2021-2022学年河南省许昌市长葛天隆学校高二数学理月考试题含解析

2021-2022学年河南省许昌市长葛天隆学校高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4） B．（﹣5，0） C．（﹣4，0） D．（﹣5，﹣3]参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标（），求出原函数的导函数，写出切线方程，把点（2，n）代入切线方程，整理得到．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，利用导数求其极大值为g（1）=5；极小值为g（2）=4．再由4＜﹣n＜5求得n的范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，设切点为（），则．∴过切点处的切线方程为，把点（2，n）代入得：．整理得：．若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则方程有三个不同根．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，则g′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），∴当x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）．∴当x=1时，g（x）有极大值为g（1）=5；当x=2时，g（x）有极小值为g（2）=4．由4＜﹣n＜5，得﹣5＜n＜﹣4．∴实数n的取值范围是（﹣5，﹣4）．故选：A．2.抛物线：的焦点坐标是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.“”是“”的（

）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件参考答案：A略4.设全集，集合，，则下图中的阴影部分表示的集合为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B5.一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.函数的图像如图所示，则它的解析式是（

）参考答案：C7.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．正视图

侧视图

俯视图（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A8.顶点为原点，焦点为的抛物线方程是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.若，则m等于()A．9

B．8 C．7

D ．6参考答案：C10.图2给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

A．

B．

C．

D．

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.展开式中x2的系数为

参考答案：12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】根据正弦定理关于三角形面积的公式结合余弦定理化简题中的等式，可得sinC=cosC．再由同角三角函数的基本关系，得到tanC=，结合C∈（0，π）可得C=，得到本题答案．【解答】解：∵△ABC的面积为S=absinC，∴由S=（a2+b2﹣c2），得（a2+b2﹣c2）=absinC，即absinC=（a2+b2﹣c2）∵根据余弦定理，得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴absinC=×2abcosC，得sinC=cosC，即tanC==∵C∈（0，π），∴C=故答案为：13.过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，M、N为准线l上两点，AM⊥l，BN⊥l，M、N为垂足，C为线段AB中点，D为线段MN中点，CD交抛物线于点E，下列结论中正确的是

.（把你认为正确的序号都填上）①＋为定值②以AB为直径的圆与l相切③以MN为直径的圆与AB所在直线相切④以AF为直径的圆与y轴相切⑤E为线段CD中点参考答案：①②③④⑤略14.给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是．参考答案：（3）（4）考点： 正弦定理．

专题： 三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析： （1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sinA=cosB=，A，B∈（0，π），可得A=﹣B，或A+﹣B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得：++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，再利用倍角公式、和差公式化为cosAcosBcosC＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，利用余弦函数的值域，可得A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，即可判断出正误．解答： 解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sinA=cosB=，∵A，B∈（0，π），∴A=﹣B，或A+﹣B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B﹣C）＞0，∴cosA[﹣cos（B+C）﹣cos（B﹣C）]＞0，∴cosAcosBcosC＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∵cos（A﹣B）∈（﹣1，1]，cos（B﹣C）∈（﹣1，1]，cos（C﹣A）∈（﹣1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．点评： 本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为m．参考答案：8【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】设矩形的长为：x，宽为：y，则xy=8，且x＞0，y＞0，篱笆总长度为L=x+2y利用基本不等式求解即可．【解答】解：设矩形的长为：x，宽为：y，则xy=8，且x＞0，y＞0，篱笆总长度为L=x+2y≥2=8，当且仅当x=2y=4时取等号；篱笆总长度最小为：8m．故答案为：8．【点评】本题考查函数的实际问题的应用，基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．16.展开式中的系数为________。

参考答案：-6

略17.若幂函数f（x）的图象过点，则=．参考答案：考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 设出幂函数的解析式，然后把点的坐标代入求出幂指数即可．解答： 解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，∴，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．==2﹣1=故答案为：．点评： 本题考查了幂函数的概念，是会考常见题型，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=x2－(a+)x+1.（1）当a=2时，解关于x的不等式f(x)≤0；（2）若a＞0，解关于x的不等式f(x)≤0.参考答案：（1）当时，不等式，即，解得．故原不等式的解集为．…………4分（2）因为不等式，当时，有，所以原不等式的解集为；当时，有，所以原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为…………10分19.（本小题满分8分）如图，长方体中，底面是正方形，，是上的一点，且满足平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．参考答案：见解析【知识点】立体几何综合【试题解析】解：（Ⅰ）因为平面，平面，所以，

在长方体中，易证平面，平面

所以．

因为，所以平面．

又平面

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

从而，，

所以．20.已知向量

(1)当向量与向量共线时，求的值；

(2)求函数的最大值,并求函数取得最大值时的的值.参考答案：(1)共线,∴,∴.(2),，函数的最大值为,得函数取得最大值时21.已知：方程表示焦点在轴上的双曲线，：方程=(一)表示开口向右的抛物线．若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．参考答案：由题意，p与q一真一假 1分 若p真，则，求得 3分若q真，则，求得 5分当p真q假时，，无解当p假q真时，，求得综上：. 12分略22.（2016秋?邢台期末）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，PA=a，AD=2a．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）法一（几何法）：过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角．由此能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值．法二（向量法）：建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值．（2）求出平面PAB的一个法向量和平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值．【解答】解：（1）法一（几何法）：过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角．在Rt△PAD中，∠PAD=90°，由，得∠PDA=30°，∴．∴AE=AD?sin30°=a．∵，．∴．连接AC，∵在△ACD中，AD=2a，，，∴AD2=AC2+CD2，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC．又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．∴ME⊥平面PAC．∵MA?平面PAC，∵ME⊥AM．∴在Rt△AME中，．∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为．法二（向量法）：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（a，0，0），，C（a，a，0），D（0，2a，0），，=（0，），=（﹣a，a，0）．设AE与CD所成角为θ，则cosθ==，∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为．解：