阵列信号处理基础教程

西安电子科技大学雷达信号处理实验室阵列信号处理授课教师：廖桂生编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室课程目的

掌握空间传播波携带信号的获取与处理的基本理论和方法，特别是空间多维信号算法，熟悉参数估计和自适应波束形成的常用算法。课程要求期间：含上机实践期末：论文、考试编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室参考文献PrabhakarS.naidu,SensorArraySignalProcessing王永良.空间谱估计理论与算法，清华大学出版社Monzingo.R.andMillerT.Introductiontoadaptivearray.WileyInterscience.NewYork,1980.(有中译本)HudsonJ.AdaptiveArrayPrinciplesPeterPeregrinusLondon,1981.(有中译本)HaykinS.(deitor)

AdvancesinSpectrumanalysisandarrayProcessing.VolІП.PrenticeHall.NJ.1991孙超.加权子空间拟合算法理论与应用，西北工业大学出版社刘德树等，空间谱估计及其应用，中国科技大学出版社张贤达,保铮.通信信号处理，国防工业出版社编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室课程安排第一章：绪论第二章：数学基础第三章：空域滤波原理及算法第四章：部分自适应处理技术第五章：阵列信号的高分辨处理第六章：相干信源的高分辩处理第七章：最大似然与加权子空间拟和方法估计信号源方向第八章：基于高阶统计量和循环非平稳阵列信号处理简介编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室第一章绪论§1.1引言一、阵列信号处理的简介

阵列信号处理是信号处理领域的重要分支，它是将多个传感器设置在空间的不同位置组成的传感器阵列，并利用这一阵列对空间信号场进行接收（多点并行采样）和处理。它与一般的信号处理方式不同，因为其阵列是按一定方式布置在空间不同位置上的传感器组，主要利用信号空域特征来增强信号及有效提取信号空域信息，因此阵列信号处理也称为空域信号处理。

编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室1.阵列信号处理的目的：提取阵列所接收的信号及其特征信息（参数），同时抑制干扰和噪声或不感兴趣的信息。2.阵列信号处理的系统分为两类：

有源系统（具有发射传感器阵的系统）无源系统3.阵列信号处理最主要的两个研究方向：

自适应空域滤波（自适应阵列处理）空间谱估计（估计信号的空域参数或信源位置）编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室4.阵列信号处理的研究对象：

空间传播波携带信号（空域滤波）5.阵列信号处理的主要研究内容：

信（号）源定位－－确定阵列到信源的仰角和方位角信源分离－－确定各个信源发射的信号波形，根据各个信源不同的波达方向加以区分信道估计－－确定信源与阵列之间的传输信道的参数（多径参数）编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室6.阵列信号处理的主要问题（技术）：波束形成技术（DBF）－－使阵列方向图的主瓣指向所需的方向零点形成技术－－使天线的零点对准干扰方向空间谱估计－－对空间信号波达方向的分布进行超分辨估计基本概念：传感器(sensor)－－能够感应空间传播信并且能以某种形式传输的功能装置传感器阵列(sensorarray)－－由一组传感器分布于空间的位置构成编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室

由于空间传播波携带信号是空间位置和时间

的四维函数，所以传播波的接收可分为：

空间采集：连续－－面天线离散－－传感器阵列

时间采集：所有传感器同步采样(snapshot)

实际阵列空间采样的方式虚拟阵列(合成阵列，如SAR)编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室传播波的类型与媒质有关，采用的传感器也随之不同:传输波电磁波声波地震冲击波媒质大气（自由空间）大气、水中大气、大地传感器天线(antenna)换能器(transducer)检波器(geophone)传感器的空间检测能力即通常所说的方向性，是由其几何结构的形状和物理特性决定的。编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室空时采样示意图：

空时处理N元传感器阵列1N2M次同步采样获取信息：波的到达方(DOA)、波形参数、极化参数估计、空间滤波与检测等

编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室

空间阵列传感器实际上就是空域滤波器，类同于时域滤波器。空间角方向可视为空间角频率，信号在各个角方向的功率分布可为空间功率谱或所谓的角功率谱。

对比FIR滤波器的时域处理，阵列的空域处理有类似的对偶关系：FIR是在时域对时间信号作离散采样，而阵列则相当于在空域对空间信号作离散采样。因此，和FIR滤波器一样，阵列处理可对信号作一系列的运算，如滤波、分离和参数估计等，与FIR滤波器不同的是它研究的是空域信号。编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室空时等效性

信号类型名称时序信号空域信号采样变元时间采样空间采样（快拍）谱频谱空间谱（角谱）系统函数传递函数方向图滤波处理对某些频率的信号加强或抑制对某些方向的信号加强或抑制13编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室空间采样与时间采样时域采样定理：Nyquist理论指出，如果一个信号在频率之外无其它频率分量，那么该信号由其整个持续期内的时间间隔为

的信号采样值完全确定，从而使模拟信号可以由无限个离散的点信号来表示（拟合）。

空间采样：与时间采样类似，采样频率必须足够高才不会引起空间模糊（即空间混叠），但由于受到实际条件的限制，空间采样的点数不可能无限，这相当于时域加窗，所以会出现旁瓣泄漏。编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室时间谱与空间谱时间谱：表示信号在各个频率上的能量分布空间谱：表示信号在各个方向上的能量分布

空间谱实际上就是信号的波达方向(DOA)，故空间谱估计又称为DOA估计，或者方向估计，或角度估计或测向。

因为空间谱估计技术具有超高的空间信号的分辨能力，能突破并进一步改善一个波束宽度内的空间不同来向信号的分辨力，所以DOA估计是一种超高分辨的谱估计。编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室空间谱估计的系统结构目标空间观察空间估计空间信源通道1通道M通道2处理器注意：在观察空间中，通道与阵元并非一一对应，通道可由空间的一个、几个或所有阵元合成的。编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室二、阵列信号的应用

