2022-2023学年江苏省南京市秦淮区高一（下）期中考试数学试题及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省南京市秦淮区高一（下）期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数z=(a2−1A.3 B.−2 C.−1 2.如图，在△ABC中，AD=23AC，B

A.1112 B.34 C.893.在△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosA.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形4.已知|a|=3,|b|=5，设aA.56a B.536a5.函数f(x)=A. B.

C. D.6.如图是函数f(x)=cosA.−32 B.−227.中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为102米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(米/A.3323 B.53238.冈珀茨模型(y=kabt)是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量A.2031 B.2020 C.2029 D.2028二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知复数z=3+i(i为虚数单位)，z−A.z0在复平面内对应的点位于第四象限 B.|z0|=1

C.z010.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.A.a=5，b=7，c=8，有唯一解

B.b=18，c=20，B=60°11.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120°，OAA.OA⋅CD=−2

B.若OE=uOC+12.如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=2，BCA.四边形ABCD的面积为83

B.该外接圆的直径为2213

C.BO⋅CD=

三、填空题（本大题共4小题，共18.0分）13.i表示虚数单位，则1+i+i14.求值：sin50°15.已知α∈(0,π),16.已知函数f(x)=x−4,x≥4−x+4,x<4四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,1)，B(−2,2)，C(−1,4)．

(1)以线段18.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m=(a,c−2b)，n=(cosC,co19.(本小题12.0分)

已知tan(α−π4)=13,0<α<π2．

(120.(本小题12.0分)

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcosC=2a+c．

(1)求角B的大小；

(2)若b=23，D为21.(本小题12.0分)

如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧BC组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，∠A为π3.若在半圆弧BC，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE22.(本小题12.0分)

已知函数g(x)=log22xx+2．

(1)证明：g(x−2)+g(−x)=2；

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了纯虚数的定义，属于基础题．

实部为0而虚部不为0的虚数被称为纯虚数，由此定义建立关系式，即可求得答案．

【解答】

解：∵z=(a2−1)+(a+12.【答案】A

【解析】解：∵BP=13PD，

∴BP=14BD

又∵AP=AB+BP，

∴AP=3.【答案】A

【解析】解：∵a=acosB+bcosA，

∴由余弦定理可得：a=a×a2+4.【答案】C

【解析】解：|a|=3,|b|=5，a,b的夹角为120°，

则b在5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查根据函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于中档题．

由f(−x)=【解答】解：函数的定义域为R，f(−x)=sin(−x)ln[(−x)2+2]=−s

6.【答案】A

【解析】解：由图像可知函数的周期为T=2×(2π3−π6)=π，

∴ω=2ππ=2，

∵函数f(x)过点(π6,0)，

∴cos(2×π6+7.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决问题．

画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．

【解答】

解：如图所示，

依题意知∠AEC=45°，∠ACE=180°−60°−15°=105°，

∴∠EAC=180°−45°−105°=30°，

8.【答案】D

【解析】解：因为y=k0⋅e1.4e−0.125t，

当t=0时，y=k0⋅e1.4，

所以当t=m时，y=k0⋅e1.4e1.4e−0.125m，

又因为m(m∈N)年后，该物种的种群数量将不足2022年初种群数量的一半，

所以k0⋅e1.4e9.【答案】AB【解析】解：∵z=3+i，

∴z0=z−z=3−i3+i=(3−i)2(3+i)(3−10.【答案】AD【解析】解：A中，三边确定，三角形唯一确定，所以A正确；

B中，因为csinB=20×32=103<b<c，所以有两个解，所以B不正确；

C中，因为b>a，由正弦定理可得：asinA=bsinB，即sinA=abs11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积运算，考查运算能力，属于中档题．

A选项先利用OA⋅CD=OA⋅(CO【解答】解：OA⋅CD=OA⋅(CO+OD)=OA⋅CO+OA⋅OD=3×1×(−1)+3×1×(−12)=−92，A错误；

由OE=u

12.【答案】AC【解析】解：对于A，连接AC，在△ACD中，cosD=16+16−AC232，cosB=4+36−AC224，

∵B+D=π，∴cosB+cosD=32−AC232+40−AC224=0，解得AC2=2567，

∴cosD=−17，cosB=17，∴sinB=sinD=1−149=437，

∴S△ABC=12×AB×BC×sinB=12×2×6×437=2437，

S△ADC=12×AD×D13.【答案】i

【解析】解：1+i+i2+…+i2022=1−i14.【答案】1

【解析】解：原式=sin50°⋅co15.【答案】−4【解析】解：∵α∈(0,π)，∴α−π6∈(−π6,5π6)，且sin(α−16.【答案】(8【解析】【分析】分离参数可得k=xf(x)，作出y=【解答】解：由f(x)=kx可得k=xf(x)=x2−4x,x≥4−x2+4x,x<4且x≠0，

令g(x)=x2−4x,x≥4−x2+4x,x<4且x≠0

17.【答案】解：(1)由向量加法的平行四边形法则知：

AD=AB+AC=(−5,1)+(−4,3)=(−9,4【解析】(1)利用向量加法的平行四边形法及其模的计算公式即可得出．

(2)18.【答案】解：(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m=(a,c−2b)，n=(cosC,cosA)，

且m⊥n．

所以acosC+(c−2b)cosA=0，

利用正弦定理整理得：s【解析】(1)直接利用平面向量的数量积的应用和正弦定理的应用求出A的值．

(2)19.【答案】解：(1)由tan(α−π4)=tanα−11+tanα=13，

得3tanα−3【解析】(1)由两角和差的正切公式进行求解即可．

(2)根据条件可得sinα=2cosαsin2α+20.【答案】解：(1)由正弦定理知，2sinBcosC=2sinA+sinC，

∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，代入上式得2cosBsinC+sinC=0，

∵C∈(0,π)，

∴sinC>0，

∴cosB=−12，【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式结合sinC>0，可求cosB的值，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．

(2)若选①：利用角平分线的性质可得S△ABC=S21.【答案】解：(1)连结DC．

在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为π3，

所以∠CBA=π6，AB=4，BC=23.

因为BC为直径，所以∠BDC=π2，

所以BD=BC

cosθ=23cosθ.

(2)在△BDF中，∠DB【解析】(1)连结DC.求出∠A为π3，BC为直径，∠BDC=π2，然后求解BD=BC

cos22.【答案】解：(1)g(x−2)+g(−