2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之将军饮马模型解读与提分训练（解析版）

专题31最值模型之将军饮马模型

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顽《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系

列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥

或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边

形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

目录导航］

例题讲模型］

............................................................................1

模型L将军饮马模型（双线段和的最小值）....................................................1

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）...................................................6

模型3.将军饮马模型（多线段和的最值）......................................................9

习题练模型

...........................................................................15

例题讲模型1

模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）

模型解读

条件：A,5为定点，机为定直线，P为直线机上的一个动点，求AP+5P的最小值。

模型（D点4、3在直线机两侧：模型（2）点A、5在直线同侧：

A

A*

•-------------------------•m

B

B■m

模型证明

模型(1)点A、3在直线机两侧:模型(2)点A、3在直线同侧:

图⑴图(2)

模型(1)：如图(1),连结A8,根据两点之间线段最短，AP+8P的最小值即为：线段A8的长度。

模型(2)：如图(2),作点A关于定直线他的对称点连结/'反根据两点之间线段最短，AP+BP的最小

值即为：线段/‘2的长度。

模型运用

例1.(2024・陕西西安•一模)如图，在四边形ABCD中，=BC=4,AD=8,AG=2,ZABC=90°,

E是边CD上的一动点，歹为AE的中点，则AF+G尸的最小值为.

【答案】275

【分析】本题考查轴对称中最短路线问题，正方形的判定，勾股定理，灵活运用将军饮马模型是解题的关

键.取AD的中点》连接CH,CG,CF,证明出产点就是与AE的交点，四边形3CHD是平行

四边形，四边形ABC"是正方形，利用将军饮马模型得到CG是AF+G尸的最小值，再在RtaCG”中，利

用勾股定理求出CG即可.

【详解】取AO的中点”连接3",

VBC=4,AD=8,:.AH=HD=BC=4,

•••AD//BC,.•.四边形3。。〃是平行四边形，，9〃8,且点H为AD的中点,

APAf4I

••・受===：,与AE的交点就是AE的中点E连接CH,

AEAD2

VAD//BC,M=8C,.,.四边形A5C”是平行四边形，

AB=BC=4,/4及7=90。，四边形4867/是正方形，，4,C关于BH对称，

连接CF,CG,则AB=CF,AAF+GF=CF+GF>CG,即Ab+G尸的最小值为CG的长，

在Rt"G〃中，CH=AB=4,GH=AH-AG=3-2=2,

由勾股定理，得CGNCH，+GH?=44s+2==26，故答案为：2卮

例2.（2024.四川广安・中考真题）如图，在YABCD中，AB=4,AD=5,NABC=30。，点”为直线BC上

一动点，则M4+MO的最小值为.

【答案】V41

【分析】如图，作A关于直线BC的对称点A,连接AO交BC于”，则=AH_L3C,AM'=AM',

当M,AT重合时，M4+MO最小，最小值为AO,再进一步结合勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，作A关于直线3c的对称点A,连接AO交8c于M',则AH=A",AHLBC,

=.•.当重合时，M4+MD最小，最小值为AO,

A'

,：AB=4,ZABC=30。，在YABCD中，?.AH=^AB=2,AD//BC,：.AA^2AH=4,AAVAD,

VAD=5,：.AD={4。+52，故答案为：V41

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌

握各知识点是解题的关键.

例3.（2024・广东•二模）如图，菱形ABCD的一条对角线AC=46，/ZMB=60。，P是对角线AC上的一

个动点，E,尸分别为边D4,DC的中点，则尸E+尸尸的最小值是（）

DFC

Ei

AB

A.2B.2A/3C.4D.473

【答案】C

【分析】作点E关于直线AC的对称点G,连接PG,根据轴对称的性质可知PE+PF=Pb+PG,证明四

边形AGED为平行四边形，PE+Pb=PG=A£＞为最小值，再求出菱形ABCD的边AD,即为PE+PR的最

小值.

