2023届福建省福州市三校联考数学高二下期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A．2 B． C．1 D．2．即将毕业，4名同学与数学老师共5人站成一排照相，要求数学老师站中间，则不同的站法种数是A．120 B．96 C．36 D．243．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（）A． B． C． D．4．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记为图中第行各个数之和，为的前项和，则A．1024 B．1023 C．512 D．5115．若复数是纯虚数（是实数，是虚数单位），则等于（）A．2 B．-2 C． D．6．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1,f(2)=,则()A．a< B．a<且a≠1 C．a>且a<-1 D．-1<a<7．的值为（）A．0 B．2 C．－1 D．18．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A．512 B．12 C．79．设，，，则（）A． B． C． D．10．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－811．在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为（）A．2 B． C． D．112．设实数，则下列不等式一定正确的是()A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为抛物线：的焦点，过且斜率为的直线交于，两点，设，则_______.14．在的展开式中，的系数为________15．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125124121123127，则该样本标准差（克）（用数字作答）．16．在中，内角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的面积为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中，三内角所对的边分别为，已知成等差数列．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求角的取值范围．18．（12分）现有男选手名，女选手名，其中男女队长各名.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示）（1）男选手名，女选手名；（2）至少有名男选手；（3）既要有队长，又要有男选手.19．（12分）已知函数.（1）证明：函数在区间与上均有零点；（提示）（2）若关于的方程存在非负实数解，求的最小值.20．（12分）已知正四棱柱中，底面边长为2，，点在线段上.（1）求异面直线与所成角的大小；（用反三角函数值表示）（2）若直线平面所成角大小为，求多面体的体积.21．（12分）已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，，.（1）若，求证：为等腰三角形；（2）若，边长，角，求的面积.22．（10分）（1）六个从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？（2）把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有几种？（3）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法有几种？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由，可得，则函数是周期为8的周期函数，据此可得，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．【详解】根据题意，函数满足，则有，则函数是周期为8的周期函数，则，又由函数为奇函数，则，则，即；故选B．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、D【解析】分析：数学老师位置固定，只需要排学生的位置即可.详解：根据题意得到数学老师位置固定，其他4个学生位置任意，故方法种数有种，即24种.故答案为：D.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．3、B【解析】

利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．【详解】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)＝.【点睛】本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4、B【解析】

依次算出前几行的数值，然后归纳总结得出第行各个数之和的通项公式，最后利用数列求和的公式，求出【详解】由题可得：，，，，，依次下推可得：，所以为首项为1，公比为2的等比数列，故；故答案选B【点睛】本题主要考查杨辉三角的规律特点，等比数列的定义以及前项和的求和公式，考查学生归纳总结和计算能力，属于基础题。5、B【解析】

利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【详解】∵复数（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是纯虚数，∴，解得a＝﹣1．故选B．【点睛】本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于基础题．6、D【解析】

先利用函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数得f（2）=f（-1）=-f（1），再利用f（1）＞1代入即可求a的取值范围．【详解】因为函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，

所以f（2）=f（-1）=-f（1）．

又因为f（1）＞1，故f（2）＜-1，即＜-1⇒＜0

解可得-1＜a＜．

故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的周期性，以及函数奇偶性的性质和分式不等式的解法，属于基础题．7、D【解析】分析：求二项展开式系数和一般方法为赋值法，即分别令x=1与x=-1得，最后相乘得结果.详解：令，则，令，则，因此，选D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.8、C【解析】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含AB、AB、AB，又P(A)=12，考点：相互独立事件概率的计算．9、B【解析】

根据对数运算法则求得，进而求得，由此得到结果.【详解】，，，.故选：.【点睛】本题考查指数、对数比较大小的问题，涉及到对数的运算，属于基础题.10、C【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.11、B【解析】

分别将曲线，的极坐标方程化为普通方程，根据直线与圆相交，利用点到直线的距离公式结合垂径定理，可得结果【详解】根据题意，曲线曲线，则直线与圆相交，圆的半径为，圆心到直线的距离为设长为，则有，即解得（舍负）故线段的长度为故选【点睛】本题主要考查的是极坐标与直角坐标方程的互化，圆的方程以及直线与圆的位置关系，是一道基础题12、D【解析】

对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：由于a＞b＞0，，A错；当0＜c＜1时，ca＜cb；当c＝1时，ca＝cb；当c＞1时，ca＞cb，故ca＞cb不一定正确，B错；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C错．，D对；故选D．【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

直接写出直线方程，与抛物线方程联立方程组解得交点的横坐标，再由焦半径公式得出，求比值即得。【详解】联立，可得，解得，所以，故答案为：。【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查焦半径公式。解题方法是直接法，即解方程组得交点坐标。14、【解析】

由题意，二项式展开式的通项为，令，即可求解．【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，即，可得，即展开式中的系数为40.【点睛】本题主要考查了二项式展开式中项的系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、2【解析】因为样本平均数，则样本方差所以．16、【解析】

分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由及公式求得面积.

