2023届广东东莞市数学高二第二学期期末检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则等于（）A． B． C． D．2．设集合,，则（）A． B． C． D．3．对于实数，，若或，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．设函数,（）A．3 B．6 C．9 D．126．设x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围为()A． B． C． D．7．若（为虚数单位），则=（）A．1 B． C．2 D．48．已知非零向量满足，若函数在R上存在极值，则和夹角的取值范围为（）A． B． C． D．9．若复数满足，则的虚部是（）A． B． C． D．10．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则等于A． B． C． D．11．如图：在直棱柱中，，，分别是A1B1,BC,CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）A． B． C． D．12．已知，，且，则的最大值是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量的分布表如下所示，则实数的值为______.14．对于无理数,用表示与最接近的整数,如,.设，对于区间的无理数,定义,我们知道,若,和,则有以下两个恒等式成立：①；②,那么对于正整数和两个无理数,,以下两个等式依然成立的序号是______；①；②.15．3名男生和3名女生站成一排照相，若男生甲不站在两端，3名女生中，有且只有两个女生相邻，则不同排法的种数为___________．16．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，为实数.（1）若，求；（2）若，求实数，的值.18．（12分）设等差数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为，并求使得取得最大值的序号的值.19．（12分）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；(2)讨论函数的单调性.20．（12分）某企业响应省政府号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表是设备改造后的样本的频数分布表.表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值频数（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据频率分布直方图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行登记细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价元；其它的合格品定为三等品，每件售价元.根据表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.附：21．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）求证：当时，函数的图像与函数的图像在区间上没有交点.22．（10分）在中，角所对的边长分别为，且满足．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若的面积为，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用计算出定积分的值.【详解】依题意得，故选C.【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题.2、C【解析】

先求出集合、，再利用交集的运算律可得出集合.【详解】，，因此，，故选C.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对于集合运算律的理解应用，对于无限集之间的运算，还可以结合数轴来理解，考查计算能力，属于基础题．3、B【解析】

分别判断充分性和必要性，得到答案.【详解】取此时不充分若或等价于且，易知成立，必要性故答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件，举出反例和转化为逆否命题都可以简化运算.4、A【解析】分析：首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，从而得到在内恒成立，分离参数后，转化成在内恒成立，从而求解得到a的取值范围.详解：的几何意义为：表示点与点连线的斜率，实数，在区间，故和在区间内，不等式恒成立，函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在内恒成立，由函数的定义域知，在内恒成立，即在内恒成立，由于二次函数在上是单调增函数，故时，在上取最大值为15，.故选：A.点睛：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题.5、C【解析】.故选C.6、A【解析】

作出可行域,将问题转化为可行域中的点与点的斜率问题,结合图形可得答案.【详解】画出满足条件得平面区域,如图所示:目标函数的几何意义为区域内的点与的斜率，过与时斜率最小,过与时斜率最大，故选:A.【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数取值范围问题,解题关键是转化为斜率,难度较易.7、A【解析】

根据复数的除法运算，化简得到，再由复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数满足，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、B【解析】设和的夹角为∵在上存在极值∴有两个不同的实根，即∵∴，即∵∴故选B点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3），向量垂直则；(4)求向量的模（平方后需求）.9、B【解析】由题意可得：，则：，即的虚部是.本题选择B选项.10、C【解析】

椭圆化标准方程为，求得，设直线方程为，代入椭圆方程，求得交点坐标，由向量坐标运算求得．【详解】椭圆方程为，，取一个焦点,则直线方程为，代入椭圆方程得，，所以，选C.【点睛】本题综合考查直线与椭圆相交问题，及向量坐标运算，由于本题坐标好求所以直接求坐标，代入向量坐标运算．一般如果不好求坐标点，都是用韦达定理设而不求．11、D【解析】

建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，据此可得：，，故，即直线PQ与AM所成的角是.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12、A【解析】

根据题中条件，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】因为，，所以，；又，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：A【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用分布列的性质，概率之和为，列方程解出实数的值.【详解】由分布列的性质，概率之和为，可得，化简得.，因此，，故答案为.【点睛】本题考查分布列的基本性质，解题时要充分利用概率之和为来进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.14、①，②..【解析】

根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可.【详解】当时,由定义可知：,,当时,由定义可知：,,故①成立；当时,由定义可知：,,当时,由定义可知：,故②成立.故答案为：①，②.【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.15、【解析】

先计算有且只有两个女生相邻的排列种数，再计算“在3名女生中，有且只有两个女生相邻，且男生甲在两端的排列”种数，即可得出结果.【详解】先考虑3名女生中，有且只有两个女生相邻的排列，共有种，在3名女生中，有且只有两个女生相邻，且男生甲在两端的排列有种，所以，满足题意的不同排法的种数为：种.故答案为：.【点睛】本题主要考查计数原理的应用，属于常考题型.16、24【解析】

观察所告诉的式子，找出其中的规律，可得n的值.【详解】解：观察所给式子的规律可得：，，，故可得：.故答案为：24.【点睛】本题主要考查归纳推理，注意根据题中所给的式子找出规律进行推理.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）-3，2【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将，化为，由复数相等的性质可得，从而可得结果.详解：（1）∵，∴.∴，∴；（2）∵，∴.∴，解得，∴，的值为：-3，2.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分18、（1）；（2）或时，取得最大值.【解析】试题分析：（1）在等差数列中，由，即可求得首项和公差，从而得通项公式；（2）由等差数列求和公式可得，结合二次函数的单调性可求最值.试题解析：（1）在等差数列中，由，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1），因为，所以或时，取得最大值.19、（1）3；（2）见解析.【解析】

（1）求出函数的导数，利用斜率求出实数的值即可；（2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数的单调性。【详解】（1）因为，所以，即切线的斜率，又切线与直线平行，所以，即；（2）由（1）得

，的定义域为，若，则，此时函数在上为单调递增函数；若，则，此时函数在上为单调递增函数；若，则

当即时，，当即时，，此时函数在上为单调递增函数，在上为单调递减函数．综上所述：当时，函数在上为单调递增函数；当时，函数在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查学生分类讨论的思想，属于中档题。20、(1)列联表见解析；有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．(2)设备改造后性能更优．(3)分布列见解析；.【解析】分析：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成列联表，求出，与临界值比较即可得结果；（2）根据频率分布直方图和频数分布表，可得到设备改造前产品为合格品的概率和设备改造后产品为合格品的概率，从而可得结果；（3）随机变量的取值为：，利用古典概型概率公式，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．完成下面的列联表：设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计将列联表中的数据代入公式计算得：∵，∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．可知，设备改造前产品为合格品的概率约为设备改造后产品为合格品的概率约为设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.由已知得：随机变量的取值为：．∴随机变量的分布列为：∴.点睛：本题主要考查直方图的应用、离散型随机变量的分布列与期望，以及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】

（Ⅰ）当时，求得函数的导数，得到切线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得，利用导数即可求解函数的单调区间.（Ⅲ）令，利用导数得到函数的单调性和最值，即可作出证明.【详解】（Ⅰ）当时，函数在处的切线方程是；（Ⅱ），当时，函数的单调增区间是；当