•.•菱形A6CD,AB//CD,AB=CD=AD,KA=KC=2出,AC1BD,

'：ZDAB=60°/.ZZMC=30°,：.AD=2DK,

AD2-DK2=12»DK=2,AD=4,

作点E关于直线AC的对称点G,连接PG,APE+PF=PF+PG,

:点E为边/⑦上的中点，则点G也为边A3的中点，

当点尸、G、尸在一条直线上时，PE+尸产有最小值，

连接尸G交AC于P,.•.当尸,尸'重合时，PE+PF=FG为最小值,

•.•尸,8为。＜7,筋的中点，；.£＞尸=46,...四边形46即为平行四边形，

FG=AD^4,...PE+尸尸的最小值是4,故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，

学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键.

例4.（2024.河南洛阳•模拟预测）如图，在扇形BOC中，ZBOC=60°,OD平分/30C交8c于点。，点E

为半径03上一动点.若阴影部分周长的最小值为2&+3,则扇形的半径08的长为.

c

【分析】本题主要考查扇形周长的计算，轴对称最短路径的计算方法，掌握扇形弧长的计算方法，轴对称

求最短路径的方法是解题的关键.根据题意可求出NCOD=/3OD=30。，作点。关于OB的对称点可

得CD最小，则扇形周长最小，由此即可求解.

【详解】解：：平分NBOC,NBOC=60°,：.Z.COD=Z.DOB=30°,

设扇形的半径OC=N=r,，力)的长为：黑、2万厂=詈，阴影部分的周长最小为2垃+(,

如图所示，作点。关于08的对称点。'，连接CD与05交于点E,此时，CE+E»=CE+ED'=CD'的值

最小，即阴影部分的周长最小，

・•・NCOD=ZCOB+ZBODr=90°,CD'=瓜,

即2+夜r=20+g,解得，r=2,故答案为：2.

o3

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）

模型解读

条件：A,B为定点,胆为定直线，尸为直线/上的一个动点，求HP-BPI的最大值。

模型（1）：点4、3在直线机同侧:模型（2）：点A、3在直线m异侧:

A

图⑴图（2）

模型（1）：如图（1）,延长A2交直线根于点P,当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：\P-A-P'B\

<AB,当A、B、P共线时，^\PA-PB\=AB,ik\PA-PB\<AB,即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。

模型（2）：如图（2）,作点8作关于直线相的对称点夕，连接交直线加于点尸，此时尸2=尸歹。

当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：IP,A-P,B\=IP,A-P,B,[<AB,,

当A、B、P共线时,^\PA-PB\=\PA-PB,\=AB,,^\PA-PB^AB）,即|AP-8尸|的最大值即为：线段/夕的长度。

模型运用

例1.（2024•河南南阳•一模）如图，已知AABC为等腰直角三角形，AC=BC=6,ZBCD=15°,P为直线

CO上的动点，贝U|B4一尸2|的最大值为.

【答案】6

【分析】作A关于CD的对称点4,连接A'B交CD于P,则点尸就是使|以孑8|的值最大的点，|以-P8|=4B,

连接4C,根据等腰直角三角形的性质得到NCAB=NABC=45。，NACB=90。，根据角的和差关系得到/

ACD=75°,根据轴对称的性质得到4C=AC=BC,ZCA'A=ZCAA'=15°,推出△48C是等边三角形，根据等

边三角形的性质即可得到结论.

【详解】如图，作A关于C£＞的对称点4,连接并延长交CD延长线于点尸，则点尸就是使|PA-尸身的

值最大的点，=连接A'C,

：AASC为等腰直角三角形，AC=BC=6,：.ZCAB=ZABC^45°,ZACB=90°,

:ZBCD=15°,：,ZACD=15°,:点A与A关于CO对称，

CD±AA',AC=AC,ZCA,A=ZCAA,：.ZCAA'^15°,

•：AC=BC,：.A'C=BC,ZCArA=ZCAA'=15°,：.ZACA'=150°,

,：ZACB=90°,：.ZA/CB=60°,△ABC是等边三角形，：.AB=BC=6.故答案为：6

【点睛】此题主要考查轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的

作出图形是解题的关键.

例2.（2024•陕西渭南二模）如图，在菱形ABC。中，E为边中点，而点尸在。C边上，P为对角线AC

所在直线上一动点，己知AB=8,DF=2,且NABC=60。，则|尸尸-正目的最大值为.

【答案】26

【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理.取AO的中点G,连接PG,易得PG=PE,

故|PP-PE|=|尸尸一PG|V厂G,即当凡G,P共线时，|尸尸—尸耳=而最大，作/WAD于先后求出

HD,HF,GH,最后用勾股定理求FG即可.

