中学数学思想和方法

中学数学思想和方法1第1页，共74页，2023年，2月20日，星期日数学思想与方法1、数学思想与方法的由来2、数学思想方法的含义3、数学思想方法的分类4、数学思想与方法教学2第2页，共74页，2023年，2月20日，星期日3第3页，共74页，2023年，2月20日，星期日4第4页，共74页，2023年，2月20日，星期日5第5页，共74页，2023年，2月20日，星期日数学思想与数学方法的联系与区别6第6页，共74页，2023年，2月20日，星期日7第7页，共74页，2023年，2月20日，星期日8第8页，共74页，2023年，2月20日，星期日9第9页，共74页，2023年，2月20日，星期日10第10页，共74页，2023年，2月20日，星期日11第11页，共74页，2023年，2月20日，星期日数学思想方法分类

数学思想方法大体上可分为三种类型。1.宏观型思想方法2.逻辑型思想方法3.操作技巧型思想方法12第12页，共74页，2023年，2月20日，星期日宏观型思想方法，包括抽象概括、化归方法、数学模型、数形结合方法、归纳猜想等。其中抽象概括、数学模型、归纳猜想等方法常常与数学知识的发生、发现过程紧密联系，是将现实问题进行数学化的重要方法。化归方法是我们处理数学问题的一种基本思路，具有很强的思维导向功能。数形结合方法则反映了数学各科之间的内部联系和统一性，体现人们对数学的总体认识。13第13页，共74页，2023年，2月20日，星期日逻辑型思想方法，包括演绎法、分类法、完全归纳法、不完全归纳法、观察法、类比法等，这类方法都具有确定的逻辑结构。例如，演绎法具有严格的逻辑表达结构。14第14页，共74页，2023年，2月20日，星期日操作技巧型思想方法，包括比较法、公式法、特殊化方法、构造法、变换法等方法，这类方法常常用于具体解题，具有一定的操作步骤。15第15页，共74页，2023年，2月20日，星期日深入地分析这些方法，我们可以发现：方法本身具有层次性。例如：比较法又有比差法和比商法等；反证法有归谬法和穷举法；构造法有构造算式法、构造函数法、构造图形法等；变换法有代数变换法、几何变换法、三角变换法等，而几何变换法又有合同变换法、相似变换法、仿射变换法、射影变换法等。方法在应用上具有综合性。例如，在进行因式分解时，往往需要提取公因式法、十字相乘法、公式法、拆补项法等同时应用；

16第16页，共74页，2023年，2月20日，星期日在应用分析和综合法时，又往往需要研究其它几种方法。方法往往具有各自不同的适用性。例如，分析法、综合法、联想法、转化法等可适用于一切问题的研究；而割补法、面积法、体积法等仅适用于某些几何问题的研究；待定系数法、消去法、代入法、配方法等常适用于某些数或式的研究等。方法本身也在不断完善之中，具有发展性。例如复数法、构造法、三角法等就是近一、二十年来，有的甚至是近年来才完善发展起来的。随着数学的发展，人们对数学方法的认识必将进一步提高。17第17页，共74页，2023年，2月20日，星期日(一)抽象和概括抽象，是人们在感性认识的基础上，透过现象，深入里层，抽取出事物的本质特征、内部联系和规律，从而达到理性认识的思维方法。抽象的过程离不开比较、归纳、分析、综合，要经过“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的加工制作过程，排除那些无关的或非本质的次要因素，抽取出研究对象的重要特征、本质因素、普遍规律与因果关系加以认识，从而为解答问题提供某种科学依据或一般原理。18第18页，共74页，2023年，2月20日，星期日19第19页，共74页，2023年，2月20日，星期日于是，就将图1抽象成图2，并且将原来提出的实际问题，抽象成能否一笔画出图2的问题。欧拉研究了一笔画的更一般问题，认为，一个连通图如果可以一笔画成，则除了起点和终点外，其余点处的连线总是一进一出成双成对的，必有偶数条,这样的点称为偶点,而七桥问题的点都不是偶点，所以不能实现一笔画，也就是不能实现每个桥只走一次而回到原点想法。欧拉运用了数学抽象的方法，成功地解决了这个问题，并由此产生了数学一个新的分支----图论。