高等数学上微积分第一基本定理

5.3微积分基本定一、一、微积分第

yf(g

A(fx)在[ab上连续、非负

h A

af(

x b

f(x)dx

f(t)

面积x xx积分上限函x假设x0，A(xAxxAx

f(t)dt

f(t)

f(t)dt

f(t)dt f(t)[ab]xxf(1)f(t)f(2)，t[x，x由估值不

f(1)x

f(t)dtf(2即 f(1)A(x)f(2x令x0，有1 21从而 f()f(11

f(2)f(2limA(x)f(

即dAx)f

xddxxd

f(t

f(例例 求由yx2，x0，x1，x轴所围面积 面 A

1 01x01xA(x)

xt2dt，x[00Axx2，Ax1x33而A(0)C AA(1)

10

1x33

fx在[b]上连续，则积分上限

F(x)

xf(t)0在[b可微，Fxfx)其中x[a，b]，x0为任意取定的证 x，xx[a,

f(t)dtf(00F(x)F(xx)F(x)00

f(t)dt

f(t)

f(t)fx在[ab上连续xxx]xxx]上连续由积分中值定理可知F(x)

x

f(t)dtf()x，xxx之 limF(x)limf()f(

d2d

dx

f(t

(f(t连续2xd( 2x

f(t)dt)f(dx0dxdx0dx2cos(sint

x0 cos(sint)dtx

dx2cos(sinx2)22dd(xf(t)dtf((dxdxdtanx 1t

tan

1tdx1t1(tan1(tan

1111tdd(x(xf(t)dtf((x)f((dd211x2例例dxd( t)f(t)dt,2其中f(t)为已知的连续函数 解

(x2t)f(tx2x x2

f(t)dt

x tf(t)dtxx2x2x

f(t)dtx2f(x2)2xx2f(x2)22 f(t例例 若f(x)可导，f(x)0，xy0f(2t)dt， d2解x

0 f(2t)dtx求导y1f(2y)y从而dy f(2f(2y)2d d2y d

f2(22f(2 f2(2y)f(2例例x1t1cos求dx6。ysinuln1 dysintlnsintcos 2tsintlnsindxt6

1cosln6例 例fx1cosxsin(t2)dtgxx5x6,x056ffx)是gx)(A高阶无穷小(B)(((C 等价无穷小；( 同阶但不等价的无穷小分limf(

1cosxsin(t20

sin[(1cos

]sinx0g(

x5x6

x4 2lim(1cos 2

1x4

x3

x0x

x4(xaf(t)dt(xaf(t)dt2(xxa (t2是[a,b]上的单调下降函数。f( (b ( bb2x证明xx

xaf(t)dtf(x)x

a

2(t)d

(xa)

2(xxa2f(x)f(t)dtaxx

f2(t)d

a

2(x)dax[f(x)f(t)]2dta x在[b]从而有(b(a

f(t)dt

(ba)b

2(t)d 设fx)[0,1]上连续，且fx1.2xx0f(t)dt1[0,1]上只有一个解x证明令Fx2xx

f(t)dtf(x)

F(x)2f(x)则F(x)在[0,1]上为单调增加函数 F(0)1 F(1)10f(t)dt0[1f(t)]dtFx0即原方[0,1].例 若f(x)在[ab]连续，则b使b

f(x)dxf()(bfx在[ab上连续x则Fxx

f(t 在[a,b]可微于是F(x)在[a,b]上满 日中值定理(ab)

F(b)F(a)F()(bb b

f(t)dtf()(bfx在某区间上有定义FxFxfx)，Fx是fx在该区间上的一个原函数．例 (x2)2x，所以x2是2x的一个原函数(sinx)cosx，所以sinx是cosx的一个原函数x31)3x2x313x2的一个原函数；而x3C)3x2，x3C3x2的一个原函数．问问一个原函数，是否完定理（原函数存在定理x0若f(x)在[b]上连续，则F(x)x 一个原函数，其中x0是[a,b]中的任一固定常数．0定理若F(x)G(x)都是f(x)的原函数则F(x)G(x) (C证明Fx)Gxfx的原函数FxGxf由第三 日中值定理的推论2可FxGxC(常数f(x)的原函数集合{F(x) F(x)f(x)，C称fx的原函数的一般表达式为fxf(x)dx(F(x)C导数与积分的关系 F(x)f(f(x)dxF(x)C，F(x)dxF(x)dFx)Fx 即

f(x)dxf(x)结论 不定积分与微分互为逆运算例 (kx)(ex)

kdxkx exdxex(sinx)cosx

cosxdxsinx(ln|x|) x

1dxln|x|C x

axdx ax dx

lnsinxdxcosxcsc2xdxcotxcscxcotxdxcscx

sec2xdxtanxsecxtanxdxsecx1 dxarcsinxCarccos111

dxarctanxCarccotxshxdxchx chxdxshx，例10已知曲线上任意一点处切线斜率为3 且曲线过点(2,0)，，求曲线方程 解设曲线方 yF(x)，则dF(x)3x2即dF(x)3为为Fx3x2dxx3 F(2)23C 得到C故曲线方Fxx3不定积分f(x)dxF(x)即Fxf

yf(F(x)xF(x)C2F(x)fx的原函Fx的图形称fx的积分曲而函fx的不定积FxC的图形称fx不定积分的性质kf(x)dxkf(x)(f(x)g(x))dxf(x)dxg(x)例11x3

1sinx)dxx

x3

1dxx

sinx1x4ln|x|cosx4例 cot2x(csc2x1)dxcsc2x例 cot2xcotxx注有限个任意常数之和仍为任意常数注检验结果是否正确，利用求导运算例例x41

1

(x21

1x2 1x2dx1dx

1x2

1x3xarctanx3例 (2xexsin2)dx(2例 (2xexsin2)dx(2e)

xsin2例 2sinxcosx sin2例 2sinxcosx2cos2xsin2x三三 微积分第二基本定定理: fx在[ab上连续，Fxfx的一个原函数bf(x)dxF(b)F(a)F(x)b x证明F(x)af(t)dt 令xx

F(a)xb Fx)af(t)dtF 从而F(bxb

f(t)dtF即afx)dxF(bF(a)Fx) 1x2dx

1x33

1

另：定理条件可只要fx)在[ab上可积，上述定

ln|x|

212dxln|1|ln|