【详解】解：如图，取AD的中点G,连接PG,••,四边形ABCD是菱形.•.nG=HE,NG4P=N&LP

AG=AE

在AAPG和YAPE中J/GAP=ZEAPyAPG'APE®^：,PG=PE

AP=AP

连接尸G\PF-PE\=\PF-PG\<FG当户,G,尸共线时，|P户一阳=/G最大，图中P，处

1.______

作尸”_LAD于H•：ND=NB=3：.ZDFH=3。。:.HD=aDF=l：.阳==也

1

•••GO=540=4皿=4—1=3...先=^GH-+FH-=243-即归/一「目的最大值为.

例3.（23-24八年级下.山东聊城.期中）如图，在正方形ABCD中，AB=8,AC与交于点。，N是A0

的中点，点M在3c边上，且3M=6.P为对角线3。上一点，则PM-PN的最大值为.

【答案】2

【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题

等,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.以8D为对称轴作N的对称点N',连接PN',根据对称

性质可知，PN=PN',由此可得R0-PN'4MV,当三点共线时，取“=”，此时即尸河-PN的值

最大，由正方形的性质求出AC的长，继而可得ON'=ON=20，AN'=6应，再证明需=霁=g，可

得NM〃AB,ZCMN'=900,判断出△N'CM为等腰直角三角形，求得N'M长即可得答案.

【详解】解：如图，以8。为对称轴作N的对称点N',连接PN',

AD

z

M

根据轴对称性质可知，PN^PN',：.PM-PN'<MN',当尸,三点共线时，取“=”，

•.•在正方形ABC。中，AB=BC=CD=AD=8,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAC=90°,

AC=6AB=8亚,:。为AC中点，AO=OC=4应，

为04中点，：.0N=2也,，ON，=ON=20,:.AN=60,

CMCN'1

BM=6>/.CM=AB—BM=8—6=2,-----=------=—,

BMAN'3

Z.N'M//AB,/.ZCMN'=ZCBA=90°,ZMCN'=45°,

.•.△从。0为等腰直角三角形，；.。0=y必=2,故答案为：2.

模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）

模型解读

模型（1）：两定点+两动点

条件：A,B为定点,在直线机、”上分别找两点尸、Q,使RL+P0+Q5最小。

两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）

模型（2）：一定点+两动点

条件：如图2,A为定点，在直线机、〃上分别找两点P、Q,使三角形APQ的周长（AP+PQ+Q4）最小。

模型证明

图1-1图1-1图1-1图2

模型（1-1）（两点都在直线外侧型）

如图（1-1）,连结AB,根据两点之间线段最短，9+PQ+08的最小值即为：线段A8的长度。

模型（1-2）（直线内外侧各一点型）

如图（1-2）,作点B关于定直线n的对称点B，，连结AB，，根据对称得到:QB=QB',故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB）,

根据两点之间线段最短，出+尸。+。8的最小值即为：线段N夕的长度。

模型（1-3）（两点都在直线内侧型）

如图（1-3）,作点B关于定直线〃的对称点2作点A关于定直线相的对称点连结/3',

根据对称得至lj：QB=QB',PA=PA',PA+PQ+QB^PA'+PQ+QB）,

根据两点之间线段最短，B4+PQ+QB的最小值即为：线段/'夕的长度。

模型（2）：如图（2）,作点A分别关于定直线”、〃的对称点连结/'民

根据对称得至lj：QA=QA）,PA=PA",故故E4+PQ+QA=B4"+PQ+QA，，

再利用“两点之间线段最短”，得到出+PQ+QA的最小值即为：线段N'A”的长度。

模型运用

例1.（2023・四川广元•一模）如图，已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且座=1,点尸，。分别

是边8C,8的动点（均不与顶点重合），当四边形4EPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（）

【答案】B

【分析】作E关于BC的对称点点A关于。C的对称点A,连接四边形AEP。的周长最小，根

据S四边形4EFQ=S正方形ABCD-^/\ADQ~54PCQ~^^BEP，即可解.

【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点V，点A关于。C的对称点A,连接HE',四边形AEPQ

的周长最小,

AD=AD=3,BE=BE=1,：.AA,=6,AE'=4.

