重新认识圆周率π 论文

重新认识圆周率π摘要：对圆周率的认识和研究已经持续了几千年了，都认为它是一个恒定不变π

的数学常数，但是通过在球面、锥面等曲面上作圆，我们认识到圆周率π会随着所在曲面的弯曲程度及圆的半径发生一定的变化，这从根本上改变了我们对圆周率的认识，也可能将对与此相关的各方面基础理论研究产π

生深刻地影响。关键词：圆周率短程线曲面自切自交向心力 一、引言

大家都知道，圆周率是数学和物理学中经常使用且至关重要的一个数学常数（约为3.1415926），被定义为圆的周长与直径之比，或定义为圆的面积与半径平方之比（也可严格定义为满足sinx=0的最小正实数），它是精确计算圆的周长和面积、球的表面积和体积等几何图形的重要参数，也早已被广泛应用于物理学及其它工程技术领域的理论推演和数据分析中，其重要性自然不言而喻。为重新认识圆周率，依据定义，就需要从圆的定义开始。“何为圆，圆者一中同长也”，指的是平面上到定点距离为定值的所有点的集合。平面作圆，其周长与直径之比无需多言，问题是在球面、柱面等曲面上作圆，其周长与直径之比将会如何呢？在非欧空间及对应的物理空间里作圆，其周长与直径之比又将会出现什么样的情形呢？本文将试图就这些问题作以肤浅的讨论。先介绍一下短程线的概念，所谓短程线是指曲面上相邻两点之间最短的路径，也称测地线，即连接曲面相邻两点的所有曲线段中，弧长最小的曲线段为该两点的短程线（测地线），若其中有直线段，则其一定是短程线。二、球面作圆

如图1，设球O的半径为R，以A点为圆心，以r（球面的短程线）为半径，在球O的表面作圆，很显然有rAE），连接DE交z轴于P点。=AD=AE（r≠AD或 令rDPEP，在yoz平面上，∠AODr×360r0===2πR=Rrr0=R×sin∠AOD=RsinR=2πRsinr球面⊙A周长即为平面⊙P的周长，2r0πR于是有：rr结论1：球面⊙A其周长与直径之比为：2πRsinRsinRπA=2r=π×r R很显然，当R为无穷大时，球O可以理解为一个平面，而r取有限值时，我们就有：πA=π=3.1415926…。πA取值 r

特别地，当取R1 1 1 1 2 3 56π、4π、3π、2π、3π、4π、6π时，对应的3 3分别为：3、22、23、2、23、22、3由此可见，在球面上作圆，其周长与直径之比不再永远是π=3.1415926…，而是一个可以变化的量，它与这个曲面的弯曲程度和所作的圆的半径有一定的联系。三、柱面作圆以圆柱体表面为例，如图2，在坐标系O-xyz中，圆柱面的横截面半径为R，柱面沿z轴可以任意伸长，以柱面上任意一点A为圆心，沿柱面以r为半径作圆，记为柱面⊙A。为方便讨论，在柱面上取A点关于柱面的对称点B所在的测线（图2中过B的虚线）为准线，将柱面展开，如图2.1，则有：AB =πR1、当r<πR时，πA=π，相当于一个半径为r（r<πR）的圆平贴在柱面以A点为中心的位置，打开柱面，对该圆不构成任何影响，如图2.1。2、当r=πR时，与1同理，πA=π，，所不同的是柱面⊙A从两侧各自绕过柱面半圈后在B点相切，称之为“自切”，如图3和图3.13、当r>πR时，如图4，将会在柱面的A点上下看到两个对称的闭合曲线，按前面所述的方法打开柱面，将会在A点上下看到两段对称的圆弧MM'及NN'（其实M和M'、N和N'、B和B'它们在柱面上是各自对应重合的，此时称柱面A在柱面上“自交”于M、N点）,如图4.1。如图4.1则有:πR

,πR，的长：lsinθ=rθ=arcsinrMM'=πR则有：柱面⊙A的周长为πR2r×arcsinr2l=4r×arcsinr于是有：πR结论2：当r> 时，其周长与直径比：4r×arcsinrπRπRπA=2r=2arcsinr。显然当r→πR(r>πR)时，则有×1

2π=π。πA=2arcsinπR

r=2×arcsin1=2而且，当r>πR时，柱面⊙A的圆周率πA<。π四、锥面作圆以圆锥体面为例，设RtΔAOB顶角∠OAB为（0<θ<1

2π），绕z轴旋转一周并向下无线伸长得到一个锥面，如图5，在此锥面上作圆，可分以下几种情况：1、以锥面顶点A为圆心，以R为半径（R=AB为例），沿锥面作圆，记为锥面⊙A，如图5，设rOB，于是sinθ=r，rRsin，=R=则有⊙O的周长为:2πr=2πRsinθ，而⊙O的周长也即锥面⊙A的周长，于是有：结论3：锥面⊙A的周长与直径之比：πA2πRsinθ。=2R=πsinθ又：0<θ<1