雷达：相控阵天线系统、波束灵活控制、高分辨测向、干扰置零、成像（SAR/ISAR）

移动通信：波束形成、抗多址干扰、空分多址（SDMA）声纳：水声工程、宽带阵列处理地震勘探：爆破、地震检测、地质层结构特征分析、探石油射电天文：定位、测向

电子医疗工程：层析成像、医学成像

编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室三、阵列信号处理的发展史

雷达1936年空域信号处理只有三十多年的历史基本理论：Wiener滤波多维信号处理自60年代以来，经历了三大阶段：自适应波束控制IEEETransAP1964.3

自适应零点控制IEEETransAP

1976.9

空间谱估计IEEETransAP1986.3编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室wiener滤波理论应用于阵列处理（60年代）

两个方向

滤波

方向估计

自适应波束控制（指向）

近代谱估计（80年代以前）

自适应零点控制（70年代）

参数化模型（基于子空

间技术）

性能代价，快速算法（80年代以后）

稳健算法，盲信号处理（90年代）

稳健计算（90年代）

编辑ppt§1.2传播波与阵列信号处理西安电子科技大学雷达信号处理实验室1.传播波信号

传播波信号为空时信号，是时间和空间的四维函数，服从物理规律——波动方程Maxwell波动方程：其中：

直角坐标系中的解：一个特解：（*）编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室

代入波动方程：

若约束条件：即则：（*）式表示的信号是波动方程的解，称为“单色”或“单频”解。为传播速度，（周期）

称为波数矢量，其大小表示单位波长的周期数，单位为弧度/米，其方向为波的传播方向。编辑ppt时间频率空间频率对比：

某一时刻（t固定）的恒等相位面，即=常数的平面，该平面与垂直。

波动方程的任意解可以分解为无穷多个“单频”解的迭加（传播方向和频率分量均任意）。任意解：由四维Fourier变换表示：其中西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt波动方程的单频解可以写成单变量的函数：式中，其大小等于传播速度的倒数，其方向与传播方向相同，常称为慢速矢量(slownessvector)。所以表示从原点传播到位置所需时间。波动方程另一个较复杂的解：由Fourier理论可知，任意周期函数，周期波形具有基本频率的调和级数形式：西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt都可以用上述级数表示，其中。量有不同的频率和波数矢量

，但是各频率

这时表示了具有任意波形的传播周期波，波传播方向为，速度为。波的各种分与波数矢量必须满足约束条件，可见，不同频率分量传播速度相同，但是波长不同。

利用Fourier理论，波动方程更一般的解，可以表示任意波形（非周期）：西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室这里函数是任意的，只要其Fourier变换存在即可。该式表达了沿同一方向传播的任意波形（信号），其频率分量任意。波动方程球坐标系中的解

球坐标系，但是，当波动方程的解具有球形对称时,函数并不依赖于和，使解简化，这时波动方程可简化为：编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室单频解为：近场图1.2该解可以解释为自原点向外传播的球面波，任何时刻恒等相位平面为r

=常数的球面上。直角坐标系中的解为平面波，对应远场情况；球坐标系中的解为球面波，对应近场情况，如上图。编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室几点重要说明：对于沿一个特定方向传播的空时信号都可以表示为一元函数

的形式。如果是带限信号，则由某一位置上的时间采样信号或某时刻的空间采样信号可重构全部空时信号。根据已知传播波的波形以及比较一些位置点上的测量信号，波的传播方向可求得。在某一瞬间空间采样提供了一组数据，用此数据有可能决定波的传播方向（如果空间采样无模糊），这是本课程的一个重要研究内容。应用迭加原理，允许多个传播波（不同方向、不同频率）同时出现而无交互作用。非理想介质对传播波有影响。（略）

编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室2.阵列的基本原理

包含在空间传播信号中的信可以是信号源的位置，也可以是信号本身的内容。与用频率选择滤波器加强某个频率的信号一样，可以选择集中考虑从一个特定方向来的信号。由于传感器依赖机械的方向性指示，所以在同一时间一个传感器只能提取和跟踪一个方向上的信号，不能同时识别几个方向上的信号且一个传感器不能改变它的响应。但是，可以利用传感器阵列的各种加权来克服这些缺点。编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室3.阵列信号模型考虑沿某一方向传播的窄带信号:窄带信号的定义与时域表示

窄带信号：信号的带宽小于其中心频率的信号。在阵列信号处理里，窄带意味着信号在阵列上的延迟比信号的带宽倒数小得多，信号包络沿阵列的延迟可以忽略不计，故阵列孔径内的各阵元处复包络不变。反之，若复包络有变化，则认为是宽带信号。

编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室正频分量负频分量

带宽越宽，信号起伏越快。窄带条件即要求变化比变化慢。eg：频域函数，带宽很窄，对其作傅立叶反变换得到直流信号，时域起伏很慢。由此可见信号的信息是包含在包络中的。编辑ppt窄带信号的复信号表示：，式中为载波，它作为信息载体但不含信息。LPLP实部信号(I)虚部信号(Q)图1.3:信号实现窄带信号复包络（基带信号）表示：

实际信号实现如图1.3：西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt窄带信号空域表示假设在坐标原点的传播波为窄带信号，用复数形式表示为：

由逆Fourier变换：沿方向传播到时，西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt如果信号带宽为，则

式等于

记（传播时间），………………西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt

若即要求时，有因此小结：信号带宽足够小使得波到达处时的复包络基本不变。

表示了波传播的空间信息（方向、位置），它仅含于载波项中，而与信号复包络无关。

西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt阵列信号模型阵列几何结构：传感器可以以很多方式在空间上放置。线阵12N均匀线阵：非均匀线阵：稀布阵，随机阵平面阵

