端相对于另一端扭转角度的圆柱形棒。由实验知，在小变形的条件下，一根受扭转的棒所受的力矩与扭转角

成正比，其比例系数取决于棒的材料以及棒的几何尺寸。下面我们将导出这个比例系数。第29页，共48页，2023年，2月20日，星期一扭转的本质是剪切应变。这是一个材料内部不同部分受有不同应力的问题。第30页，共48页，2023年，2月20日，星期一把圆柱棒分成许多很薄的同轴柱形壳分别进行考察。我们讨论其中一个半径为，厚度为的薄柱壳。柱壳面上一个小正方形，受扭转后变成一个平行四边形。在剪切力作用下，此柱壳元的切变角为利用虎克定律，剪切应力为同时切应力还可表示为一端的剪切力除以端面积F提供了环绕柱轴的力矩M：第31页，共48页，2023年，2月20日，星期一总力矩M应等于该柱壳整个圆周的每个M之和：即，一个空心薄柱壳的转动刚度(即转动弹性模量)一根实心棒可以看成许许多多同心薄柱壳构成，而且每一柱壳有相同的扭转角总转动力矩等于每一柱壳上的力矩之和。因此第32页，共48页，2023年，2月20日，星期一试推导钢管扭转常量D的表达式。第33页，共48页，2023年，2月20日，星期一例题：一铝管直径为4cm，壁厚1mm，长10m，一端固定，另一端作用一力矩50N.m，求铝管的扭转角。已知铝的剪变模量G=2.65*1010Pa。解：扭转角：代入数据，得：第34页，共48页，2023年，2月20日，星期一梁的弯曲AABCC´B´M1M2AA´BC´B´C矩形横截面梁，不计自重,如图第35页，共48页，2023年，2月20日，星期一MAA´bh弯曲后，靠近上缘各层发生压缩形变；靠近下缘各层，发生拉伸形变.处于中间的的CC´层(中性层)既不伸长也不压缩.中性层曲率M是加于梁的力偶矩，E为材料的杨氏模量，b为梁宽度，h为梁的高度.弯曲形变特点:第36页，共48页，2023年，2月20日，星期一铁轨的横截面呈“工”字形：铁轨在列车压力下弯曲，拉压应力集中于上下缘之故。人体骨骼当杆型物体弯曲和扭转形变时，拉伸或剪切应力都是集中于最外侧骨骼呈中空状第37页，共48页，2023年，2月20日，星期一矩形横截面边长2:3的梁在力偶矩作用下发生纯弯曲。对于截面的两个不同取向，同样的力偶矩产生的曲率半径之比为多少？解：依据梁弯曲的曲率公式，有：设边长分别为：2a、3a一种取法：b=2a，h=3a则：另一种取法：b=3a，h=2a则：第38页，共48页，2023年，2月20日，星期一8.4.1剪切波（横波）静态扭棒扭矩沿棒处处相等，并正比于如果扭转是均匀的，有在棒中任取一长度为x的一小段棒，两端面1,2的位置坐标分别为x和x+x，所受转扭分别为和当x足够小时，有近似关系：第39页，共48页，2023年，2月20日，星期一作用于此小段棒的净扭矩为：小段棒的质量为为材料的密度它相对于圆棒轴的转动惯量为：转矩等于转动惯量与角加速度之积：即化简为：第40页，共48页，2023年，2月20日，星期一8.4.2涨缩波（纵波）以弹性细棒中传播的声波的为例取弹性棒中的任意一小段棒，此小段棒两端的平衡位置为x和x+x

，运动中两端面的位移为y和y+y

，应力为 和 。设棒的横截面积为S，材料的杨氏模量为E。则这小段棒受到的合力为小段棒的质量为由牛顿第二定律第41页，共48页，2023年，2月20日，星期一得这是一维波动方程，声速为其中为棒的密度。在粗而厚的物体中传播的声波，其波速将比一根细棒中传播的声速大一些。这是由于大物体中的横向尺寸比声音波长大得多，推压该物体不会向旁伸展，受到横向约束。这种情况下的弹性模量E′大于材料的E：因此声速可以表示为：因有关系G<E<E′，纵波比剪切波传播得更快。