VDQ//AE',。是AA的中点，二。。是△AA®的中位线,

/.DQ=^AE'=2,CQ=DC-CQ=3-2=1,VBP//AA,Z\BE'P^^AE'A,

.BP_如,即以，333

BP=~,CP=BC-BP=3——=-,

"AA'AE'64222

S四边形AH3。=S正方形ABCO--S^PCQ~S^BEP=9_5AD-DQ——CQ-CP--BE-BP

113139

=9——x3x2——xlx------xlx-=-,故选：B.

222222

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角

形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形AEPQ的周长最小时，P、。的位置.

例2.（2022•山东泰安・中考真题）如图，ZAO8=30。，点M、N分别在边。4、QB上，且0M=3,ON=5,

点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（

C.>/34-2D.735-2

【答案】A

【分析】作M关于OB的对称点AT,作N关于的对称点N,连接MN,即为MP+PQ+QN的最小值;

证出△OMV为等边三角形，AOMM为等边三角形，得出NMOM，=90。，由勾股定理求出MW即可.

【详解】解：作M关于08的对称点作N关于0A的对称点V,如图所示：

连接MN,即为MP+PQ+QN的最小值.

根据轴对称的定义可知：ON'=ON=5,OM'^OM^3,/N'OQ=NM，OB=3Q。,

：.ZNON'=60°,ZMOM,=60°,△OMV为等边三角形，AOW为等边三角形,

22

/.ZN'OM'=90°,...在RtAM'OV中，M'N'=^+5=734-故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题

的关键.

例3.（23-24九年级上•陕西汉中•期中）（1）如图①，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4.若点尸

是边AC上一点.则3P的最小值为.（2）如图②，在RtAABC中，2B90?,AB=3C=2,点E是

BC的中点.若点P是边AC上一点，求PB+PE的最小值.（3）公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如

图③.若AD=2000米，CD=1000米，ZA=60°,ZB=90°,ZC=150°.为满足市民健身需求，现要修一

条由CE,EF,FC连接而成的步行景观道，其中点E,尸分别在边A2,AO上.为了节省成本，要使所修

的这条步行景观道最短，即CE+EF+/C的值最小，求此时BE,的长.（路面宽度忽略不计）

图①图②图③

19

【答案】（1）y;（2）P3+PE的最小值为出；（3）3E的长为500米，。厂的长为1000米

【分析】（1）过8作瓦于P,由垂线段最短可知，BPLAC时，3P的值最小，由面积法即可求解;

（2）作E关于直线AC的对称点后，连接CE',EE',PE',BE1交AC于P,由E,£关于直线AC对称，

可知PB+PE=PB+PE'2BE',当B,P,F共线时，此时尸3+PE最小，最小值为BE'的长度，根据

ZB=90°,AB=BC=2,点E是BC的中点，可得CE=CE'=1,ZBCE'=90°,再用勾股定理可得答案；

(3)作C关于AD的对称点连接DM,CM,交A3于X,作C关于A3的对称点N,连接2N,

延长DC,AB交于G,连接NG,连接MN交AB于E,交AT＞于凡由C,N关于A3对称，C,M关于AD

对称，CE=NE,CF=MF,当N,E,F,M共线，CE+EF+CF最小，根据NA=60。，ZABC=90°,

ZBCD=150°,可得NADC=60。，ZMCD=ZCMD=30°,即得D"=500米，CH=MH=500出米,

CM=10006米，由NADC=60。，ZA=60°,知△ADG是等边三角形，从而CG=DG-CD=1000米，同

理可得CG=NG=1000米，ZBNG=ZBCG=30°,即得BG=gcG=500米，BC=BN=6BG=5006米,

BN

故CN=1000百米=CM,知2CNM=NCMN=30P,在RtABNE中,8石=耳=500米，在RsMWV中,

FH=MH

=500米,即得。尸=FH+D〃=1000米.