图1.4图1.5编辑ppt等距线阵(ULA－－UniformLineararray)对空间阵列，任两阵元接收信号的时间差为

可见：空域处理的时间差与角度有关，阵元的位置相当于对空间采样

。

阵元间距是最方便的一种选择。因为阵元间的相位差为，当大于时，会超过区间，而产生空间模糊。对于我们称之为稀疏阵。

西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt立体阵

参数化数据模型

图1.6yx图1.7：二维阵列几何结构假设N元阵分布于二维平面上，阵元位置为：一平面波与阵面共面，传播方向矢量为：西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt

元阵输出排成矩阵：

阵元接收信号为：

西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt第二章数学基础

目的：复习基本的线性代数知识，作为一个概念和符号的汇编。线性代数参考书：G.H.Golub,C.F.Vanloan"Matrixomputation",1983,TheJohnsHopkinsUniversityPress.(有中译本，大连理工大学出版社，1988)G.Strang,"LinearAlgerbraandItsApplications",AcademicPress,NewYork,1976.(有中译本，侯自新译，南开大学出版社，1990)西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt§2.1线性空间和希尔伯特空间一.符号及定义符号以后我们常用字母加低杆表示矢量和矩阵，并且用小写字母表示矢量，大写字母表示矩阵，如：

线性空间：

关于线性空间和希尔伯特空间的严格定义，读者可以参阅有关线性代数的教科书，这里仅给出其使用概念和结论。编辑ppt

所谓线性空间是指满足线性变换关系的矢量集合，这里“满足线性变换关系”是指严格定义：线性空间首先应满足“加法+”和“数乘”的封闭性。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt

希尔伯特空间希尔伯特空间是指定义了内积的完备线性空间。式中“”表示共轭转置，“*”表示取复共轭。

我们定义两个矢量的内积为：西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt二、独立性、正交性、子空间分解

在N维线性空间中，若，线性空间的一个子集V，若V对加法和数乘封闭，线性无关那么，矢量组是线性无关的，否则，若的非平凡组合为零，则称是线性相关的。子空间西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt即则，V是

的一个子空间。

设是上的一组矢量，则由的所有线性组合构成的集合是的一个子空间，常称为张成的子空间，记为：若是线性无关的，且那么可由唯一地线性表示。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt如果是线性无关，并且不是如果是最大线性无关组，那么，的任一线性无关组的真子集，那么，这个子集就是的一个最大线性无关1）2）3）称

是

的一个基。组。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt

的零空间为:矩阵的秩定义为：矩阵的值域与零空间

给定一组向量，由这组向量张成的子空间容易由以上给出的定义写出。另一种求子空间的方法是给定子空间中矢量的约束条件。如与矩阵有关的两子空间值域与零空间。设，则的值域（或列空间）为

西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt1）

是非奇异的2）3）（满秩）可以证明，即矩阵的秩等于最大无关行数或最大无关列数。，如果m=n,则如下关系等价：

正交性

矢量的角

设，则这两个矢量的夹角余弦定义为：西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt正交性：1）矢量正交是指其夹角余弦等于零，即2）矢量组是正交的，如果对所有，有正交。如果满足，则称之为标准正交的。3）子空间称为互相正交的，如果子空间分解

如果是线性空间的子空间，那么它们的和也是一个子空间若每一个有唯一的表达式则被称为一个直和，并写为：西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt子空间的交集也是一个子空间，如。如果一个子空间的正交补为如果矢量是标准正交的并且张成子空间

则为直和。一个重要特例：正交分解

，则称矢量组构成子空间的一个标准正交基。它总可以扩充为的一组完全的标准正交基，此时。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt三、线性变换与投影算子线性空间上的一个变换称为线性变换，如果它满足：在一定基的意义上，一个线性变换可用一矩阵表示。用一组基表示它在线性变换下的象，其坐标所排成的矩阵就称为在这组基下的矩阵。线性变换与矩阵一一对应。线性变换

西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt正交投影算子

一种重要的线性变换是投影算子，而且正交情形是最重要的。正交投影算子的定义：

设子空间，线性变换称为正交投影，如果，西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt几何意义：已知维线性空间中的一个点和子空间，求点，使到点的距离不超过到上各点的距离。如图2.1所示。图2.1向量表示由一系列的实验和调查所给出的数据，由于这些实验或调查包含不少的误差，以致在给定的子空间中不可能找到这组数据，即，我们不可能把表示成子空间中的一个向量，因为我们所遇到的方程组是不相容的，因此，是无解的，这样一来，最小二乘解法就是选择点作为最佳选择。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt正交投影算子的表示，即点的求解。

若子空间由标准正交基张成，则任一矢量，在子空间上的正交投影矢量可表示为：此公式可用直角坐标系来解释。式中阶方阵常称为投影矩阵。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt可见，由标准正交基来求正交投影算子是很方便的。

若子空间由一组基（未必正交）张成，求由表示的空间上的正交投影算子。由正交投影的定义，到的投影矢量，即由由(2.12)式可知，上的正交投影矩阵为：线性表示，且与正交，即，则，得投影矢量西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt正交变换与正交矩阵

（2.13）式给出了到矩阵的列空间上的正交投影矩阵，当基矢量是标准正交基时，（2.13）式可简化为（2.11）式形式。（2.13）式也称为的伪逆。线性变换是正交变换，如果对线性空间中的任意矢量，有内积关系：，有时又称为保角变换、酉变换。相应于正交变换的矩阵为正交矩阵或酉矩阵，如果满足关系：西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt有限长序列有N个样本，它的傅里叶变换在频率区间的N个等间隔分布的点上也有N个取样值。两个重要例子：例1：离散傅氏变换DFT是正交变换西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt矩阵常称为一种Bulter矩阵（线性情况）。

