2021-2022学年浙江省嘉兴市六里中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年浙江省嘉兴市六里中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为

(

)A．35m

B．30m C．25m

D．20m参考答案：D略2.已知数列{an}满足(n∈N+)，则使不等式a2016＞2017成立的所有正整数a1的集合为（）A．{a1|a1≥2017，a1∈N+} B．{a1|a1≥2016，a1∈N+}C．{a1|a1≥2015，a1∈N+} D．{a1|a1≥2014，a1∈N+}参考答案：A【考点】数列递推式．【分析】数列{an}满足，可得﹣=1，an+1≥2．不等式a2016＞2017化为：+1≥2017，进而得出．【解答】解：∵数列{an}满足，∴﹣=1，an+1≥2．∴=+（n﹣1）．则不等式a2016＞2017化为：+1≥2017，∴≥20162﹣2015，解得a1≥2017．∴则使不等式a2016＞2017成立的所有正整数a1的集合为{a1|a1≥2017，a1∈N+}．故选：A．3.以下判断正确的是

（

）A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“”的否定是“”C．“”是“函数的最小正周期是”的必要不充分条件D．“”是“函数是偶函数”的充要条件参考答案：D4.已知一个半径为1的小球在一个内壁棱长为5的正方体密闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是A．100

B．96 C．54

D．92参考答案：B5.在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆相交的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）圆心到直线y=k（x+2）的距离为要使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1相交，则解得﹣＜k＜∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为P==故选C．6.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜ex∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．7.函数的单调递增区间是A．(－∞,1)

B．(－∞,2)

C．(2,+∞)

D．(3,+∞)

参考答案：D8.已知是的一个内角，且，则的值为（

）A、

B、

C、

D、或参考答案：A9.θ为锐角，，则有

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.曲线在点处的切线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

函数f(x)＝lg(x－1)的定义域为________．参考答案：(1，＋∞)12.已知x，y∈R+，x+y=1，则的最小值为__________．参考答案：3考点：基本不等式．专题：转化思想；不等式的解法及应用．分析：首先，将所给的条件代入，转化为基本不等式的结构形式，然后，利用基本不等式进行求解．解答：解：∵x，y∈R+，x+y=1，∴+=+=++1≥2+1=3，故答案为：3．点评：本题重点考查了基本不等式问题，考查等价转化思想的灵活运用，属于中档题．13.已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，则棱锥的体积为

．参考答案：14.设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：①设是平面上的线性变换，则

②对设，则是平面上的线性变换；

③若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换；④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。其中真命题是

（写出所有真命题的序号）参考答案：①②④解析：令，由题有，故①正确；由题，，即，故②正确；由题，，即，故③不正确；由题，，即也共线，故④正确；15.设x=，则tan（π+x）等于

．参考答案：16.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则的前n项和是_____________.参考答案：略17.若复数是纯虚数，则实数=

.参考答案：1将复数表示为的形式，然后由即可求；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.坐标系与参数方程已知直线:（t为参数），圆:

(为参数)，（Ⅰ)当=时，求与的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点作的垂线，垂足为,为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

参考答案：（1）连接、，则

又是BC的中点，所以

又，

所以.。。。。。。。。。。。3分

所以

所以、、、四点共圆

。。。。。。。5分

（2）延长交圆于点

因为.。。。。。7分

所以所以。。。。。。。。。。10分略19.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E在线段BC上，且.（1）求证：DE⊥平面PAD.（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明见解析（2）【分析】（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】（1）在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,,,,,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,,,又,,,为等边三角形,,则,,,,,,,,,设平面的法向量为,则，即,令,则,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,,设平面与平面的夹角为θ,则二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.20.如图，已知抛物线的焦点是F，准线是l.（1）写出焦点F的坐标和准线l的方程；（2）已知点，若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A、B（均与P不重合），直线PA、PB分别交l于点M、N，求证：.参考答案：（1），准线的方程为；（2）见解析.【分析】（1）由抛物线的定义即可解题；（2）由（1）知：设直线的方程为：，与抛物线方程联立，由根与系数的关系得：．直线方程为：，，当时，，，同理得：，得到，所以，所以．【详解】解：（1）抛物线的焦点为，准线的方程为：；（2）设直线的方程为：，令，，联立直线的方程与抛物线的方程，消去得，由根与系数的关系得：.直线方程为：，，当时，，，同理得：.，,，，.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21.某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列及数学期望．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）设Ai表示所取得人中有i个人是“极安全”，至多有一人是“极安全”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1），由此能求出至多有1人是“极安全”的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，3，由已知得X～B（3，），由此能求出X的分布列及数学期望．解答： 解：（1）设Ai表示所取得人中有i个人是“极安全”，至多有一人是“极安全”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=+=．（2）X的可能取值为0，1，2，3，由已知得X～B（3，），P（X=0）=（）3=，P（X=1）=，p（X=2）=，P（X=3）=，∴X的分布列为：X0123P

EX=3×=．点评：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．22.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，已知向量