2021-2022学年广西壮族自治区柳州市博文高级中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年广西壮族自治区柳州市博文高级中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知曲线在点(1,1)处的切线与直线垂直，则a的值是（

）A．－1

B．1

C． D．参考答案：C2.已知命题p：?x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：?x∈R，ex＞1，则(

) A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∧（?q）是假命题 D．命题p∨（?q）是真命题参考答案：D考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：利用函数的性质先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．解答： 解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题；对于命题q：?x∈R，ex＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；∴命题p∨￢q是真命题．故选：D．点评：本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，属于基础题．3.在数列{an}中，a1=1，a2=，若{}等差数列，则数列{an}的第10项为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知结合等差数列的定义可得等差数列的公差，代入通项公式后化简可得an，则答案可求．【解答】解：∵a1=1，a2=，且{}等差数列，则等差数列{}的首项为1，公差为，∴，则．∴．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．4.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（

）A. B. C.

D.参考答案：B略5.已知椭圆的标准方程为，为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（

）A． B． C． D．参考答案：B设P，则，，，，，则，因为，所以，所以，所以，所以．故选B．6.已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】构造函数，利用导数判断函数在上的单调性，可得出与的大小关系，经过化简可得出正确选项.【详解】构造函数，则，当时，.所以，函数在上单调递增，，，即，即，故选：A.【点睛】本题考查函数单调性的应用，根据导数不等式的结构构造新函数求解是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数图象下方的点构成的区域。向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，是真命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：根据面面垂直的判定定理，可判断①；根据平面与平面平行的判定定理，可判断②；根据空间直线夹角的定义，可判断③；根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断④．解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即③正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确．故真命题有①③④三个．故选：C．点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．9.等差数列{an}，a1，a2025是的极值点，则=(

)A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】求出原函数的导函数，利用等差数列的性质求得a1013，代入，由对数的运算性质得答案．【解答】解：由，得f′（x）=x2﹣8x+6，由f′（x）=x2﹣8x+6=0，且a1，a2025是的极值点，得a1+a2025=2a1013=8，∴a1013=4，则=log24=2．故选：A．【点评】本题考查导数运算，考查了等差数列的通项公式，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．10.函数f（x）=的图象大致为（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=的定义域为：x≠0，x∈R，当x＞0时，函数f′（x）=，可得函数的极值点为：x=1，当x∈（0，1）时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f（x）＞0，选项B、D满足题意．当x＜0时，函数f（x）=＜0，选项D不正确，选项B正确．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=ax2+bx，若f（a）=8，则f（﹣a）=

．参考答案：8﹣2ab

【考点】函数的值．【分析】由已知得f（a）=a3+ab=8，从而a3=8﹣ab，由此能求出f（﹣a）．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx，f（a）=8，∴f（a）=a3+ab=8，∴a3=8﹣ab，∴f（﹣a）=a3﹣ab=8﹣2ab．故答案为：8﹣2ab．12.若，则实数的取值范围是

。参考答案：13.已知点P(x0,y0)在椭圆C：(a>b>0)上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L：，若Q(u，v)是椭圆L外一点(其中u，v为定值)，经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是

▲

．参考答案：14.已知正项数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，对任意正整数m，n，当时，总成立，若正整数p，q满足，则的最小值为 .

参考答案：由题意，，则，，则，同理可知，，，所以，，，所以最小为。

15.已知函数f（x）=ex+x3，若f（x2）＜f（3x﹣2），则实数x的取值范围是．参考答案：（1，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，判断单调性，转化不等式求解即可．【解答】解：因为函数f（x）=ex+x3，可得f′（x）=ex+3x2＞0，所以函数f（x）为增函数，所以不等式f（x2）＜f（3x﹣2），等价于x2＜3x﹣2，解得1＜x＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的导数的应用，不等式的求法，考查转化思想以及计算能力．16.已知抛物线的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点，其中，使过点M的切线，则切线l在y轴的截距为_____．参考答案：-1【分析】根据与切线垂直列方程求出点坐标，从而得出切线的方程，得出截距．【详解】由题意可得：，由可得，∴直线的斜率为，直线的斜率为．∵切线，∴．结合．解得，不妨设，则直线的方程为，即．∴直线在轴的截距为﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了抛物线的性质，切线的求解，直线位置关系的判断，属于中档题．17.已知命题.若命题p是假命题，则实数的取值范围是

.参考答案：因为命题为假命题，所以。当时，，所以不成立。当时，要使不等式恒成立，则有，即，所以，所以，即实数的取值范围是。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知周期为4的函数。（1）试确定方程的实数解的个数；（2）求在上的解析式。参考答案：略19.如图，和是平面上的两点，动点满足：(1)求点的轨迹方程；(2)若,且为第一象限点，求点的坐标.参考答案：由方程组

解得

略20.（15分）（2015?浙江模拟）已知函数f（x）=x2+4|x﹣a|（x∈R）．（Ⅰ）存在实数x1、x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）=f（x2）成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）对任意的x1、x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k成立，求实数k的最小值．参考答案：【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）化简函数的解析式，由题意可得函数f（x）在[﹣1，1]上不单调，利用二次函数的性质求得a的范围．（Ⅱ）分类讨论求得函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值M（a）和最小值为m（a），求得M（a）﹣m（a），结合题意可得k≥M（a）﹣m（a），从而得到k的范围．解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+4|x﹣a|=，由题意可得函数f（x）在[﹣1，1]上不单调，当a≥1时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，不满足条件．当a≤时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，不满足条件．∴﹣1＜a＜1，此时，函数f（x）在[﹣1，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增，（Ⅱ）∵对任意的x1、x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k成立，设函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），最小值为m（a），当a≥1时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，M（a）=f（﹣1）=4a+5，m（a）=f（1）=4a﹣3．当a≤时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，M（a）=f（1）=5﹣4a，m（a）=f（﹣1）=﹣4a﹣3．∴﹣1＜a＜1，函数f（x）在[﹣1，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增，m（a）=f（a）=a2，M（a）=max{f（1），f（﹣1）}={5﹣4a，5+4a}．即当0＜a＜1时，M（a）=5+4a，当﹣1＜a＜0时，M（a）=5﹣4a．综上可得，M（a）﹣m（a）=，由对任意的x1、x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，可得k≥M（a）﹣m（a），故当a≥1或a≤﹣1时，k≥8；当0≤a＜1时，k≥﹣a2+4a+5=9﹣（a﹣2）2，由9﹣（a﹣2）2∈[5，8），可得k≥8；当﹣1＜a≤0时，k≥﹣a2﹣4a+5=9﹣（a+2）2，由9﹣（a+2）2∈[5，8），可得k≥8．综合可得，k≥8．【点评】：