则DFT变换写成矩阵形式并归一化可得：西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt正交变换是可逆变换，变换后无信息损失。大家知道，在数字信号处理中，DFT变换是一种很重要的变换，我们常用它对数据变换到频域，以便于分析信号频谱，在阵列信号处理中，对阵列空间抽样数据作DFT，相当于把数据变换到角频域（波束空间beamspace），分析波达方向（DOA）。尽管用DFT技术作谱分析时其分辨率不高，但在高分辨谱估计和自适应滤波技术中，DFT变换仍是很重要的一种正交变换，在后面我们还要多次利用它对数据作DFT预变换，简化问题，这里只简单提一下。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt例2：K-L变换（卡-洛变换）（karhuen-loeve）取上述连续情况的与的N个均匀时间取样值，得：注意：DFT变换是一种不依赖数据的变换（data-independent），下面再介绍一种依赖于数据的正交变换（data-dependent），随机矢量的线性变换。连续卡－洛展开在区间的连续随机信号可展开为：

式中：展开系数是随机变量；

为基函数，它满足：西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt所以对于随机序列，若其自相关函数为，则K-L变换为：令，则有西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt

的特点：

对任一维Hermite矩阵（），其特征矢量构成维空间的一组标准正交基。因此，存在一正交矩阵使得与一对角阵相似，即：

物理意义：按随机序列的能量大小逐次作N个正交方向分解。Y的各分量去相关且按能量从大到小排列。K-L变换有人叫最佳变换。§2.2矩阵的分解特征值分解

式中为的特征值。

西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt正定（半正定）性：若Hermite阵对任一非零矢量，有，则称为正定（半正定）的。正定的Hermite矩阵的所有特征值为正数，即：

(2.21)式中为的特征值，为特征矢量。称此分解为特征分解（EVD）.奇异值分解（SVD）

对，存在正交矩阵和，使得：式中,是的奇异值

编辑ppt容易验证：

矩阵QR分解

任一矩阵，总可以化为：其中是正交矩阵，是上三角矩阵，（2.22）式称为的QR分解。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt§2.3复变量实函数求导数研究实函数：

，其中

根据求导法则：

西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt矩阵对标量求微分

设的元素是某一矢量的可微函数，则若矩阵的元素是某个自变量（标量）的函数，当每一个均为可微函数时，可构成一个与同阶的矩阵：，称作矩阵对自变量的导数或微分。矩阵的微分满足的基本运算规则为：

矩阵对矢量求微分

西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt矩阵对矢量的微分：

矩阵对矩阵求微分

右边矩阵共有st个块，每分块矩阵为矩阵对矩阵的元素求导，所有分块矩阵按阵排列方式排列。则西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt例：

其中，求。

解：

西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt第三章空域滤波：原理及算法

目的：介绍空域波束形成的概念，自适应控制最优准则及最优权的稳态解，以及最优权的求解算法（梯度算法、递推算法）。68编辑ppt

阵列天线的波束形成可以采用模拟方式，也可以采用数字方式，采用数字方式在基带实现滤波的技术称为数字波束形成(DBF)，是空域滤波的主要形式，在通信中也称之为智能天线。§3.1波束形成的基本概念波束形成：用一定形状的波束来通过有用信号或需要方向的信号，并抑制不需要方向的干扰。波束形成的分类数据独立波束形成最佳波束形成自适应波束形成69编辑ppt§3.1波束形成的基本概念1.阵列信号的表示

空间平面波是四维函数，

简化：窄带条件：同时刻采集信号，所有阵元上信号的复包络相同，只需考虑相位的变化，而它只依赖于阵列的几何结构。对于等距线阵，则更简单，只依赖于与x轴的夹角。如图3.170编辑ppt12N图3.1如前所述的窄带信号的空域表示：若以阵元1为参考点，则各阵元接收信号可写成：71编辑ppt写成矢量的形式：

称为方向矢量或导向矢量（SteeringVector）。在窄带条件下，只依赖于阵列的几何结构（已知）和波的传播方向（未知）。

72编辑ppt波束形成（Beamforing）

我们记：，称为方向图。当对某个方向的信号同相相加时得的模值最大。基本思想：通过将各阵元输出进行加权求和，在一时间内将天线阵列波束“导向”到一个方向上，对期望信号得到最大输出功率的导向位置给出了波达方向估计。即输出可以表示为：目的是：增强特定方向信号的功率。

73编辑ppt

阵列的方向图阵列输出的绝对值与来波方向之间的关系称为天线的方向图。方向图一般有两类：静态方向图：阵列输出的直接相加（不考虑信号及来波方向），其阵列的最大值出现在阵列法线方向（即）带指向的方向图：信号的指向是通过控制加权相位来实现，即常说的相控阵列74编辑ppt

对于

实际上是空域采样信号，波束形成实现了对方向角的选择，即实现空域滤波。这一点可以对比时域滤波，实现频率选择。等距线阵情况：若要波束形成指向，则可取，波束形成：

75编辑ppt则：上式表示的波束图有以下特点：波束成形状，其最大值为N。波束主瓣半功率点宽度为：

。根据

Fourier理论，主瓣宽度正比于天线孔径的倒数。

最大副瓣为第一副瓣，且为-13.4dB。这种副瓣电平对于很多应用来说都太大了，为了降低副瓣，必须采用幅度加权（又称为加窗）。76编辑ppt天线方向图，来波方向指向77编辑pptN=8N=32

