专题20 平面向量的数量积

rrrrrrrrrrrr|a||b|121212专题面向量的数量一、基础知识：（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：rur、平面向量基本定理：若向e

r为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向

，均存在唯一一对实数

rrr，使得a。中e12212

成为平面向量的一组基底言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）、向量数量积运算

rrrracos

，其中

为向量

rr,b

的夹角rrrr、向量夹角的确定：向量a的角的将起点重合所成的角，

其中

：同向

：反向

：

rrab、数量积运算法则：（1）交换律：

rrrra（2）系数结合律：

（3）分配律：

rrrrrrr、平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝θ；(2)非零向量，b，⊥ba·b＝0；(3)当同向时a·b＝|a||b|当a与b反向时a·b＝－|a||b|，a·a＝a2

，a＝a·a；a·b(4)cosθ＝；(5)||、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量＝，y，＝(x，y，则a·b＝x＋y，此得到

→122121212a2→122121212a2(1)若＝(x，y)，a＝x

＋y2

或a＝2

＋y

(2)设A，y，(x，)，则A、B点间的距离|＝AB＝

x－

＋

y－

.(3)设两个非零向量a，，a(x，，＝x，y，则⊥＋yy＝0.例1苏暑假测试已平面向量＝(2a＝若＋＝则的值是_______年高考北京卷文数】已知向量=（4），

b

=，），且

，则m．【答案】8【解析】向量

ab(6,)，

变式2019年高考全国III【答案】

卷文数）已知向量

(2,2),b，cosa

___________.【解析】

,

a|

2222(

210

．变式2苏北四市期末）已知非零向量足＝b＝＋a与2－夹的余弦值为________．【答案【解法1因非零向量，满＝＝ab，所以a＝2＝a＋2＋

，a＝－a2－b

，所以a·(2a－)＝2

－a＝a2

，a－＝

a－

2

5

－4b＝a，2ab257〈a,2ab＝＝＝＝aaba27解法2

2π因为非零向量ab＝＝＋，以，b＝，所以a·(2a－)＝22

－＝a2

－a

2π＝2

，－b＝

a－

2

＝

a2

－4＝2πa2ab＝以下同解法

rrrrrrrrrrrr22rrrrrrrrrrrr222222AB22例2年苏高考

如图，在△中D是中点E在边上BE=2EA，CE交点

rrrr若ABAO，

AB

的值是_【答案】3.【解析】如图，过点D作DF//，交于，=2，为中，知BF=AO=.AOgECADg

rrrrrACABgAC

rrrrrrrrrrABgACABACABgAC32

，得

rrrrAB,ABAC故

3

rr变式江卷如图，D是BC的点是上两个三等分点BC

，rrrr，则的是

▲

114ADBCFDBC11114FD513211EDBCFD→114ADBCFDBC11114FD513211EDBCFD→→→→【解DC(－OB)·(－)(OCODOCOD22＝OD类似BAD2＝AO－OD＝－→→－2→→→→→→7【答案】8【解析】因为rrrrrrrrrBABCAD2

，rrrrrrrBFAD234

rr因此FD,BC8

rrrrrrrrrr2，BEBCED244变式2、南、扬州淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）如，在平面四边形ABCDO为BD的中点，且OA＝，OC＝5.A＝－7，则BDC值．【答案→→→→→→→→→→→→，所以BDC＝2－OD2＝OC2AO－7＝思想根源极恒等式a＝

＋2

在中，若是的点，则B＝AM

－MC

其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．例、(2019镇江期末）已ABC是长为等边三角形，点DE分是边BC的中点，连结DE并延长到点，使得DE＝3EF则AF·BC的值为________．【答案.【解解(基底法连AE.ABC为正三角形为BC的中点，所以AE⊥BC.所以A＝→→→→→→→→→→→→→→1→→11(AE＋EF)·BCAE·BCEF·BC＝由题EF＝DEACA＝＝63

000000→→→→→AM·BC＝[000000→→→→→AM·BC＝[λAC＋－AB)＝|＋(－1)|AB＋－AB·＝4λ＋9(λ－1)＋(1－3解法(向量法)建如图所示平面直角坐标系，3)，－，0)，，0)，D－，，E(0，0)，22→→3→设点F(x)DE＝3EF得E＝，＝)x＝＝AF，，→→71故A＝，－·(2，0)＝.3→→→→17变式、(2018南学调研）ABC中AB＝AC2＝＝BC.若M·BC＝－，则实数的_______．【答案

