复合泊松分布

复合泊松分布及其性质称随机变量S=£N1X'服从参数为人的复合泊松分布，如果满足1.随机变量N,X1,X2，・..,Xn是相互独立若X1，X2，・..,X「・具有相同的分布，且分布与X相同N服从泊松分布，参数为人〉0E(S)=E(X)E(N)=XE(X)

而尸(S)=Var(X)E(N)+E(X)War(N)=XVar(X)+人E(X)2=XE(X2)F(x)=£P(N=n)F*n(x)=工(e^~F初(x)n=0n=0f(x)火彳fn(X)Sn!n=0TOC\o"1-5"\h\z定理3.1设S,S，…,S为相互独立的随机变量，且S为参数为冗，12nii个体索赔分布为f(x)的复合泊松分布，i=1，2・・・m,则XiS=S+SHFS服从参数为X=Y人，且f(x)=祝T~f(x)的复合12niXXXii=1i=1分布。背景：m可看成m个保险保单组合，S则是这m个保单组合的总索赔额。S也可以看作同一个保单组合在m个不同年度内的总索赔额证明：设S；为参数为X^的复合泊松分布，Si的矩母函数为M(t)=exp[X(M(t)-1)]。由于S,S，…,S为相互独立的随机变量，SiX12nii因此S的矩母函数为：EsM(t)=E(ets)=E(、)STOC\o"1-5"\h\z=而(etsi)=I^Ms(t)

i=1i=1i=exp(E人M(t)—E人)i人.ii=11i=1=exp('E=(M(t)—1))

人“i=1设Mx(t)=E%M*(t)，由矩母函数的定义知，Mx(t)为i=11fX(t)=EJfX(t)的矩母函数，因此i=11Ms(t)=exp(人(Mx(t)—1))

所以S为参数为人，个体索赔分布为fx3)的复合泊松分布。2若S1和TOC\o"1-5"\h\z例：设S1服从复合泊松分布，七=10,fx(1)=0.7,fx(2)=0.3，S也服从复合泊松分布，气=15,fx(1)=0.5,fx(2)=0.2,f⑶=0.2S相互独立，求S=S+S2若S1和X的分布为21X的分布为解：S服从复合泊松分布，人=10+15=25，f(x)=10f(k)+15f(k)

X25X125X2f(1)=100.7+150.5=0.58X、2525f(2)=贝0.3+^0.3=0.30X、'25250.12f(3)=100.2+150.2

x''25250.12定理：设总索赔额S是一个复合泊松分布，其中个体保单的索赔额X的分布f3）。假设X的取值可以分为m种类型：C「C，…,C，其中丸z=P（XeC）。设N表示索赔发生总次数，N「.,Nm分别m表示C1,C2，...,Cm类型索赔发生的次数，N=N1+N2+."Nm。下面结论成立：2m12m（1）随机变量N1,%,•••,N相互独立，N服从参数为人二人兀.的泊松分布。（2）设X⑴表示当第i类索赔事件发生时的索赔额，即X（i）=XIXeC,令S=X］（i）+...+X（n）,i=1,...m，则S「…,S都是相互独立且5三服从参数为七二人兀.的复合泊松分布，个体索赔额为X（z）。例3.13:设S服从复合泊松分布，人=10,fx⑴=0.5,fx(2)=0.3,fx(3)=0.2。令q=(XIX<2),C2=(XIX>2),求X(i),X⑵的分布，*,S2的分布。解：令P]=P(X<2)=0.5+0.3=0.8，P2=P(X>2)=0.2则X(1),X(2)的分布为XfX3)f(JX)X(1)f⑴X(2)10.50.5/70.8020.30.3/70.8030.200.2/70.2设Nt表示第/类索赔事件发生的次数，则Nt是泊松分布，人=XP(xgC)=10po于是计算得到人=10x0.8=8，人=10x0.2=2，因此，*是复合泊松分布，X=8，个体索赔分布为53f(1)=8,f(2)=疽S2是复合泊松分布，X=2，个体索赔分布为f⑶=1oX2)例3.14设索赔次数N服从X=2的泊松分布，个体索赔额的分布fx(x)=0.1x,x=1,2,3,4，计算总索赔额S等于1,2,3,4时的概率。