20第20页，共74页，2023年，2月20日，星期日2.概括，即把抽象出来的若干事物的共同属性归纳出来进行考察的思维方法。概括是人们追求普遍性的认识方式，是一种由个别到一般的思维方法。概括是以抽象为基础，抽象度愈高，则概括性愈强，高度的概括对事物的理解更具有一般性，则获得的理论或方法就有更普遍的指导性。抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象。21第21页，共74页，2023年，2月20日，星期日从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同相通的性质。数学思维侧重于分析、提练、概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象通过观察和分析，抽象出每个对象的各种属性，再通过归纳、概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面，得出数学的模型、模式，总结出解题的规律和方法，都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果。22第22页，共74页，2023年，2月20日，星期日例：在同一直角坐标系中作出函数：；；；的图形，讨论指数函数的一般性质。23第23页，共74页，2023年，2月20日，星期日24第24页，共74页，2023年，2月20日，星期日25第25页，共74页，2023年，2月20日，星期日(二)化归方法数学中充满矛盾，对立面无不在一定条件下互相转化。已知与未知，异与同，多与少，一般与特殊等等在一定条件下都可以互相转化。这是唯物辩证法在数学思想方法上的体现，转化的方向一般是把未知的问题向已知方向转化，把难的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问题向简单的方向转化，把生疏的问题朝熟悉的方向转化。化归，即转化与归结的意思，把有待解决的未解决的问题，通过转化过程，归结为已熟悉的规范性问题或已解决过的问题，从而求得问题的解决。26第26页，共74页，2023年，2月20日，星期日化归思想方法是研究数学问题的一种基本思想方法。而实现这种化归，就是将问题不断的变换形式，通过不同的途径实现化归，这就是化归方法，具体的化归方法有多种，如恒等变换、解析法、复数法、三角法、变量替换、数形结合、几何变换等。27第27页，共74页，2023年，2月20日，星期日例如中学数学教材里对于一元一次方程和一元二次方程，已经有了固定的求解方法、步骤和求根公式，因此，求解一元一次方程和一元二次方程的问题属于规范问题。而一元高次方程在中学数学解法的基本思想就是降次，通过因式分解或换元等方法转化成解一元一次方程或一元二次方程。中数教材里对二元一次方程组着重介绍了代入消元法和加减消元法，其基本思想是通过消元，把二元一次方程组问题转化为一元一次方程问题。28第28页，共74页，2023年，2月20日，星期日解二元二次方程组就有两种思想：一是消元，转化成一元方程；另一种是降次，转化成一次方程组。把多元高次方程组通过消元、降次转变成一元一次方程来解，就是运用化归思想方法产生出来的。29第29页，共74页，2023年，2月20日，星期日(三)数形结合的方法从广义上来看，数学研究的主要对象是：现实世界的空间形式与数量关系，形与数以及它们之间的关系始终是数学的基本内容。与此同时，形与数是互相联系，也是可以相互转化的。把问题的数量关系转化为图形性质问题，或者将图形的性质问题转化为数量关系问题，是数学活动中一种十分重要的思想方法，统称为数形结合的思想方法。30第30页，共74页，2023年，2月20日，星期日数学发展的历史表明，形与数的结合不仅使几何问题获得了有力的现代工具，而且也使许多代数问题获得了明显的直观的几何解释，从而开拓出新的研究方向。例如，笛卡尔创立的解析几何就是运用形数结合这一思想方法的典范，通过建立适当的坐标系，形成了点与有序实数组以及曲线与方程之间的对应关系，从而把几何问题转化为代数问题，把代数与几何结合起来，开创了数学发展的新纪元。