可见随着阵元数的增加，波束宽度变窄，分辨力提高，这是因为：78编辑ppt波束宽度在DOA估计中，线阵的测向范围为

即对于均匀线阵，波束宽度为：

其中D为天线的有效孔径，可见波束宽度与天线孔径成反比。分辨力目标的分辨力是指在多目标环境下雷达能否将两个或两个以上邻近目标区分开来的能力。波束宽度越窄，阵列的指向性越好，说明阵列的分辨力随阵元数增加而变好，故与天线孔径成反比。79编辑ppt80编辑ppt可见当阵元间距时，会出现栅瓣，导致空间模糊。81编辑ppt类似于时域滤波，天线方向图是最优权的傅立叶变换按定义的方向图权向量作FFT的结果82编辑ppt均匀圆阵（UCA）以均匀圆阵的中心为参考第m个阵元与x轴的夹角记为：则M元均匀圆阵的导向矢量：其中为圆阵的半径83编辑ppt波束指向：84编辑ppt§3.2自适应波束形成技术§3.2.1普通波束形成的优缺点

优点：是一个匹配滤波器，在主瓣方向信号相干积累，实现简单，在白噪声背景下它是最优的，在色噪声背景下，维纳滤波是最优的。缺点：波束宽度限制了方向角的分辨。存在旁瓣，强干扰信号可以从旁瓣进入。加窗处理可以降低旁瓣，但同时也会展宽主瓣。

总之，普通波束形成依赖于阵列几何结构和波达方向角，而与信号环境无关，且固定不变，抑制干扰能力差。85编辑ppt§3.2.2自适应波束形成

自适应波束形成是将维纳滤波理论应用于空域滤波中，它的权矢量依赖于信号环境。一般框架：波束形成：对于平稳随机信号，输出信号功率为：定义：阵列信号相关矩阵，它包含了阵列信号所有的统计知识（二阶）。86编辑ppt§3.2.3最优波束形成

最优波束形成的一般形式：

最优滤波的准则：1.SNR（信噪比）最大准则2.均方误差最小准则(MSE)3.线性约束最小方差准则(LCMV)4.最大似然准则在相同条件下是等价的87编辑ppt1.SNR（信噪比）最大准则

如果信号分量与噪声分量统计无关，且各自相关矩阵已知：其中为信号功率，为噪声功率。

若阵列信号为：则

输出功率：

88编辑ppt则SNR（信噪比）最大准则即

89编辑ppt根据瑞利熵，可看出即是求的最大特征值问题。

SNR最大准则的求解方法：

利用瑞利熵：

90编辑ppt是矩阵对的最大广义特征值对应即（广义特征值分解）的特征矢量。91编辑ppt可见：

是的最大特征值对应的特征向量。几个特例：单点源信号：则有：在高斯白噪声条件下，既是高斯白噪声，又是单点源信号，则：92编辑ppt利用要估计单元周围的单元来估计噪声协方差矩阵，即用参考单元估计。如何应用SNR准则设计最优波束形成器，关键在于能否分别计算信号功率和噪声功率。eg:

在仅含噪声（干扰）数据时，可以估计出从而得到当既有信号又有噪声时，智能天线------扩频信号93编辑ppt最大SNR准则，来波方向，干扰方向94编辑ppt均方误差最小准则(MSE)

应用条件：需要一个期望输出（参考）信号。

令则目标为：

其中是相关矢量，是相关矩阵。95编辑ppt此求解可利用实函数对复变量求导法则，得

由公式可看出：应用此方法仅需阵列信号与期望输出信号的互相关矢量，因此寻找参考信号或与参考信号的互相关矢量是应用该准则的前提。MSE准则的应用：

1)自适应均衡（通讯）

2)

多通道均衡（雷达）

3)自适应天线旁瓣相消（SLC）96编辑ppt加在辅助天线的权矢量获得好的干扰抑制性能的条件：主天线与辅助天线对干扰信号接收输出信号相关性较好。实例：天线旁瓣相消技术(ASC),

如图3.3辅助天线（增益小，选取与主天线旁瓣电平相当，无方向性，因此几乎仅为干扰信号）-主天线图3.397编辑ppt干扰方向，来波方向98编辑ppt3.线性约束最小方差(LCMV)准则

阵列输出：

,方差为：（输出功率）导向矢量约束为目标信号方向矢量。求解过程分析：信号：则目的是寻找最优的权。

99编辑ppt我们可以固定，即信号分量就固定了，然后最小化方差，相当于使的方差最小，所以可得最优准则为：（1可变为任意非零常数）解得：如果固定，则。的取值不影响SNR和方向图。100编辑ppt注意：本准则要求波束形成的指向已知，而不要求参考信号和信号与干扰的相关矩阵。推广到约束多个方向：一般的线性约束最小方差法为：解之：

特例：当，即约束单个方向，则101编辑ppt

可增加稳健性。注：针对白噪声，为单位阵，

，此时自适应滤波是无能力的。

实际应用：当已知目标在方向，但也可能在附近，这时可令，结果可把主瓣展宽。102编辑ppt在实际中，阵列天线不可避免地存在各种误差。文献Erroranalysisoftheoptimalantennaarrayprocessors.IEEETrans.onAES,1986,22(3):395-409对各种误差（如阵元响应误差、通道频率响应误差、阵元位置扰动误差、互耦等）的影响进行了分析综述，基本结论是：对于只利用干扰加噪声协方差矩阵求逆的方法，幅相误差对自适应波束形成的影响不大；但是对于利用信号加干扰加噪声协方差矩阵求逆的自适应方法，当信噪比较大时，虽然干扰零点位置变化不大，但是在信号方向上也可能形成零陷，导致信噪比严重下降。103编辑pptCapon法波束形成，来波方向,干扰方向为104编辑ppt来波方向为，干扰方向为不同方法估计协方差矩阵的Capon法波束形成105编辑ppt多点约束的波束形成，来波方向为，和106编辑ppt§3.2.4三个最优准则的比较