解:设N.表示个体索赔额为i的索赔事件次数，则N.服从参数为人兀1的泊松分布，总索赔额S=\N1+2N2+3N3+4N4，其中，兀广0.1,K2=0.2,兀3=0.3,兀4=0.4,利用独立随机变量和的卷积公式得到下表。x1N12N23N34%fs(x)00.81870.67030.54880.44930.135310.163750000.0270520.0163750.2681000.0568330.0010900.329300.092240.0000550.053600.35950.1364

例3.15设某保险公司承保医疗保险，X表示一次医疗费用，N表示看病的次数，N服从泊松分布，S=X1+X2+..•+Xn表示该医疗保险的总费用，设X的分布密度为TOC\o"1-5"\h\z2x一f(x)=——(1-——)0<x<250

X、，250250试分析加入免赔额d=50后，保险公司的总索赔额的变化。解：首先考虑无免赔额情形，此时d=0。总索赔额等于总医疗费用S。由X的分布密度计算得到.2x250E(X)=』250x三(1-工)dx=——=83.3°2502503Var(XVar(X)=250218总索赔额的期望和方差为-----E(S)=XE(X)=8333.3Var(S)=人E(X2)=100(E(X)2+Var(X))=100((芝0)2+2502)318=1041666.6下面考虑d=50的情形。这时将医疗费用分为两类：q=(XIX<50),C=(XIX>50)。设N］表示医疗费用小于等于免赔额的次数，服从参数为七=人P(X<50)=100(1-(1-250)2)=36的泊松分布。N2表示医疗费用大于免赔额，服从参数X=XP（X>50）=100（1—孩）2=64的泊松分布。设X（I）=XI,2250X<50x2=xIx>50，则总损失额S=*+S2，其中S1=X,）+・.・+XN（1）S=X⑵+...+X（2）s1表示医疗费小于等于免赔额的总费用，这部分费用完全由投保人承担。s2表示医疗费大于免赔额的总费用。由于X=XI=50+（X—50）I，因此25S2=X1（2）+、XN2⑵=50N2况…十其中Y=X—501x>50表示第i次看病的索赔额。从上式可以看出，总费用S2分为两部分，一部分由投保人承担，另一部分是总索赔额部分，由保险人来承担。我们记总索赔额为S3,则S3=匕+•••+Yn。Yj的分布密度为2(150+y)2(200-y)fz)_f(5°+y)—250’250_250’250)罗y)—P(X>50)—(i-当之仁00厂TOC\o"1-5"\h\z2502502y———(1-工)200200因此，E(Y)—200，Var(Y)—2(200)2。可以得到总理赔额的期望和方39.4差为E(S)—E(N)E(Y)—64(200)—4266.6323

Var(S)=E(N)E(Y2)=64((200)2+22°8333.3事实上，总损失S可以分解为：S=X⑴+•••+X⑴+X⑵8333.3事实上，总损失S可以分解为：S=X⑴+•••+X⑴+X⑵+•••+X⑵Kv1''v2_■加入免赔额后，总理赔额比没有免赔额时减少了=48.8%。8333.3-4266.6

S的近似分布1、正态近似=48.8%。定理设个别理赔额分布函数为f(X，"广E(X)，u2=E(X2)。(1)如果S是复合泊松分布，参数为人，则当人T3时Z=Ms齐2的分布趋于标准正态分布。(2)如果S是复合负二项式分布，参数为r,p,P(N=k)=r+r®"r八1+p\rJ,P(N=k)=r+r®"r八1+p\rJ,k=0,1,2,的分布在r—s时趋于标准正态分布。t2.一-、一、2Var(S)M(t)=E(exp(tS—M))=M(—)exp{-E}

s2证明：我们将利用limMz（t）=e2来证明（1）和（2）。对于泊松分布情形，由z=S-E（S）=S―扁一得到2由公式(5)知Ms(t)=exp[人(M^(t)-2Var(S)M(t)=E(exp(tS—M))=M(—)exp{-E}

s22由矩母函数的级数展开式M(t)=E(etx)=1+E(X)t+E(X2)12+.••+丘(X"tn+...,x2n!我们可以得到，111u',、M(t)=exp(；212+~—^=——3—13+•••)2t2当人T3，Mz(t)—e2，即limM^(t)=e2。从而，Z分布在r—s时趋于标准正态分布。对于负二项分布，令〃S-E(S)S-E(N)E(X)z==—(Var(S)柱(N)Var(X)+Var(N)E(X)2S-rPu

