2021-2022学年福建省三明市南阳初级中学高二数学理月考试题含解析

2021-2022学年福建省三明市南阳初级中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线中心在原点，且一个焦点为，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为，则该双曲线的方程是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A.f(x)的一个周期为?2π B.y=f(x)的图像关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在(,π)单调递减参考答案：Df(x)的最小正周期为2π，易知A正确；f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．故选D.3.已知一个三棱锥的三视图如右图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为A．

B．

C．

D．参考答案：A4.若＜＜0，则下列不等式：①a+b＜ab；②|a|＜|b|；③a＜b；④＞2中，正确不等式的序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①②④参考答案：D【考点】不等式比较大小．【分析】若，则a＜0，b＜0，且a＞b则①a+b为负数，ab为正数；②绝对值的意义判断，③赋值来处理；④借助于均值不等式来处理．【解答】解：若，则a＜0，b＜0，且a＞b则①a+b＜0，ab＞0，故①正确；②a＜0，b＜0，且a＞b，显然|a|＜|b|，故②正确；③由②得a＞b，故③错；④由于a＜0，b＜0，故＞0，＞0则+≥2=2（当且仅当=即a=b时取“=”）又a＞b，则+＞2，故④正确；故选：D．5.设是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（

）

A．（－1，0）∪（1，+）

B．（－1，0）∪（0，1）

C．（－，－1）∪（1，+）

D．（－，－1）∪（0，1）参考答案：C略6.复数的值（

）A.-16

B.16

C.

D.参考答案：A7.圆上满足条件“到直线的距离是到点的距离的倍”的点的个数为（

）A．0

B.1

C.2

D.4参考答案：C8.用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（） A．增加了一项 B．增加了两项 C．增加了两项，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 参考答案：C【考点】数学归纳法． 【专题】阅读型． 【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“++…+＞（n＞2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论． 【解答】解：， = 故选C 【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．9.利用反证法证明“若，则x=0且y=0”时，下列假设正确的是（

）A．x≠0且y≠0

B．x=0且y≠0C．x≠0或y≠0

D．x=0或y=0参考答案：C10.在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为A. B. C. D.参考答案：A分析：可从事件的反面考虑，即事件A不发生的概率为，由此可易得结论．详解：设事件A在一次试验中发生概率为，则，解得．故选A．点睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率时，通常从事件的反而入手可能较简单，如本题中“至少发生1次”的反面为“一次都不发生”，若本题求“至多发生3次”的概率，其反面是“至少发生4次”即“全发生”．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“”的否定是

．参考答案：12.已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为．参考答案：8【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．13.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是.由，，，…，可推出

．参考答案：

27114.直线上的点到圆C：的最近距离为

.参考答案：略15.一批产品中，有10件正品和5件次品，现对产品逐个进行检测，如果已检测到前3次均为正品，则第4次检测的产品仍为正品的概率是_____.参考答案：略16.椭圆的短轴长是2，一个焦点是，则椭圆的标准方程是____________参考答案：17.已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B=?，实数a的取值范围是．参考答案：a≤或a≥2【考点】1I：子集与交集、并集运算的转换；1E：交集及其运算．【分析】根据集合A，B，以及A∩B=?，分别判断集合成立的条件，分情况讨论得出a的范围即可．【解答】解：∵A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，而A∩B=?，∴①a﹣1≥2a+1时，A=?，a≤﹣2②解得：﹣2＜a③解得：a≥2综上，a的范围为：a≤或a≥2故答案为：a≤或a≥2【点评】本题考查交集及其运算，子集与交集补集的混合运算，通过对集合关系的把握转化为参数的范围，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系，证明：EG⊥DF．参考答案：解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．则A（0，0）．B（3，0）．C（3，1）．D（0，1）．E（1，0）．F（2，0）．由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x﹣3y=0，由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y﹣2=0，由得故点G点的坐标为．又点E的坐标为（1，0），故kEG=2，所以kDF?kEG=﹣1．即证得：EG⊥DF略19.已知函数f（x）=ex﹣1+ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）求证：ex﹣1≥x；（3）求证：当a≥﹣2时，?x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）f'（x）=ex﹣1+a，分a≥0，a＜0讨论；（2）令a=﹣1，由（1）得f（x）的增区间是（+1，+∞）单调递减区间是（﹣∞，1），函数f（x）=ex﹣1﹣x的最小值为f（1）=0，即ex﹣1≥x；（3）f（x）+lnx≥a+1恒成立?f（x）+lnx﹣a﹣1≥0恒成立．令g（x）=f（x）+lnx﹣a﹣1=ex﹣1+a（x﹣1）+lnx﹣1，则g′（x）=ex﹣1++a．当a≥﹣2时，g′（x）=ex﹣1++a≥x++a≥2=2+a≥0，得g（x）单调递增即可证明．【解答】解：（1）f'（x）=ex﹣1+a，当a≥0时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在R上单调递增，当a＜0时，令f'（x）=0，即x=ln（﹣a）+1，f'（x）＞0，得x＞ln（﹣a）+1；f'（x）＜0，得x＜ln（﹣a）+1，所以，当a≥0时．函数f（x）在R上单调递增，当a＜0时，f（x）的增区间是（ln（﹣a）+1，+∞）单调递减区间是（﹣∞，ln（﹣a）+1），（2）证明：令a=﹣1，由（1）得f（x）的增区间是（+1，+∞）单调递减区间是（﹣∞，1），函数f（x）=ex﹣1﹣x的最小值为f（1）=0，∴ex﹣1﹣x≥0即ex﹣1≥x；（3）证明：f（x）+lnx≥a+1恒成立?f（x）+lnx﹣a﹣1≥0恒成立．令g（x）=f（x）+lnx﹣a﹣1=ex﹣1+a（x﹣1）+lnx﹣1，则g′（x）=ex﹣1++a．当a≥﹣2时，g′（x）=ex﹣1++a≥x++a≥2=2+a≥0，∴x∈[1，+∞）时，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（1）=0，即当a≥﹣2时，?x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．20.在平面直角坐标系中中，点为动点，已知点,直线与的斜率之积为定值（1）

求动点的轨迹E的方程；（2）

若F，过点F的直线交轨迹E于M,N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，求直线的方程参考答案：解（1）由题意=，整理得，所以所求轨迹E的方程为.(2)当直线与轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；当直线与轴垂直时，：，此时M(),N,以MN为对角线的正方形的另外两个顶点，不合题意；当直线：，M，NMN的中点Q由消得所以Q，则线段MN的中垂线m的方程为即为，则直线m与轴的交点R为(0，)注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴当且仅当时，即

即由，代入上式得综上所求直线方程为或

略21.设函数f（x）=x3﹣x2+6x﹣a．（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】（1）先求函数f（x）的导数，然后求出f'（x）的最小值，使f'（x）min≥m成立即可．（2）若欲使方程f（x）=0有且仅有一个实根，只需求出函数的极大值小于零，或求出函数的极小值大于零即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），因为x∈（﹣∞，+∞），f′（x）≥m，即3x2﹣9x+（6﹣m）≥0恒成立，所以△=81﹣12（6﹣m）≤0，得，即m的最大值为（2）因为当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0；所以当x=1时，f（x）取极大值；当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2﹣a；故当f（2）＞0或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有一个实根、解得a＜2或22.已知p：“直线