准则解的表达式所需已知条件SNR已知MSE已知期望信号LCMV已知期望信号方向107编辑ppt对比LCMV:阵列信号假定已知且信号与噪声不相关。SNR：

108编辑ppt

中含有期望信号分量，而中不含期望信号分量，仅为噪声分量。注意：由矩阵求逆引理：

所以：109编辑ppt上式表明：在精确的方向矢量约束条件和相关矩阵精确已知条件下，SNR准则与LCMV准则等效。上述条件若不满足，应该用来计算。直接用求逆计算最优权会导致信号相消。在最优波束形成方法中，降低旁瓣电平的方法是加窗处理。

为加窗矩阵。

110编辑pptMSE：若已知与不相关，则由此看出，上述三个准则在一定条件下是等价的。

111编辑ppt小结：

自适应波束形成原理如图3.4

12N图3.4112编辑ppt实现框图为图3.5

图3.5需已知二阶统计量自适应波束形成的特点：矩阵求逆运算量大，有待于寻找快速算法。已知113编辑ppt§3.3自适应算法

分块算法（批处理方式）SMI

连续算法（每次快拍单独计算）LMS

自适应算法§3.3.1LMS算法

最小均方(LMS)算法差分最陡下降(DSD)算法加速梯度(AG)算法基于梯度的算法114编辑pptLMS算法

MSE准则：波束形成：期望输出：误差：图3.6115编辑pptEVD:LMS思想(widrow提出)：用瞬态值代替稳态值.

迭代算法：LMS算法的优点：实现简单收敛性本质上依赖于的特征值的分散程度，当特征值很接近时，可找到一个使算法快收敛。严重缺陷：收敛性太慢。116编辑ppt序号加速收敛性问题：

对角加载技术：

的特征值一般具有以下结构：(如图3.7)

图3.7117编辑ppt上式中的第二项为个大特征值对应的特征矢量的线性组合。

是要求自由度，当越大，自适应能力越差。118编辑ppt对角加载：

易知的离散程度大于的离散程度，所以对角加载以后，LMS算法收敛速度加快。实际实现时是在数据域加入功率一定的白噪声。注意此过程是在计算权时进行，而在波束形成时则不需要。119编辑ppt两个信号加白噪声产生的数据的特征分解120编辑ppt来波方向，干扰方向121编辑ppt§3.3.2SMI（采样协方差矩阵求逆）算法

最优波束形成：

应不含信号分量，而实际中则是用一批接收数据估计。由估计理论：

,此估计是最即：

SMI算法：

问题是：取多少合适？SMI算法性能如何?大似然无偏估计，122编辑ppt假设独立且同服从高斯分布，

代入得

分析：

是随机变量，由此计算的也是随机变量。123编辑ppt,是一个随机变量，其而

所以归一化信噪比为：

令

概率密度函数为

124编辑ppt工程一般要求，解得

，即当M大于两

同样可以采用对角加载技术来加速收敛速度。在用理论相关矩阵

计算时，只有p个大特征值和特征矢量参与计算，而N-p个小特征值和特征矢量对没有贡献，但是用计算时，所有特征倍的自由度时性能损失不超过3db。125编辑ppt值和特征矢量都参与计算。通过对角加载可以的贡献。减弱N-p个小特征值及其特征矢量对计算在对角加载情况下，可得当时，性能损失不超过3db。

注意：白噪声下的自适应无意义，因为此时相关矩阵为单位阵，求逆后仍为单位阵。126编辑ppt参考文献：I.S.Reed.Rapidconvergencerateinadaptivearrays.IEEETransonAESVol.AES-10,No.61974

在实际工程应用中，估计时要求是数据IID（IndependentIdenticallyDistribution），有时不可直接获得。在非均匀样本情况下，还存在奇异性检测问题（如STAP）。127编辑ppt几点说明：稳健的波束形成：是指即使在只有不精确的期望信号的导向矢量可以利用的时候仍能得到良好的输出信干燥比，而不产生信号相消现象。研究表明：有限次快拍自适应波束形成中，当相关矩阵中含有信号时，即使阵列流形精确已知，也会造成信干燥比下降。SMI是开环算法，在阵列数据仅含干扰加噪声时，数据服从零均值、复高斯的IID，则SMI的收敛特性仅依赖于采样快拍数和阵元数；但当阵列数据中含有期望信号时，严重影响了输出SINR的收敛速度，且期望信号越大，收敛时间越长。自适应波束畸变的原因：协方差矩阵特征值分散，小特征值及对应的特征向量扰动，并参与权值计算所致。128编辑ppt第四章部分自适应阵列处理技术

§4.1部分自适应概念

全自适应：对全部单元作自适应控制（使用了全部可利用的系统自由度degreeoffreedom）.部分自适应：对其中部分单元作自适应控制（只使用了部分可利用的系统自由度）。西安电子科技大学雷达信号处理实验室129编辑ppt比较：

方式

指标全自适应部分自适应自由度全部部分运算量大小收敛性慢快性能潜在性能高使用性好（与理论极限性能相比有损失）西安电子科技大学雷达信号处理实验室130编辑ppt关键：如何合理设计部分自适应结构，使得性能损失最小而运算量显著降低。部分自适应技术的发展情况：chapman,IEEE,TransAP-24,1979,P685~696

变换降维Morgan,PartiallyAdaptiveArrayTechniquesIEEE,Trans,AP-26,1978,P823~833多重旁瓣对消器（MSC）Gabriel,UsingSpectralEstimationTechniquesinAdaptiveProcessingAntennaSystems.IEEE,AP-34,1986,No.3,P291~300自适应方法西安电子科技大学雷达信号处理实验室131编辑pptAdams,AdaptiveMain-BeamNullingforNarrow-BeamAntennaArrays.IEEE,AES-16,1980,P509~516