31第31页，共74页，2023年，2月20日，星期日数形结合的思想方法在数学教学中具有十分重要的意义，运用这种思想方法去解决数学问题，常常可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。作为数形结合的具体方法，主要有解析法、复数法、三角法、图解法等等。一般说来，把几何问题转化为代数问题，常用解析法、复数法、三角法等；而把数量关系问题转化为图形性质问题，则常用图解法，从而化难为易，这是数形结合的数学思想方法的具体运用。32第32页，共74页，2023年，2月20日，星期日(四)反驳反驳是用已知为真的命题去揭露或证实另一个命题的虚假性的逻辑方法。反驳与证明不同，证明是确定某一判断的真实性，反驳是确定对方论题的虚假性或不能成立；证明的作用在于探求真理，阐明真理，反驳的作用则在于揭露谬误，捍卫真理。反驳与证明又是密切联系的，如果确定了一个判断的真实性，同时也就意味着确定了与之相矛盾的判断的虚假性。反之，如果确定了一个判断的虚假性，同时也就意味着确定了与之相矛盾判断的真实性。所以，证明与反驳是相辅相成的，它们都是人们探索真理、发展真理不可缺少的思维形式和逻辑方法。33第33页，共74页，2023年，2月20日，星期日常用的反驳法有以下三种：1、构造一反例。即举出一个例子，说明它具备命题的全部条件，但不具有命题的结论。2、假定命题成立，推出荒谬结果，从而证明了该命题是虚假的。例如，证明“零可以作除数”是错误的。证明：因为2-2=3-3即2(1-1)=3(1-1)若零可以作除数，则推出2=3这一结果，显然荒谬。所以，“零可以作除数”是错误的。3、论证与该命题相矛盾的命题是真实的，根据矛盾律则推出原命题是虚假的34第34页，共74页，2023年，2月20日，星期日(五)演绎推理演绎推理是从一般原理推出个别结论的思维方法。即一般到特殊的推理方法。其特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用演绎法从真实的前提一定能推出真实的结论。演绎推理是逻辑证明的工具，整个欧几里得几何就是一个演绎推理系统，19世纪数学家们由对欧几里得第五公设的独立性的试证导致发现非欧几何。三段论是演绎推理的主要形式，所谓“三段论”就是由大前提、小前提、结论三部分组成。35第35页，共74页，2023年，2月20日，星期日例如，凡同边数的正多边形都是相似的。这两个正多边形的边数是相同的，所以这两个正多边形也是相似的。这里有三个判断，第一个判断提供了一般的原理原则，叫做三段论的大前提；第二个判断指出了一个特殊场合的情况，叫做小前提；联合这两个判断，说明一般原则和特殊情况间的联系，因而得出的第三个判断，叫做结论。36第36页，共74页，2023年，2月20日，星期日(六)系统化系统化，就是将各种有关材料编成顺序，纳入一定体系之中进行研究的一种思维方法。它是与比较、分类、抽象、概括、具体化等思维方法紧密联系在一起的。运用系统化方法，有助于从整体上把握事物的内在联系，系统、深刻地掌握知识；有助于抓住核心，了解来龙去脉。例如，在学习了两角和与差的三角函数的公式，倍角、半角的三角函数公式，万能公式以及三角函数的积化和差与和差化积公式之后，应及时指导学生把这许多公式的内在联系和推导的线索用绘制图表的方法进行系统的整理，这将大大有助于学生理解、记忆和掌握这些公式，这是学好三角函数公式的关键。37第37页，共74页，2023年，2月20日，星期日又如，在学习了椭圆、双曲线、抛物线的内容之后，也应指导学生把这三种圆锥曲线的几何条件（定义）、标准方程、图形、性质制成图表，进行比较，并形成系统化的知识。38第38页，共74页，2023年，2月20日，星期日1.我国数学教育的现状2.对数学思想与方法教学的认识3.数学思想与方法教学的目标4.数学思想方法教学的主要途径数学思想方法的教学39第39页，共74页，2023年，2月20日，星期日我国当前的数学教育存在几个方面问题：1、课堂教学是为了应试，教学内容陈旧，不少课程内容远离数学发展的前沿，最新数学成果进入课程的周期太长。