【解法1基法)因为A＋BM＝＋λ＝＋AC－AB)＝＋(1－AB，以→→→→→→2212＝λ－12－，解得λ＝解法2坐标运算法)建如图所示的平面直角坐标系，－λ，由题意有－1，3)M的标为(x(－＝－－，3，→→1故AM·BC＝－λ，λ)·(，3)＝19－＝－，解得＝.变式、南、泰州一调）如，已知矩形ABCD的＝2AD＝1.P，Q分别在边，

→→π1－，，≤θ.→→→→π1－，，≤θ.→→tantan→244，即＝＝时取＝，以BQ·CP的大值是－.上，且∠＝，则AP·AQ的最小值为_．【答案】.－4解法以A坐标原点AB所直线为x所直线为y轴立平面直角坐标系A(0B(2，，．设∠PAB，AP＝，2tan，AQ＝→→π2－）因为AP·AQ＝(2，θ)·－，＝2－＋θ＋tan

＋2θ＋＋tan→→＋2(＋1)4≥42－4当且仅当＝21时＝成，所以AP·AQ最小值为4－＋变式、苏常镇调研）在ABC中，已知AB＝，＝，∠BAC90°D，E分为，AD的中点，过点的直线交于，交AC于Q则B最大值________．【答案】－【解析(坐标法以A为点AB为x轴AC为轴立平面直角坐标系如图所示则A(00)，11，C(0，1)，D，，E，，xy1→设P(pQ(0q)，则且线：＋＝1因点E直线上所以＋＝1BQ·CP4q＝(－2，＝－2p－＝(－

15q5＋＝－－＋－－2

×＝－，且仅当＝2p→→44

ab2→→→→→→→→→→2ab2→→→→→→→→→→22→＝ABACAC·AB－＝－cos＝－→(2017无期末）已知向量＝＝(1－1)若a－mab垂则实数的为________．【答案【解据向量，的标可得－b(1,2)，ma＋b＝＋，m－，因为(－)⊥ab)，所a－)·(ma＋)＝m＋1)＋－＝－＝0故m、(2016苏四市摸底）.已＝，b＝2a＝，，则向量ab的夹角为________．【答案

π【解为＋b＝，，所以＋＝3两边平方得22ab＋2

＝3将a＝，|b＝代入得12＋2b＋4，从而＝－1所以〈ab〉＝，而a，b〉∈，，所以〈，〉＝，即向量，的角为π.→→→3、(2019南学情调）在菱形ABCD中∠＝60°，为边上点，AB·AE＝，，则AB·AD值________．【答案－【解B＝，且菱形的边长为x，则AE＋AD，AB·AE＝AB·(AB＋＝2

－λx2

＝6，→→→→1→9＝AD·(AB＋＝x＋＝，解x2＝，所以AB·ADx2＝－.苏三市期末在ABC中AB2AC∠＝ABC所在平面内一点满足C→→→＝＋2PA，则P·AB值．【答案－→3→→→→→→→→→→【解CP＝＋2PA所以－AC－AP)－2AP解＝＋故CP·AB＝(AP239→→2→7→79苏三市期在ABC中AB2AC∠＝ABC所在平面内一点满足C→→→＝＋2PA，则P·AB值．【答案－解法(坐标)以A为原点，AC为x轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，，，，0)，

2AB＋AC－AB＝AB2－＝－×2×3×60°＝－1.︵→2AB＋AC－AB＝AB2－＝－×2×3×60°＝－1.︵→cosππ3→→→→→33设P(x＝＋得(x3＝(1－x，3－y)－xy)＝1＝以，，→→CP·AB2，，3)＝－＋＝－解法2基底法)→3→→→→→→→→→2→→→→→因为P＝＋2PA所AP－AC＝－AP)－2AP解得P＝ABACP·AB＝(APAC)·AB＝

→2→→→33、(2018苏期）如图为腰三角形，＝ABAC，以A圆心为半径的圆分别交，AC于，，点P是弧EF上的一动点，则的值范围________【答案】.[11，－【解析(坐标法以A为原点垂直BC的线x轴建立平面直角坐标系xAy则B(2－2，，设sin，其中∈－，.PB·PC＝－

cos

－2－

，2－

sin

)＝(

cos

－2)＋2－＝－－4θ.因为

cos

→→∈，1，以PB·∈[－11－9]OPt)

)4

rr，所以的值范围为[21,1]

．、(2017南、扬州、泰州、淮安三调如图，在直角梯形ABCD中AB∥，ABC9