用几个指向目标临近方向的波束进行对消VanVeenB.D,PartiallyAdaptiveBeamformerDesignViaOutputPowerMinimization

IEEE,Trans,ASSP-35,1987,P1524~1532

深入系统研究了广义旁瓣相消结构（GSC处理器）

西安电子科技大学雷达信号处理实验室132编辑ppt§4.2阵元空间(elementspace)部分

自适应处理

Chapman方法：子阵级对阵列数据用降维矩阵作变换：变换前的自适应：变换后的自适应处理：西安电子科技大学雷达信号处理实验室133编辑ppt变换后的导向矢量为：由最优波束形成原理，变换域的最优权为：在变换域用进行最优波束形成，实际上是对进行波束形成，即：

其中：

西安电子科技大学雷达信号处理实验室134编辑ppt一般地，,此时不可逆，在变换域处理的性能不如变换前处理的结果（有性能损失）；特殊地，当可逆时：

此时在变换域处理的结果与变换域前一样，但这时需要，并不能降维，所以无实际意义。关于变换矩阵的构造（子阵划分）问题：

简单子阵法

选取的子阵只是位置上靠近的阵元。明显缺点：各子阵的相位中心通常超过半波长（甚至几个波长），产生子阵间栅瓣。

西安电子科技大学雷达信号处理实验室135编辑ppt几种改进方法：使子阵间栅瓣出现于子阵方向图的零点位置。

例：33阵元合成为16个（采用滑动重叠技术）如图3.1所示图3.1123452930313233121516西安电子科技大学雷达信号处理实验室136编辑ppt新阵列方向图子阵方向图图3.2西安电子科技大学雷达信号处理实验室137编辑ppt子阵均匀划分法，来波方向为西安电子科技大学雷达信号处理实验室138编辑ppt非均匀划分，使各子阵内的阵元数不等，破坏栅瓣的出现。如图3.3123456123图3.31633西安电子科技大学雷达信号处理实验室139编辑ppt2、Morgan的MSC方法：阵元级选取部分单元进行自适应加权控制，而其余单元用固定权（非自适应）进行处理。

如图3.4所示12KN有几个干扰复用几个阵元进行自适应处理相消图3.4西安电子科技大学雷达信号处理实验室140编辑ppt选取的阵元数M=1单旁瓣相消器M>1多旁瓣相消器

MCS中的问题：1、对几个点干扰抑制问题，选取自适应单元几乎可任意。2、对很多干扰或连片的地物杂波，如何选取自适应处理单元有待于进一步研究。

当,全自适应西安电子科技大学雷达信号处理实验室141编辑ppt来波方向，干扰方向和西安电子科技大学雷达信号处理实验室142编辑ppt§4.3波束空间部分自适应处理

波束指的是普通波束。波束空间自适应处理：最常见的是对傅氏基波束进行处理。选取部分波束进行处理就称为波束域部分自适应处理。下面研究波束选取的方法西安电子科技大学雷达信号处理实验室143编辑ppt

Gabriel方法：分两步：首先估计干扰方向（粗略）。再选取指向干扰方向的若干波束。

Adams方法：在目标邻近方向选取若干波束。以等距线阵为例(间距为)。N元阵经过butler波束形成得到N个波束。如图3.5Butler矩阵123N123N图3.5西安电子科技大学雷达信号处理实验室144编辑ppt其特点：N个波束在旁瓣区共零点。西安电子科技大学雷达信号处理实验室145编辑ppt已知两个干扰及其方向选取两个指向干扰方向的波束。一、分析Gabriel方法：

（干扰2）(目标)（干扰1）最优准则：西安电子科技大学雷达信号处理实验室146编辑ppt图3.7用“辅助天线”的主瓣对消“主天线”的旁瓣干扰西安电子科技大学雷达信号处理实验室147编辑ppt西安电子科技大学雷达信号处理实验室148编辑ppt二、分析Adams方法

注意各波束在旁瓣区共零点，可行成宽的凹口。可用较少的波束进行自适应处理来抑制密集型的多干扰（连片杂波）。如图3.8密集型干扰图3.8用“辅助天线”的旁瓣对消“主天线”的旁瓣凹口西安电子科技大学雷达信号处理实验室149编辑ppt§4.4基于广义旁瓣相消器的部分

自适应设计

最优波束形成：：指向目标的导向矢量（固定）。：西安电子科技大学雷达信号处理实验室150编辑ppt在计算最优权时，实际上只需计算。更进一步，在已知一组基矢量时，为计算，只涉及p个参数（p<N）。：自适应权，依赖于数据。：固定权（匹配filter）更一般最优波束形成：（LCMV）西安电子科技大学雷达信号处理实验室151编辑ppt令

而

满足约束方程。

上述约束方程可转变为无约束

西安电子科技大学雷达信号处理实验室152编辑pptLCMV处理框图：图3.8广义旁瓣相消器（GSC)上支路：形成目标检测通道(是匹配滤波权)下之路：形成辅助通道，用其加权求和去预测检测通道中的干扰信号进而对消掉。要求：下支路中不含目标信号，由保证。

西安电子科技大学雷达信号处理实验室153编辑ppt称为信号阻塞矩阵（BlockMatrix）

在上述结构中，用了L个约束条件，全自适应处理的自由度为N－L个。由上述结构可方便设计降维处理。如图3.9图3.9西安电子科技大学雷达信号处理实验室154编辑ppt方法一（Gabried法）：由指向干扰方向的方法二（Adams法）：由指向目标方向邻由上图得：令（合并）