2教学重结果，轻过程，教材所编写的大部分是数学思维的成果—概念、定理、证明，很少反映人们是怎样去想的，即不去研究数学的思维过程。3、重模仿，轻探索，在教学方法上教师往往仅注重理论的完整证明与各类常规问题的解题类型，重解题训练。40第40页，共74页，2023年，2月20日，星期日长期以来，在一部分中学中大搞“题海战术”，以此谋求所谓高分。不可否认，这种做法对培养学生模仿能力、记忆能力上有一定作用，学生经过反复练习，固然能掌握一部分数学知识，但由于学生的思维是在固定模式中机械地反复运动，容易形成思维上的惰性，从而导致思维“功能的僵化”，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力，思想方法没有得到应有的提高，创新能力得不到应有的培养，学生在一旦条件、结论发生变化时，不知所措，一筹莫展，这种得不偿失的做法。41第41页，共74页，2023年，2月20日，星期日现行的数学教学大纲都明确强调把数学思想和方法作为基础知识的重要组成部分，突出了数学思想和方法这个精髓，要使学生逐步学会观察、比较、分析、综合、抽象和概括、归纳、演绎、类比等重要的思想方法，这是体现素质教育精神的重要方面。这些思想方法不仅对学习和研究数学有重要的指导意义，而且对提高全体学生的文化科学素质，思想素质都有重大的意义。加强数学思想方法的教学，必将大大提高学生的素质，这正是素质教育所大力提倡的。42第42页，共74页，2023年，2月20日，星期日对数学思想与方法教学的认识数学思想与方法教学是数学教育的根本任务之一。《大纲》规定：数学思想与方法属于基础知识，所以初中数学教学的主要任务不仅仅是使学生掌握数学基本知识、训练技能、发展能力，还应进行数学思想与方法的教学，让学生了解、理解、掌握必需的数学思想与方法，借以形成学生的数学观念，培养学生良好的“数学素养”。43第43页，共74页，2023年，2月20日，星期日法国学者冯-劳厄曾说：“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西。”这里所剩下的、令人终身难忘而受益的东西，在数学教学中就是数学思想与方法。在我国普及九年义务教育，数学理所当然应成为“大众数学”，也就是说数学应该是所有学生都必须学习而且都能够学习的课程。它将是为所有学生所能普遍接受且能终身受用而设计的课程。其中在设计“大众数学”中，数学思想与方法教学必将得到充分的体现。44第44页，共74页，2023年，2月20日，星期日数学思想与方法教学是数学教学改革的一面旗帜。初中数学中，所涉及到的数学基本知识、数学思想与方法，形成了数学结构的两条主线。一条是明线：指数学基本知识点，它是数学的外显形式。一条是“暗线”指具有潜在价值的数学思想与方法，它是数学的内在形式，是获取数学知识、发展数学素养的有力工具。有了数学思想与方法就可以把零散、孤立的知识统一起来。45第45页，共74页，2023年，2月20日，星期日数学思想与方法教学的目标数学思想方法既然是《大纲》规定的数学“基础知识”，也就应有其教学目标，也就是怎么用学生能接受的数学语言描述它们，并与课堂教学的要求相符合。46第46页，共74页，2023年，2月20日，星期日数学思想与方法教学目标的划分依据。首先，《大纲》已初步给出了部分数学思想与方法的教学目标。比如使学生掌握消元、换元等常用的数学方法。其次，数学思想与方法既然是数学“基础知识”的一个组成部分，那么就必须具有数学“基础知识”的某些特征，就可以把它们用数学语言来描述、解释，同时还可以根据学生认知心理过程的渐进性及规律性为依据进行划分。再次，数学思想与方法蕴含在数学知识的体系之中，它们是运用数学知识，进行问题解决的手段与技术。47第47页，共74页，2023年，2月20日，星期日