【详解】解：(1)过8作成，AC于尸，如图:

由垂线段最短可知，BP_LAC时，*.*ZABC=90°»AB=3,AC=y/AB2+BC2=5,

•：S^c=^ABBC=^ACBP,;.BP=^=^;故答案为：y；

(2)作E关于直线AC的对称点EL连接CE',EE',PE',BE'交AC于P,如图：

V£,£关于直线AC对称，:.PE=PE,：.PB+PE=PB+PE'>BE',

当8,P,E'共线时，PB+PE最小,最小值为BE'的长度，

VZS=90°,AB=BC=2,：.ZACB=45°,:点E是BC的中点，:.CE=1,

,:E,£关于直线AC对称，AZACE'=ZACB=45°,CE=CE'=1,：.ZBCE'=90°,

在RtABCE'中，=&，,RB+PE的最小值为近；

(3)作C关于AD的对称点连接DM,CM,CM交AD于H,作C关于AB的对称点N,连接3N,延

长DC,A3交于G,连接NG,连接MN交A3于E,交AD于E,如图：

,:由C,N关于A3对称，C,Af关于AD对称，

/.CE=NE,CF=MF,：.CE+EF+CF=NE+EF+MF>MN,

当N,E,F,M共线时，此时CE+EF+CF最小；

ZA=60°,NB=90°,ZC=150°,ZADC=60°,

VC,M关于AD对称，/.ZMDH=ZCDH=60°,NCHD=ZMHD=90。,

：.ZMCD=ZCMD^30°,：.DH=1cD=500*,由勾股定理得O”=SOOS'米，CM=2C〃=1000/米,

VZADC=60°,ZA=60°,二ZVIDG是等边三角形，；.06=40=2000米，CG=DG—CD=1000米，

：/BCD=150。，：.ZBCG=30°,VC,N关于AB对称，：.C,B,N共线,ZBNG=ZBCG=30。,

：.BG=（CG=5OO米，由勾股定理得BC=6BG=500A米，，CN=1000百米=CM,ZCNM=Z.CMN,

VZBCD=150°,ZMCD=3Q°,：.ZNCM=UQ°,：.ZCNM=ZCMN=30°,

在RMBNE中，跖=军=5°呼=500（米），在RtA"?"中，"=翠=雪亘=500（米），

V3V3V3V3

OB=EF/+=500+500=1000（米），答：BE的长为500米，。尸的长为1000米.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和

性质，轴对称的性质等，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题.

习题练模型］

1.（2024・河南周口•一模）如图，正方形ABCD中，点N分别为AB,3c上的动点，S.AM=BN,DM,

AN交于点、E,点、F为AB的中点，点P为BC上一个动点，连接PE,PF.若AB=4,则PE+尸尸的

最小值为（）

9

A.710-1B.2屈-2C.5D.-

【答案】B

【分析】先根据SAS得△ZMA/gAABN,进而可得ZAED=90,由此可得E点的运动轨迹在是以AD为直径

的圆上.延长AB至F使BF=BF，得少与B关于直线3C对称.连接。尸交于尸点，交圆。于E点，

则PE+PF=PE+PP=O尸'—OE,止匕时尸E+尸尸的值最小，根据勾股定理求出。尸的长，即可得尸E+PF的

最小值.

【详解】；ABCD是正方形，.\/14=£>8,ZDAM=ZABN=90°,

5L-：AM=BN,.-.△OAM^AABMSAS）,ZADM=ZBAN,

又•：NDAE+/BAN=90°,ZDAE+ZADM=90°,..ZAED=90°,

：.E点在以AD为直径的圆上运动.设AD的中点为O,则R=2,

延长AB至P使3尸=3尸，则F与尸关于直线BC对称，

连接OF交8C于P点，交圆。于E点，则尸尸=尸尸，PE+PF=PE+PF'=OF'-OE,

此时尸、E、/三点共线，因此PE+PF的值最小.在RtKMF'中，CM=2,AF=4+2=6,

OF'=y/22+62=2710'OF'-OE=2y/10-2,尸石+尸尸的最小值为2屈-2，故选：B.

【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、

直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质.找出E点的运动轨迹是解题的关键.

2.（2024•山东泰安•二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=5,点E是AQ边的点，ED=3,点F是

线段CO上一点，连接所，以昉为直角边作等腰直角AEFG,FG为斜边，连接AG,则AG+EG的最小

值为（）

A.6B.2A/10C.—D.3A/5

【答案】B

【分析】过点G作G"，AD于氏则可证明VEDFASHE，得GH=OE=3；取A3中点0,则A。=^-AB=3,

2

则点G在直线0G上运动，连接BG,则3G=AG,AG+EG=BG+EG,当E、G、3三点共线时3G+EG

最小，从而AG+EG最小，由勾股定理即可求得最小值.