=1、：rPu+rP2u2再用类似的方法证明Z分布在r*时趋于标准正态分布。此处不再叙述。例：(SOA2001-1130)TheclaimsdepartmentofaninsurancecompanyreceivesenvelopeswithclaimsforinsurancecoverageataPoissonrateofl=50envelopesperweek.Foranyperiodoftime,thenumberofenvelopesandthenumbersofclaimsintheenvelopesareindependent.Thenumbersofclaimsintheenvelopeshavethefollowingdistribution:Nun】berotClaudsI'rotxibiIiryTOC\o"1-5"\h\zicEo0.2?0.400J5Usingthenormalapproximation,calculatethe90thpercentileofthenumberofclaimsreceivedin13weeks.解：设r表示第I个信封中的索赔数。设X(13)表示13周内收到的i总索赔数。E(Y)=1x0.2+2x0.25+3x0.4+4x0.15=2.5iE(Y2)=1x0.2+4x0.25+9x0.4+16x0.15=7.2iE(X(13))=50x13x2.5=1625Var(X(13))=50x13x7.2=4680由P(X(13)<Z)=0.9=①(1.282)=>p(X(1冬5<1.282)<4680因此，X(13)<1712.72、平移gamma近似设G(x;a,P)=j*Ee-Edt为gamma分布，对任意一点x0,or(a)0定义一个新的分布函数H(x,a,P,*0)=G(x-x0;a,P)。若设h(x)和g(x)分布为H(x,a,P,x0)和G(x,x0,a,P)的分布函数密度，则从图形上H和G只差了一个平移变换。

卜面我们用龙3)来描述总索赔S的分布密度。因为h(x)有三个参数，所

以只需根据S的均值、方差和三阶中心矩定出h(x)的形状和位置。又因为h的均值，方差和三阶中心矩分别为x+a,a,2a，所以用h(x)0PP2P3来描述S的分布时，下面三个等式近似成立。aE(S)=x0+p(7)(7)Var(S)=-p22aE(S-E(S))3=p3这是一方程组，解出XQ,a,P有_g_2Var(S)2%-E(S—E(S))34Var(S)3

a=E((S—E(S))3)2a2Var(S)P=E(S—E(S))3（7）这样就可以得到一个平移gamma分布。当S为复合泊松分布时，可简化为TOC\o"1-5"\h\z4扁32ua=2;p=2U2U其中R=E(X3)。（7）3aa右X+—=up—=b2，当x—-8,a—8,P—8时，可以证明H(x,a,—,x)趋于正态分布N(u,q2)。因此，正态分布可以看作是这种0三参数分布的一种极限情况。从这个意义上来说，平移gamma分布近似是正态近似的推广。例3.17：设S为复合泊松分布，人=12，当个体索赔分布为【0,1］上的均匀分布时，试分别用(1)正态近似(2)平移gamma近似计算P(S<10)。解：(1)由条件易知u=E(X)=1，u=E(X2)=L于是得到1223E(S)=X^=6，var(S)=X^=4所以，P(S<10)=P(^6<2)=O(2)=0.97722(2)令%=E(X3)=f1x3dx=4，贝QE(S-E(S))3=XR3=3，解方程组'6=x+a/P<4=a/P23=2a/P3得x0=-4.67,a=28.44,P=2.67。因此S的分布函数为G(x+4.67;28.44,2.67)，P(S<10)=G(14.67,28.44,2.67)=0.9683

3、对数正态近似此外，实际中还使用对数正态分布ln("q2)来近似S的分布，即考虑方程组E(S)=exp(u+6”‘2)E(S2)=exp(2u+2b2)(3.41)解出u,b2，然后用ln(u,b2)来描述(3.41)当E(N)的值较大时，正态分布近似的效果不错，特别是当N为泊松分布，二项式分布和负二项式分布时，由中心极限定理知，当人,m,r趋于无穷时，S的分布将趋于正态分布。而当E(N)的值较小时，S的分布是有偏斜的，这时使用平