2π故有：π<π（=3.1415926…）特别地，当θ=1

2π时，此锥面还原成平面，此时有：πA 1

=πsin2π=π另外：为方便后续讨论，我们以AD所在直线为准线，也将该锥面展开，如图6.1，令∠DAD'=α，由上可知DD'=2πRsinθ，α

2π=DD'

，2πRα=2πsinθ。2、设E为锥面上任意一点（顶点除外），以E为圆心，以r为半径在锥面上作圆，即锥面⊙E，令a=AE，仍按前面所述的方法（即在锥面上取E点关于锥面的对称点D所在的测线AD为准线）展开锥面，过E作EP⊥AD交AD于P。1

2α=πsinθ，EP=由于∠DAD'=α=2πsinθ，则∠EAD'=a×sin（πsinθ）。于是有：①、当r<a×sin（πsinθ）时，相当于一个有限的圆平贴在锥面以点E为中心的位置，如图6，展开锥面后仍为圆，不构成任何影响， 即πE =π=3.1415926…。 这种情形与柱面作圆的第一种情形相识，如图6.1

②、当r =a×sin（πsinθ）时，所作的圆绕过锥面后在E点对面的一侧相切（有一个交点P），这种情形称之为“自切”于P，展开锥面后仍为圆，不构成任何影响，即πE =π=3.1415926…，这种情形与柱面的第二种情形相似，如图7及图7.1。③、当a>r>a×sin（πsinθ）时，所作的圆在锥面E点的上下各呈现一个闭合曲线，如图8，按前面所述的方法展开锥面后，在E点上下各呈现一段圆弧，如图8.1。由于∠DAD'=α=2πsinθ，故∠EAD=1

2α=πsinθ， sin∠EAD利用正弦定理：sin∠AMEEM=AEa×sin（πsinθ）

，r sin（πsinθ）即：r=sin∠AME

a ，sin∠AME=cos∠QEM=sin∠AME=a×sin（πsinθ）

，r故 a×sin（πsinθ）：∠QEM=arccos r ，MQ=r×arccosa×sin（πsinθ）ra×sin（πsinθ） 于是：MM'NN'=2πr−4r×arccos r 即：锥面⊙E的周长a×sin（πsinθ）

r =MM'NN'=2πr−4r×arccos其周长与直径之比：πE= a×sin（πsinθ）2πr−4r×arccos r

， 2r于是有：结论4：当a>r>a×sin（πsinθ）时，锥面⊙E的周长与直径之比：πE a×sin（πsinθ）=π−2×arccos r特别地，当r=a×sin（πsinθ）时，πE a×sin（πsinθ）=π−2×arccos r=π−2×arccos1=π即为②中所描述的情形。所以，当a>r>a×sin（πsinθ）时，所作的圆绕过锥面后，在E点的对面，上下各有一个交点，形成两个闭合曲线，这种情形称之为“自交”，如图8及图8.1，与柱面作圆中的第三者情形相似。④、当r>a时，所作的圆只在锥面E点下面呈现一个闭合曲线，如图9及图9.1，与③同理，可推导出，其周长与直径之比依然为：πE a×sin（πsinθ）=π−2×arccos r结论5：当r>a时，锥面⊙E的周长与直径之比：πE a×sin（πsinθ）=π−2×arccos r a×sin（πsinθ）很显然，由于2×arccos r>0，故有：π<π（=3.1415926…）。通过对在球面、柱面、锥面等几种特殊曲面上作圆的结果分析来看，倘若无误，则圆周率可能并非一成不变，其变化大小应当与曲面的弯曲程度和所作的圆的半径有关。更一般的，在任意曲面上作圆的情况也应当如此，只是分析起来非常复杂，水平所限，本人很难说明清楚，在此仅想抛砖引玉！五、应用实例及其它想法

若以上思想成立，则圆周率的细微变化，不仅在数学领域将产生一定影响，而且在物理等其它领域可能也会产生更加深远的影响。例如：

如图10，假定图中的大球、小球和黑球分别代表太阳、地球、月球三个天体，排除所有外界及其它因素影响，地球绕太阳及月球绕地球的运动也假定为理想的圆周运动，基本满足球面作圆的相关要r求，则有：sinRπA=π×rR取R=1.496×1011m，r=3.844×108m，于是有：=π×3.844×108πAsin1.496×1011=π×0.999998913.844×1081.496×1011月球绕地球运动的向心力：F=m月×v2

r，v=2rπA

T，所以F=m月× 22rπA（ T） 2

2rπA=m月r×（ T）r=m月r×4π2×0.99999782T2若以上结论成立，虽然π只有非常细微的差别，但影响肯定重大。不仅如此，这个细小变化，可能将会对弯曲时空理论的一些结论、大质量天体运动如水星进动理论的修正、静电场理论如库仑定律等都产生一定的影响，同时π可能与真空中的光速c、介电常数ω0及磁导率μ0存在某种内在联系。注：图片10引用于360图片并适当修饰

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