1.操作性思想与方法：构造、换元、待定系数、配方，参数、判别式；2.逻辑性思想与方法；演绎、分类、类化、归纳法、反证法、公理化、集合、映射；3.策略性思想与方法：化归、抽象概括、猜想、数形结合、整体与系统、特殊与一般。数学思想与方法教学目标的定位。根据《大纲》与中学教材，可以把初中数学思想与方法教学目标分为三大类48第48页，共74页，2023年，2月20日，星期日数学思想方法教学的主要途径1、化隐为显———深入挖掘蕴含在数学教材内容中的思想方法，加以揭示，乃至予以必要的强调。数学思想方法隐含在数学知识的背后，如果不是有意识、有目的地把数学思想方法作为教学内容，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。49第49页，共74页，2023年，2月20日，星期日为了让学生较好地理解与掌握数学的思想方法，教师应精心设计课堂教学过程，展示数学思维过程，教师在认真备课的同时，深入挖掘隐含在教材里的数学思想方法，而在具体教学过程中，加以揭示，明确地告诉学生，阐明其作用，并给以必要的强调，以引起学生的重视和加深理解，这样才有助于学生了解其中数学思想方法的产生、应用和发展的过程；理解数学思想方法的特征，应用的条件，掌握数学思想方法的实质。50第50页，共74页，2023年，2月20日，星期日例如，在教“分类”时，教材中只要求学生对事物进行分类，并没有明确地把“分类法”表述出来，这就需要学生用心体会，才能领悟到，但这不是所有学生都能做到的。实施数学思想方法教学，就是要求教师按照“化隐为显”的原则，对教材下一番改造制作的功夫，教师可以进一步要求学生表述他们对分类的理解，以及说一说为什么这样分类？通过交流数学思考及时引导学生学习分类法。51第51页，共74页，2023年，2月20日，星期日又如立几教学中许多内容都体现了一个重要思想方法—把空间里的问题转化为平面上的问题，在教学过程中，就要善于引导学生从具体问题中提炼出这一具有普遍指导作用的思想方法。并进一步上升为降维的思想方法，再总结出更一般的更高层次的思想—转化与化归。52第52页，共74页，2023年，2月20日，星期日循序渐进—紧密结合教材，有计划、有步骤地系统开展数学思想方法的教学数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；在学习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小；学习百分数时，教师用条形图来解释百分数的含义。53第53页，共74页，2023年，2月20日，星期日通过多次孕育学生就会逐步形成借助于图形性质解决代数问题的观念，从而达到对数形结合方法的理解。对于不同的数学教学内容，可根据其特点，选配不同的数学思想方法进行教学。例如在概念的形成阶段，可选配观察、比较、归纳、抽象、概括等思想方法，而在定理的教学阶段，可选配分析、综合、类比、归纳、演绎等推证的思想方法等等。54第54页，共74页，2023年，2月20日，星期日对同一数学思想方法，应注意其在不同阶段的反复再现，逐步提高。以解代数方程为例，学生在学过一元一次方程之后，学习二元一次方程组的解法，初步领会到消元的方法及更高一层的思想———转化或化归的思想。学生在学过一元一次和一元二次方程之后，再学习一元高次方程、分式方程和无理方程的解法，通过因式分解或换元把一元高次方程降次为一元二次或一元一次方程，通过去分母或换元把分式方程化为整式方程，通过两边乘方或换元把无理方程化为有理方程等，进一步理解了化归的思想方法。然后在学习二元二次方程组解法时，学生可再次深入掌握转化的思想方法。55第55页，共74页，2023年，2月20日，星期日学生参与原则长期以来，“教师教，学生学”是教学过程中的一个传统模式，这样的教学法已不再适应新的教学观，应将教师的作用从“教”提高到“导”，“导”就是引导，即教师的作用不应该是死板的“教”学生，而是引导学生，组织学生积极参与教学过程，在老师的启发引导下逐步领悟、形成、理解数学思想方法,充分地使学生展示自己的思维能力和想象能力，尽可能让学生自己发现、归纳、总结知识，一旦学生感觉到自己真正在参与数学教学活动，那么，学生对学习的兴趣56第56页，共74页，2023年，2月20日，星期日愿望、积极性及学习效果就容易产生飞跃，而参与数学教学活动的过程又会极大提高参与者自身的数学水平和能力。打破传统的教学方法，尝试不同的教学方法,也就是不要一成不变地将讲授法放到首位，要采