【详解】解：如图，过点G作GHLAD于H,则NGHE=90°NGEH+/EGH=90°；

四边形A3CD是矩形，.•.NO=NDW=90°,•.•NFEG=90°,跖+/GEW=90。，.•.NDEF'=NEGH；

•:EF=EG,.NEDF^VGHE（AAS）,:.GH=DE=3；

取AB中点。，连接GO,则AO=』A2=3,.•.G"=AO=3,.•.四边形AHGO是平行四边形，

2

•・•卬3=90。，.,.四边形A//GO是矩形，，GO_LAB,则点G在直线0G上运动；

连接BG,则GO垂直平分A3,:.BG^AG,AG+EG=BG+EG,

当E、G、3三点共线时BG+EG最小，从而AG+EG最小，

QAE=AD—DE=2,则由勾股定理==675^=2瓦，即AG+EG的最小值为2M.

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，

确定点G运动的路径是解题的关键.

3.（2022.内蒙古赤峰.统考中考真题）如图，菱形A3CD,点A、B、C、。均在坐标轴上，ZABC=120°,

点A（-3,0）,点E是CO的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）

A.3B.5C.2五D.173

【答案】A

【分析】直线AC上的动点尸到£、。两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由。关于直线AC的对称点

B,连接BE,则线段BE的长即是PD+PE的最小值.

【详解】如图：连接2E,：菱形ABC。，二夙。关于直线AC对称，

•..直线AC上的动点尸到E、。两定点距离之和最小

根据“将军饮马”模型可知2E长度即是PD+PE的最小值.，

•.,菱形ABC。，ZABC=120°,点4（一3,0）,；.NCD8=60°,ZDAO=30°,OA=3,

OD=拒,AD=DC=CB=：.△CDB是等边三角形；.BD=2若

:点E是以»的中点，DE=gcD=^，且8ELCDBE7BD2-DE。=3故选:A.

【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长.

4.（2023•辽宁盘锦・统考中考真题）如图，四边形ABCO是矩形，AB=&6,AD=4后，点尸是边AD上

一点（不与点4。重合），连接PB,PC.点、M,N分别是PB,PC的中点，连接MN,AM,DN,点E

在边AD上，ME//DN,则AAf+ME的最小值是（）

A.273B.3C.3&D.40

【答案】C

【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得AMDN：CP,通过证明四边形肱VDE是平行四

22

边形，可得=则AM+ME=AM+r）N=；（3P+CP）,作点C关于直线AD的对称点贝U

BP+CP=BP+PM,点、B,P,M三点共线时，BP+PM的值最小，最小值为8M.

【详解】解：,•・四边形ABCD是矩形，:/54P=NCDP=90。，AD//BC,

•点M,N分别是PBPC的中点，AAM=-BP,DN=、CP,MN=-BC,MN//BC,

222

•••AD//BC,MN//BC,：.MN//BC,又：ME〃DN,.,.四边形MVDE是平行四边形，

:.ME=DN,AM+ME=AM+DN=^（BP+CP）,

如图，作点C关于直线AD的对称点连接尸Af,BM,贝IJ3尸+0?=3尸+P/W,

当点、B,P,M三点共线时，5P+PH的值最小，最小值为

在RL^BCM中，MC=2CD=2AB=2M,BC=AD=40,

BM=VBC2+MC2=J（4@2+（2>/10）2=6A/2,

AM+ME1的最小值=』2M=3亚故选C.

2

【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质,

轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思

想.

5.（2023・安徽•统考中考真题）如图，E是线段上一点，VADE和ABCE■是位于直线同侧的两个等边

三角形，点P/分别是CRAB的中点.若AB=4,则下列结论埼误的是（）

A.24+PB的最小值为3#B.PE+PR的最小值为2方

C.ACDE周长的最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为3后

【答案】A

【分析】延长AD,2C,贝豚回。是等边三角形,观察选项都是求最小时，进而得出当E点与b重合时，则

Q，P,P三点共线，各项都取得最小值，得出B,C,D选项正确，即可求解.