详解：由题意得，即，∴，故答案为.点睛：正弦定理：，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由成等差数列，可得，结合基本不等式和正弦定理可以证明出；(Ⅱ)运用余弦定理可以求出的表达式，利用重要不等式和(Ⅰ)中的结论，可以求出，结合余弦函数的图象和角是三角形的内角，最后可求出角的取值范围．【详解】解:(Ⅰ)成等差数列，，，即，当且仅当时取等号由正弦定理得(Ⅱ)由余弦定理，当且仅当时取等号由(Ⅰ)得，，，故角的取值范围是【点睛】本题考查了等差中项的概念，考查了正弦定理、余弦定理、重要不等式和基本不等式，考查了余弦函数的图象，是一道综合性很强的题目.18、（1）30；（2）65；（3）51.【解析】

（1）先选两名男选手，再选两名女选手，乘法原理得到答案.（2）用总的选择方法减去全是女选手的方法得到答案.（3）分为有男队长和没有男队长两种情况，相加得到答案.【详解】(1)第一步：选名男运动员，有种选法.第二步：选名女运动员，有种选法.共有(种)选法.(2)至少有名男选手”的反面为“全是女选手”.从人中任选人，有种选法，其中全是女选手的选法有种.所以“至少有名女运动员”的选法有(种).(3)当有男队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选男队长时，必选女队长，共有种选法，其中不含男选手的选法有种，所以不选男队长时，共有种选法.故既要有队长，又要有男选手的选法有(种).【点睛】本题考查了排列组合问题的计算，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.19、（1）证明见解析；（2）-4【解析】

（1）利用零点判定定理直接计算求解，即可证明结果；（2）设，令，通过换元，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解的取值范围，进而可得最小值.【详解】（1）证明：，在区间上有零点，在区间上有零点.从而在区间与上均有零点（2）设，令则，，，时，，则在上递增，，故【点睛】本题考查函数的导数,函数的单调性的判断，零点判定定理的应用，考查计算能力，属于中档题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用异面直线所成角的定义再结合正四棱柱中的性质可得直线与所成的角即为所求然后在三角形利用余弦定理即可得解．（2）由于多面体的不规则性故可利用因此需利用直线与平面所成角为来确定点的位置后问题就解决了．【详解】（1）连接则由于在正四棱柱中故异面直线与所成角即为直线与所成的角正四棱柱中，底面边长为2，，，异面直线与所成角即为（2）正四棱柱中面，直线与平面所成角为，，，，即多面体的体积为．【点睛】本题考查异面直线所成的角和几何体体积的求解．解题的关键是第一问要利用图形的性质将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角；第二问对于不规则图形体积的求解常采用规则图形的体积差来求解（比如本题中的多面体的体积转化为正三棱柱的体积减去三棱锥的体积）.21、（1）见解析（2）【解析】

⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径，所以，所以为等腰三角形.⑵因为，所以.由余弦定理可知，，即解方程得：（舍去）所以.22、（1）216（2）36（3）120【解析】分析：（1）分两种情况讨论甲在最左端时，有，当甲不在最左端时，有(种）排法，由分类计数加法原理可得结果；（2）分三步：将看成一个整体，将于剩余的2件产品全排列，有3个空位可选，根据分步计数乘法原理可得结果；（3）用表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，利用枚举法可得共有种，每一种排法种的三个，两个可以交换位置，故总的排法为种.详解：（1）当甲在最左端时，有；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有(种）排法，共计（种）排法.（2）根据题意，分3步进行分析：产品与产品相邻，将看成一个整体，考虑之间的顺序，有种情况，将于剩余的2件产品全排列，有种情况，产品与产品不相邻，有3个空位可选，即有3种情况，共有种；（3）法一：用表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，则可以枚举出下列10种：每一种排法种的三个，两个可