第二章1讲连续系统时域分析

信号与系统同济大学汽车学院魏学哲§2.1连续时间系统的时域分析微分方程的求解卷积第二章连续时间系统的时域分析信号与系统同济大学汽车学院魏学哲线性系统的激励和响应之间的关系可用微分方程来描述：§2.2微分方程的建立与求解信号与系统同济大学汽车学院魏学哲微分方程的完全解齐次解的形式:只与系统特性有关，也称系统的自由响应或固有响应。特解的形式：由系统的激励决定，也称为系统的强制响应或受迫响应，记为rf(t)齐次解特解齐次解：系统齐次方程的解，记为rn(t)系统的全响应为：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲是齐次方程的通解该齐次方程的特征方程为：称为微分方程的特征根也称为系统的自然频率或固有频率（一）齐次解信号与系统同济大学汽车学院魏学哲1、当特征方程无重根时2、当特征根1是k重根时，相应1的部分有k项信号与系统同济大学汽车学院魏学哲特解的形式与激励函数的形式有关。根据激励确定特解的形式，并将特解和激励代入方程，以确定特解的待定系数，特解是由激励与系统方程共同决定的。激励决定特解形式,系统方程决定系数。（二）特解例:给定系统方程如下已知求方程的特解信号与系统同济大学汽车学院魏学哲解：查表，根据激励确定特解形式为将特解代入方程左端，激励代入方程右端则特解为:信号与系统同济大学汽车学院魏学哲将齐次解和特解相加，就得到完全解的函数式完全解中相应齐次解的系数，要根据方程的初始条件决定：（三）完全解信号与系统同济大学汽车学院魏学哲为此，建立如下的代数方程组，确定全部齐次解的待定系数A1、A2、、An。齐次解的系数由特解、初始条件共同决定。1、先求出特解，再求齐次解的系数2、初始条件是0+初始条件信号与系统同济大学汽车学院魏学哲例:如图所示电路，激励信号解：1、列写方程:

电容两端初始电压为零，求输出信号uc2(t)的表示式其中信号与系统同济大学汽车学院魏学哲进一步化简：2、求方程的齐次解：其特征方程为:信号与系统同济大学汽车学院魏学哲所以齐次解形式为：3、查表，确定特解表达式：将特解代入原方程，得信号与系统同济大学汽车学院魏学哲所以特解为：4、完全解：因为电容两端初始电压为零，所以又由信号与系统同济大学汽车学院魏学哲根据初始条件写出如下方程：则完全解为：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲1、齐次解的形式是由系统的齐次方程决定的，也可以说是由系统本身的特性决定的。但是：齐次解的系数Ai

是与激励信号有关、并与初始条件有关的。齐次解也称系统的自由响应分量。2、特解的形式由激励信号决定，特解的系数Bi由系统本身特性和激励信号共同决定。特解也称系统的受迫响应分量。总结信号与系统同济大学汽车学院魏学哲§2.3

起始点的跳变—从0-到0+状态的转换概念：起始状态：0-时刻系统各阶导数的值，给定初始条件：0+时刻系统各阶导数的值，导出电压或电流发生突变的条件：冲激电流或阶跃电压：电容电压变化冲激电压或阶跃电流：电感电流变化信号与系统同济大学汽车学院魏学哲§2.3起始点的跳变—从0-到0+状态的转换0-到0+状态发生跳变的判据微分方程右端是否有(t)及其导数冲激函数匹配法t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数的系数应该平衡相等信号与系统同济大学汽车学院魏学哲注意：当用经典法解微分方程时，在确定完全解时，要用0+初始条件r(0+)。如果题目中给的是r(0-)，要自己确定r(0+)。例：试判断信号与系统同济大学汽车学院魏学哲解：根据方程两端奇异函数平衡的原则可见r(t)在t=0处有跳变：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲给定r(0-)，求r(0＋)。方程右端含有冲激偶，它一定属于的dr(t)/dt，可以设定：积分一次：例：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲得出：代入得到：即：要求的：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲

按照产生系统响应的原因，可将全响应分解为零输入响应和零状态响应：零输入响应：没有外加激励的作用，只由起始状态(t=0-)所产生的响应。§2.4零输入响应与零状态响应信号与系统同济大学汽车学院魏学哲零状态响应不考虑起始时刻系统的初始储能，仅由系统的外加激励引起的响应。（一）系统的初始条件

考虑到系统全响应r(t)在t=0时刻可能存在冲激函数或阶跃函数分量，将初始条件分为0-初始条件和0+初始条件。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲因为t<0时无外加激励0+初始条件是由系统的初始储能和外加激励共同决定的。0-初始条件：0+初始条件：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲（二）零输入响应

是在无外加激励的情况下，只由初始储能引起的响应。满足系统齐次方程。零输入响应与齐次解的区别齐次解的系数Ai是由系统的0+初始条件和激励信号共同决定的,零输入响应的系数Ci只由系统的0-初始条件决定。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲设系统方程为：该齐次方程的特征方程为：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲为单特征根1、将系统的0-初始条件代入上式，可解得系数Ci。2、若微分方程有重特征根，如为k重根上式中Ci，Cj由0-

初始条件确定信号与系统同济大学汽车学院魏学哲例如图所示电路，L=1H，C=1F，R=2若e(t)=0，电路初始条件：求上述两种初始条件时电路的零输入响应电流解：列写电路方程：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲代入元件值，且e(t)=0信号与系统同济大学汽车学院魏学哲其特征方程为则1、初始条件为则信号与系统同济大学汽车学院魏学哲2、初始条件为则信号与系统同济大学汽车学院魏学哲如图例2-5所示电路，求t>0时it的零输入和零状态响应初值等效电路带起始状态的等效电路信号与系统同济大学汽车学院魏学哲1.零输入响应:电路在电感电流和电容电压的初值作用下工作，系统方程：求解要根据所以得到:信号与系统同济大学汽车学院魏学哲零输入响应形式：代入上式求得常数：用则要求的零输入响应：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲2.零状态响应:对应的电路如右图所示，零状态响应满足微分方程：则在零状态下：零状态等效电路由求得特解为信号与系统同济大学汽车学院魏学哲