2021-2022学年湖南省长沙市姚家巷中学高二数学理模拟试题含解析

2021-2022学年湖南省长沙市姚家巷中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若抛物线C以坐标原点为顶点，以双曲线的顶点为焦点且过第二象限，则抛物线C的准线方程是(

)

A．x=3

B．y=－4C．x=3或y=－4

D．x=4或y=－3参考答案：B略2.已知f（x）=asinx+cosx，若f（+x）=f（﹣x），则f（x）的最大值为（）A．1 B． C．2 D．2参考答案：B【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意得f（x）的对称轴为，及f（x）=sin（x+α），由此得到f（x）的最值的关系式，得到a=1，由此得到f（x）的最大值．【解答】选B．解：由题意得f（x）的对称轴为，f（x）=asinx+cosx=sin（x+α）当时，f（x）取得最值即，得a=1，∴f（x）的最大值为．故选B．3.是复数为纯虚数的（

）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分也不必要条件参考答案：B4.展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

解析：只有第六项二项式系数最大，则，

，令5.设a，b，c∈R，且a＞b，则(

)A．ac＞bc B． C．a2＞b2 D．a3＞b3参考答案：D【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．6.下列命题不正确的是（）A.由样本数据得到的回归方程必过样本点中心B.相关指数用来刻画回归效果，的值越大，说明模型的拟合效果越好C.归纳推理和类比推理都是合情推理，合情推理的结论是可靠的，是正确的结论D.演绎推理是由一般到特殊的推理参考答案：C【分析】根据涉及的知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结果．【详解】对于A，由线性回归分析可得回归直线一定经过样本中心，所以A正确．对于B，当相关指数的值越大时，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以B正确．对于C，合情推理的结论是不可靠的，需要进行证明后才能判断是否正确，所以C不正确．对于D，由演绎推理的定义可得结论正确．故选C．

7.设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3

B．－1 C．1

D．3参考答案：D8.若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是

（

）A.b=6，A=30°，C=60°

B.b=3，c=2，B=60°C.a=7，b=5，A=60°

D.a=3，b=4，A=45°参考答案：D10.设是向量，命题“若，则∣∣=∣∣”的否命题是（

）

（A）若，则∣∣∣∣

（B）若=b，则∣∣∣∣

（C）若∣∣∣∣，则-

（D）若∣∣=∣∣，则=-参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.现有下列命题:①命题“”的否定是“”;②若,,则=;③函数是偶函数的充要条件是;④若非零向量满足==(),则=1.其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上)参考答案：②③略12.若实数x,y满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：－5

13.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别在线段AD，BC上，且AE=1，BF=3．如图所示，沿EF将四边形AEFB翻折成，则在翻折过程中，二面角的正切值的最大值为

▲

．

参考答案：14.集合中所有3个元素的子集的元素和为__________．参考答案：【分析】集合A中所有元素被选取了次，可得集合中所有3个元素的子集的元素和为即可得结果.【详解】集合中所有元素被选取了次，∴集合中所有3个元素的子集的元素和为，故答案为．【点睛】本题考查了集合的子集、正整数平方和计算公式，属于中档题．15.函数参考答案：4略16.用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边计算所得的项是

．参考答案：用数学归纳法证明“，()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.

17.椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=

．参考答案：2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆方程，得到椭圆的长轴为2a=6，再由椭圆的定义得椭圆上点P满足：|PF1|+|PF2|=2a=6，结合题意|PF1|=4，则不难得到PF2的长度．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=9，b2=2，得椭圆的长轴长2a=6∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，得|PF2|=6﹣|PF1|=6﹣4=2故答案为：2【点评】本题给出椭圆上一点到左焦点的距离，求它到右焦点的距离，着重考查了椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数是自然对数的底数）（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的方程在区间上恰有两相异实根，求的取值范围；（Ⅲ）当时，证明：．参考答案：（1）当时

当时

的递增区间为递减区间为

……4分（2）由方程

得令

则当时，

递减当时，

递增又

……8分（3）要证原不等式成立，只需证明成立由（1）可知当时，

又时，

故

即

……12分19.(本小题满分16分)如图，在边长为a的菱形ABCD中，，E,F是PA和AB的中点。（1）求证：EF||平面PBC;（2）求E到平面PBC的距离。参考答案：

在直角三角形FBH中，，

故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离，等于。20.已知函数在点处的切线方程为．⑴求函数的解析式；⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，

求实数的最小值；⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.参考答案：试题解析：⑴．

根据题意，得即解得

所以．

⑵令，即．得．12

+

+

增极大值减极小值增2因为，，所以当时，，．

则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以．所以的最小值为4．

⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．则．因为，所以切线的斜率为．

则=，

即．

因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解．所以函数有三个不同的零点．则．令，则或．02+

+增极大值减极小值增则，即，解得．略21.（10分）设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．参考答案：22.已知向量=（-3，2）与向量=（x，-5）（1）若向量⊥向量，求实数x的值；(4分)（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围。（6分）参考答案：

解：(1)∵向量⊥向量………….1`

∴·=0………………….1`

∴-3x-10=0

……………….1`