锐角三角函数的技巧及练习题附答案解析

锐角三角函数的技巧及练习题附答案解析一、选择题1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，则CD的长为（）A．4 B．12﹣4 C．12﹣6 D．6【答案】B【解析】【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案．【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12．∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin45°＝CM＝BM＝12，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BM÷tan60°＝，∴CD＝CM﹣MD＝12﹣．故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，、、都是格点，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用得出答案．【详解】解:连接DC，交AB于点E．由题意可得:∠AFC=30°,DC⊥AF,设EC=x,则EF=,∴,故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键．3．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A．(54+10)cm B．(54+10)cm C．64cm D．54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．4．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2＋ B．2 C．3＋ D．3【答案】A【解析】【分析】【详解】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x，所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，故选A.5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．【详解】设AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设，以为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如：，．下列角度中余弦值最接近0.94的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据“锐角余弦值速查卡”解答即可.【详解】从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos0.94，∴余弦值最接近0.94的是，故选：D.【点睛】此题考查“锐角余弦值速查卡”，正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.7．的值等于A． B． C． D．1【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式．故选A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．8．如图，在中，，，为边上的中线，平分，则的值（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据角平分线定理可得AE：BE＝AC：BC＝3:4，进而求得AE＝AB，再由点D为AB中点得AD＝AB，进而可求得的值．【详解】解：∵平分，∴点E到的两边距离相等，设点E到的两边距离位h，则S△ACE＝AC·h，S△BCE＝BC·h，∴S△ACE：S△BCE＝AC·h：BC·h＝AC：BC，又∵S△ACE：S△BCE＝AE：BE，∴AE：BE＝AC：BC，∵在中，，，∴AC：BC＝3:4，∴AE：BE＝3:4∴AE＝AB，∵为边上的中线，∴AD＝AB，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE：BE＝AC：BC是解决本题的关键．9．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用cos60°=,可求把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【详解】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，∴即a2+c2=b2+ac，∴故选C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（8，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时△BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积，即可得出本题的答案；【详解】解：当0<x⩽2时，如图1：连接BD，AC，交于点O′，连接NM，过点C作CP⊥AB垂足为点P，∴∠CPB=90°，∵四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(0，4)，点D的坐标是(8，4)，∴BO′=4，CO′=4，∴BC=AB=，∵AC=8，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴CP=BC×sin60°=8×=4，BP=4，BN=4x，BM=2x，，，∴，又∵∠NBM=∠CBP，∴△NBM∽△CBP，∴∠NMB=∠CPB=90°，∴；∴，即y=，当2<x⩽4时，作NE⊥AB，垂足为E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴NE=CP=4，BM=2x，∴y=；故选D.【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键.11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5cosA==故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．12．如图，在正方形中，，点在的边上，且，与关于所在直线对称，将按顺时针方向绕点旋转90°得到，连接，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】过点E作，交AB于H，交CD于G，作于N，首先证明，则有，设，则，，在中利用勾股定理求出x的值，进而可求的长度，进而可求FN，再利用勾股定理求出EF的长度，最后利用即可求解．【详解】过点E作，交AB于H，交CD于G，作于N，则，∵四边形ABCD是正方形，∴，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG都是矩形．由折叠可得，，，，，．设，则，在中，，，解得或（舍去），，．．在中，由勾股定理得，，．故选：A．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．13．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】构造全等三角形，证明△ABD是等腰直角三角形，进行作答.【详解】过A作AE⊥BE，连接BD，过D作DF⊥BF于F.∵AE=BF，∠AEB=∠DFB，BE=DF，∴△AEB≌△BFD，∴AB=DB.∠ABD=90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴cos∠DAB=.答案选B.【点睛】本题考查了不规则图形求余弦函数的方法，熟练掌握不规则图形求余弦函数的方法是本题解题关键.14．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N.则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）()A．a B．a C． D．【答案】C【解析】【分析】根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．【详解】∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，∴=CD，在矩形ABCD中，AB=CD=a，∴DM+CN=acos45°=a.故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=15．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x×1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，在△ABF和△DEA中∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF＝AE；设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝1，∵四边形ABED的面积为6，∴，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），∴EF＝x﹣1＝2，在Rt△BEF中，，∴．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．16．如图，在中，，则的长为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点，再解直角三角形求得AB，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF．【详解】解：∵，∴，∵，∴点D是AB的中点，∵，，∴∠B＝30°，∴，∴DF=3，故选：D．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E点，若ADCD．则的长为()A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到，，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E点，ADCD，∴，，∠A=30°，∴∠DOE=60°，∴OD=，∴的长=的长=，故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.18．如图，河坝横断面的迎水坡AB的坡比为3：4，BC＝6m，则坡面AB的长为（）A．6m B．8m C．10m D．12m【答案】C【解析】【分析】迎水坡AB的坡比为3：4得出，再根据BC＝6m得出AC的值，再根据勾股定理求解即可.【详解】由题意得∴∴故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，把坡比转化为三角函数值是关键.19．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：，根据x＝2，y＝6，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2