有两层要求：对信号进行阻塞是降维矩阵关于的设计问题：

傅立叶变换基矢量波束作为权矢量构成的。近波束权矢量构成。方法三由R的特征分解的特征矢量构成。

西安电子科技大学雷达信号处理实验室155编辑ppt由于阵列天线误差的存在，广义旁瓣相消器的阻塞矩阵并不能很好地将期望信号阻塞，而使其一部分能量泄漏到辅助支路中，当信噪比比较高时，辅助支路也含有相当地期望信号能量，此时会出现严重地上下支路期望信号抵消的现象。广义旁瓣相消器GSC是LCMV的一种等效的实现结构。GSC结构将自适应波束形成的约束化问题转化成无约束化问题，分为自适应和非自适应的两个支路：期望信号只能从非自适应支路通过，而自适应支路仅含干扰和噪声分量。改善的方法：西安电子科技大学雷达信号处理实验室人工注入噪声的方法，即将泄漏的期望信号功率作为惩罚函数，来提高GSC的稳健性（人工注入的噪声必须具有合适）的功率。156编辑ppt

参考文献：L.J.Griffths.Analternativeapproachtolinearlyconstrainedadaptivebeamforming.IEEETrans.onAP-30(1)1982.27-34N.K.Jablon,“Adaptivebeamformingwiththegeneralizedsidelobecancellerinthepresenceofarrayimperfections”郭庆华，廖桂生，“一种稳健的自适应波束形成器”《电子与信息学报》，2004年第一期。西安电子科技大学雷达信号处理实验室波束形成器的稳健性可用它的白噪声增益来衡量，对白噪声增益的限制可用对自适应权向量进行二次不等约束来代替，使自适应权向量的范数小于一定的值。对阻塞矩阵进行改进，即把期望信号的理想导向矢量向信号子空间作投影，得到的导向矢量更加接近于实际的导向矢量。157编辑ppt§4.5频率波数处理

W：时间频率，数字信号处理，时域采样。k：空间频率矢量，只能离散处理，空间采样。W－k处理：就是W－方向处理。

仅方向滤波问题（仅考虑波束形成）。宽带阵列信号：同时刻的不同阵元信号的复包络不尽相同

W－方向的滤波问题:(宽带阵列信号处理)西安电子科技大学雷达信号处理实验室158编辑ppt频域表示：

西安电子科技大学雷达信号处理实验室159编辑ppt宽带阵列处理方法：一般结构：多通道横向滤波器。频域处理：FFTFFTFFT阵列处理IFFT对同频数据进行类似于窄带阵列处理图3.10西安电子科技大学雷达信号处理实验室160编辑ppt§5.1测向问题

第五章阵列信号的高分辨处理

如何测定传播波的到达方向传统测向方法：比相法（测定波程差,干涉仪，比相单脉冲）只适合单个源。波束扫描（比幅单脉冲，用和波束）基本原理：对于一般的远场信号而言，同一信号到达不同的阵元存在一个波程差，这个波程差导致了各接收阵元间的相位差，利用各阵元间的相位差可以估计出信号的方位。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt在保证不模糊的情况下，天线离越远越好。,

精度提高，这是因为

信号模型分析：

窄带条件下：

比相法（干涉法）仅需两元阵：N元阵单信源在不模糊的情况下()，可以测定。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt波束扫描波束形成：普通波束形成（匹配滤波）扫描指：变化在[0,180]范围内，画出输出功率随扫描角度变化的图形。问题：虽可测多个信源，但当多个信源的夹角小于一个波束宽度时，无法分辨。波束宽度与阵列孔径成反比，又称为瑞利限。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt§5.2正交子空间投影与高分辨处理信号模型：N元阵接收p个信源定义为信号子空间，是N维线性空间中的P维子空间，记为。

只是数学上的定义，并非物理上的噪声。

信号子空间与噪声子空间的定义

无噪声条件下：

的正交补空间称为噪声子空间，记为西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt其中

分析：信号子空间：对于等距线阵（ULA）

范德蒙矩阵：是满秩的充要条件为。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt已知和，则只要，则即当，时，

和线性无关，

和线性无关。当信号子空间已知（），进行方向估计方法：用为搜索矢量，向上做投影，或向做投影。定理：在上投影矢量长度等于零的充要条件为,或在上投影矢量就是自己本身的充要条件为下面给出简单证明西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt“

”：显然∵证明：N维矢量向上投影。“

”：记向（或）投影矩阵为（或）则

反证：假设，

即线性相关（P＋1个导向矢量）。而当时，应线性独立。矛盾。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt已知：N元阵列接收的一批数据先对矩阵作特征分解

或

的建立

由计算相关矩阵

假定满秩西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt特例：P个信号独立，∴有P个非零特征值

另有个零特征值，个特征矢量西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑ppt对的特征分解为

有P个大特征值可以证明：P个大特征值对应的特征矢量张成信号子空间

（但是不能推出）

或的个小特征值对应的特征矢量张成。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑pptMusic----MultipleSignalClassification（多重信号分类法）基本思想：将任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量正交的噪声子空间，然后利用这两个子空间的正交性来估计信号的参数。窄带远场的信号模型：则由于信号和噪声相互独立，数据的协方差矩阵可以分解为与信号和噪声相关的两部分，大特征值对应的特征矢量张成的空间称为信号子空间，理想条件下，信号子空间和噪声子空间是相互正交的。西安电子科技大学雷达信号处理实验室编辑pptMusic方法步骤：由阵列数据

估计相关矩阵对

作特征分解。用

个大特征值对应的特征矢量构成

或用个小特征值对应的特征矢量构成用搜索矢量

向

作投影计算谱峰：谱峰与信号强度无关，只反映与的正交性。西安电子科技大学雷达信号处理