新高中数学人教A5习题：第一章解三角形 检测B

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章检测（B）(时间:90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知腰长为定值的等腰三角形的最大面积为2，则等腰三角形的腰长为（).A.C。2 D.3解析：设该等腰三角形的腰长为a,顶角为θ,则该等腰三角形的面积为12a2sinθ，易知当θ=90°时,该等腰三角形的面积取得最大值1答案:C2在△ABC中,b=3A.C.解析：∵sinC=sinBb∴C=60°或C=120°。∴A=90°或A=30°。当A=30°时,a=b=当A=90°时，a=答案：C3在△ABC中,∠ABC=π4,AB=2,A.C.解析：在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2—2AB·BCcos∠ABC=2+9-2×2×由正弦定理所以sin∠BAC=答案:C4在△ABC中,A,B,C的对边分别为a，b,c,且a〉b〉c，a2<b2+c2,则A的取值范围是().A.C.解析:cosA=又a〉b>c,∴A>B〉C。∴A>π3答案：C5在△ABC中,sinA=3A.C。(0，10） D.解析：由正弦定理得c=asinA·sinC=103又c〉0，故0<c≤40答案:D6路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20m,则折断点与树干底部的距离是().A.C.解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°。由正弦定理知∴AO=答案：A7在△ABC中,角A，B,C的对边分别是a,b，c.已知b=c,a2=2b2（1-sinA),则A=().A.C.解析：由余弦定理可得a2=b2+c2—2bccosA,又因为b=c,所以a2=b2+b2—2b×bcosA=2b2(1-cosA）。由已知a2=2b2（1-sinA）,所以sinA=cosA，因为A∈（0,π）,所以A=答案：C8在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b,c，若tanA=7tanB,aA。4 B。3 C.7 D.6解析:由tanA=7tanB,得即sinAcosB=7sinBcosA,所以sinAcosB+sinBcosA=8sinBcosA,即sin（A+B）=sinC=8sinBcosA。由正、余弦定理可得c=8b·b即c2=4b2+4c2—4a2。又a2-b2c=3,所以c答案:A9在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=(a+b）2—c2,则tanC等于（）。A.C.-解析:由2S=（a+b）2-c2,得2S=a2+b2+2ab-c2，即2×12absinC=a2+b2+所以absinC-2ab=a2+b2-c2.由余弦定理可知cosC=所以cosC+1=即2cos2所以tan所以tanC=答案:D10甲船在B岛的正南方10km处,且甲船以4km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向行驶，当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是(）。A.C.21。5min D.2。15h解析:如图，设经过xh后甲船处于点P处，乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在△BPQ中,BP=10—4x，BQ=6x，∠PBQ=120°，由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos∠PBQ,即s2=（10—4x)2+(6x）2-2（10-4x)·6x·cos120°=28x2—20x+100.当x=--202此时x=答案：A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填在题中的横线上)11设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c.若b+c=2a,3sinA=5sinB，则角C=。

解析:∵3sinA=5sinB,∴3a=5b。①又∵b+c=2a,②∴由①②可得，a=∴cosC=∴C=答案：212已知△ABC的面积为S，且|BC解析:设AB=c,BC=a,AC=b,则∵|∴a2=abcosC+absinC,即a=bsinC+bcosC。由正弦定理得sinA=sinBsinC+sinBcosC。又sinA=sin（B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴sinB=cosB,即tanB=1,B=答案:π13在△ABC中,BC=1,B=π3,当△解析:设AB=c，AC=b，BC=a，则△ABC的面积S=12acsinB所以b=所以cosC=所以sinC=答案:214在△ABC中，已知b=1，sinC=3解析:由余弦定理的推论知cosC=a2∵bcosC+ccosB=2，∴∴a=2，即又b=1,∴|∵sinC=∴cosC=45或∴答案：815在△ABC中,角A,B，C的对边分别为a，b，c，若1+tan解析:由正弦定理,得又因为1+==所以则cosA=又因为0°<A〈180°,所以A=60°。答案：60°三、解答题(本大题共5小题，共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16（8分)在△ABC中，已知AB=2,AC=3，A=60°。（1)求BC的长;（2)求sin2C的值.解(1）由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+9-2×2×3×所以BC=（2)由正弦定理知所以sinC=ABBC·sin因为AB<BC，所以C为锐角，则cosC=因此sin2C=2sinC·cosC=2×17(8分）在△ABC中，∠A=3解设△ABC的内角A,B，C所对边的长分别是a，b，c.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3所以a=3又由正弦定理得sinB=由题设知0<B<π4,在△ABD中,由正弦定理得AD=18（9分)在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c,且a>c.已知BA(1)a和c的值;(2)cos（B—C)的值.解(1)由BA·BC=2得c又cosB=13,由余弦定理，得a2+c2=b2+2accosB.又b=3，所以a2+c2=9+2×2=13。解ac=6,a2+c2=13,得a=因为a〉c,所以a=3,c=2。(2)在△ABC中，sinB==由正弦定理,得sinC=cb因为a=b〉c,所以C为锐角,因此cosC=于是cos（B—C)=cosBcosC+sinBsinC=19(10分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a，b，c.已知a-c=6（1)求cosA的值;（2)求cos解（1)在△ABC中,由及sinB=6sinC,可得又由a—c=66b,所以cosA=(2）在△ABC中,由cosA=可得sinA=于是cos2A=2cos2A—1=-14,sin2A=2sinA·所以cos2A-π6=cos2A·20（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c。已知a=3,cosA=6（1)求b的值；（2)求△ABC的面积.解（1)在△ABC中，由题意知sinA=又因为B=A+所以sinB=sinA+由正弦定理可得b=(2)由B=A+cosB=cosA+由A+B+C=