北师大版必修五数列1数列数列的概念“黄冈赛”一等奖

《数列的概念》学案一、本章知识结构二、本章的重点难点聚焦理解等差等比数列的概念，掌握等差等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题，掌握等差等比数列的性质，会求简单数列的通项．本章学习中应当着重注意的问题：1．数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决．如通项公式、前n项和公式等．2．运用方程思想、整体思想、函数思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．3．分类讨论的思想在本章尤为突出．学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等．4．等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外．如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等．复习时，要及时总结归纳．5．深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键．切实抓好两个“特殊数列”的通项公式和前项和公式的推导过程及方法．6．解题要善于总结基本数学方法．如迭代法、逐差（积）求和（商）法、裂项相消法、观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果．本章高考分析及预测：纵观近几年的高考试题，可发现本章在高考中的考察如下规律：1．等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有．2．数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点．3．函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用．4．本章知识往往与其他知识如不等式、函数、解析几何等知识相结合命题，难度较大，估计在今后高考中不会改变．三、新课标要求理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解与的关系，培养观察能力和化归能力．四、重点难点聚焦数列通项公式的意义及求法，与的关系及应用．五、高考分析及预策在高考中对数列的概念以及表示方法一般不单独考察，而是和等差数列与等比数列综合在一起考察，但从最近几年的高考趋势来看，预计2009年高考试题中数列的通项以及递推公式的应用将成为命题的热点，这是因为这类命题既能考察数列的相关概念与性质，又能考察学生的创新能力和概括抽象能力，因此应注意对本节内容的复习．六、题组设计 1．数列的一个通项公式是．2．已知数列满足,则．3．已知数列的前项和为,且,则数列的通项公式．4．已知，则数列的最大项是．5．试采用合适的方法推导等差数列和等比数列的通项公式．6．已知数列中，，求通项公式．7．设数列是首项为1的正项数列,且,求数列的通项公式．8．数列的各项都为正数，且满足，求数列的通项公式．9．已知数列中,,求的通项公式．10．数列的通项试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由11．A． B． C． D．12．已知数列{an}中，a1=1，a2=3，an=an－1+（n≥3），则a5等于A． B． C．4 D．513．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是（）A．5、6月 B．6、7月 C．7、8月 D．8、9月14．已知an=，且数列{an}共有100项，则此数列中最大项为第____________项，最小项为第___________________项．15．在数列{an}中，a1=1，an+1=，求an．参考答案1．数列的前项都是序号的倍减，所以通项公式为．本题考察了数列及数列通项公式的概念,求数列的通项公式实际上是寻找数列的第项与序号之间的关系．已知数列的前几项求通项（1）2，5，10，17，26．（2）1，-1，1，-1，1；（3）3，33，333，3333；答案：(1),(2),(3)．2．．考察数列的表示方法,了解数列的递推式也是一种表示方法,并能由递推式能写出数列的前几项．3．．提示:当时,,当时,也适合,所以．理解数列前项和的概念,掌握与的关系．已知数列的前和,求数列的通项公式,其方法是利用,当时的与由求得的相等的才是通项公式,否则要用分段函数表示．若数列的前项和为,且,则数列的通项公式．（07山东）设数列满足，求数列的通项公式．．4．第12项或13项．提示:是关于的二次函数．数列是以正整数集（或它的子集）为定义域的函数，要善于从函数的角度分析数列问题．5．提示：迭代法、累加（乘）法、归纳猜想证明．再现求数列通项的基本方法和基本思想，高考的热点来源于课本最基本的思想．6．迭代法：累加法：由已知，，，各式相加得，解法一是迭代法,这是处理由递推式求通项问题的通法通解;解法二累加法适用于型的问题．（08江西卷5）在数列中，，，求通项．答案：．7．由题意知,由得,因,得,所以,即,到此可采用:解法一：因为，所以，从而．解法二：所以．解法三：因为，所以，故数列是常数列，．点评：解法一是迭代法,这是处理由递推式求通项问题的通法通解,解法二是累乘法,适合由条件求通项的题型,解法三是构造法,根据条件特点构造特殊数列求通项,技巧性较强,体现了转化思想．变式与拓展：(04重庆)在数列中．,求．答案：．提示：构造等比数列，在累加求和．8．解法一：由得化简得，因为，又得，故是以1为首项，2为公差的等差数列，所以．解法二：由上可知化简可得即，又，所以，从而，所以，也适合，故．点评：知和的关系式求通项，一般有两个思路，思路一利用这一关系式转化为的关系求通项；思路二利用转化为的关系求出再求通项，注意对的讨论．变式与拓展：在数列中，．答案：9．解法一：迭代法解法二：转化法:．又,故数列是首项为2,公比为2的等比数列．,即．解法三：引入新数列:,两式做差得:,故数列是首项为公比为2的等比数列,即,再用累加法得．点评：解法一是迭代法,这是处理由递推式求通项问题的通法通解;解法二通过构造特殊数列求通项,对于型的,可转化为,其中,求出等比数列的通项,再求,解法三也是通过做差构造新的数列,达到求解目的．10．解：∴当n＜9时，；当时，当n＞9时，，故，∴数列中最大项为或．其值为，其项数为9或10．点评：因为是的函数，难点在于是一个一次函数和一个指数函数的积，不好确定其增减性，故从比较与的大小入手，当然也可以转化为连续函数，通过导数判断．11．A解析一：令n=2、3、4、5，分别求出a3=，a5=，∴a3+a5=．解析二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an=n2．当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1=（n－1）2．两式相除an=（）2，∴a3=，a5=．∴a3+a5=．12．A解析：令n=3，4，5，求a5即可．13．C解法一：由Sn解出an=（－n2+15n－9），再解不等式（－n2+