【详解】解：如图所示，延长A2BC,依题意/。4。=/。氐4=60。.。4?。是等边三角形,

•.•尸是8的中点，/.PD=PC,'：ZDEA=ZCBA,：.ED//CQ

：.APQC=APED,NPCQ=ZPDE,：.APDE咨&PCQ：.PQ=PE,

二四边形OEC。是平行四边形，则尸为E。的中点，如图所示，

设AQ,BQ的中点分别为G,H,则GP=工AE,PH=工EB

22

...当E点在上运动时，尸在G”上运动，当E点与尸重合时，即AE=£B,

则。，尸，尸三点共线，PP取得最小值，止匕时AE=EB=g（AE+E8）=2,

则△ADE四△ECB,C,少到AB的距离相等，则CD〃AB,

此时pp=@AD=后此时VM>E和ABCE的边长都为2,则最小，

2

APF=y-x2=73,APA=PB=^2l+(^=用：•PA+PB=2币,

或者如图所示，作点3关于G”对称点E,则=则当AP,8'三点共线时，AP+PB=AB'

根据题意可得尸，。，尸三点共线时，尸尸最小，此时尸石=尸尸=百，则PE+Pb=2g,故B选项正确;

^CDE^^CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4,即当8最小时，ACDE周长最小,

如图所示，作平行四边形连接CM,

ZGHQ=60°,NGHM=ZGDM=60°,则ZCHM=120°

如图，延长DE,龙，交于点N,则NNGO=/QGH=60。，ZNDG=ZADE=60。

：.△NGD是等边三角形，/.ND=GD=HM,

'NNPD=ZHPC

在ANPD与AHPC中，<NN=ZCHP=60°：.^NPgJlPC

PD=PC

：.ND=CH：.CH=MH：.NHCM=ZHMC=30°

CM//QF,则CM，DM,.••△DMC是直角三角形，

QQ

在ADaw中，DC>DM.•.当DC=DM时，0c最短，DC=GH=-AB^2

2

,：CD=PC+2PC：.ACDE周长的最小值为2+2+2=6,故C选项正确；

,•*^NPD=^HPC四边形ABCD面积等于^^ADE+S4EBC+SQEC=^DE+S平行四迦花8”

...当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，3G重合，C,"重合

四边形ABCD面积的最小值为3x，x22=3g，故D选项正确，故选：A.

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E

点与F重合时得出最小值是解题的关键.

6.（2023•广东广州•统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上,且5E=1,尸为对角

线上一动点，连接C尸，EF,则b+跖的最小值为.

【答案】V17

【分析】连接AE交3D于一点尸，连接CF,根据正方形的对称性得到此时CF+跖=AE最小，利用勾股

定理求出AE即可.

【详解】解：如图，连接AE交8D于一点R连接CP,

••,四边形A3CD是正方形，.•.点A与点C关于3D对称，=

CF+EF=AF+EF=AE,此时CT+EP最小，

•••正方形ABC。的边长为4,AD=4,ZABC=90。，•.•点E在AB上，且8E=1,

•—松+左=肝方=屈,即CF+EF的最小值为J万故答案为：717.

【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键.

7.（2024•陕西宝鸡•二模）如图，点。是矩形ABCD的对称中心，点尸，。分别在边AO,BC上,且尸。经

过点。，AB=6,AP=3,3C=8,点E是边A3上一动点.贝心口。周长的最小值为.

【答案】10+2^/2710+10

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算；作尸关于A3的对称点P，连接PQ,

交AB于E,连接尸E,则PE+QE的最小值为尸。，证明出△砂。周长的最小值为PQ+PQ,作P'P_LBC

于尸，PHLBC于H,利用勾股定理求出P'Q和尸。即可.

【详解】解：如图，作尸关于的对称点P,连接PQ,交AB于E,连接PE,

=+的最小值为尸。，周长的最小值为尸'。+尸。,

作PFLBC于F,PH_LBC于H,-.-AP=3,:.PA=3=FB,

,・,点。是矩形ABCD的对称中心，PQ经过点0,AP=CQ=3

VBC=8,-BQ=5,:.FQ=8,-.•P'F=AB=6,P'Q^IO,

-.-PH=AB=6,HQ=5-3=2,；.PQ=2M，.1AEP。周长的最小值为10+2&U.

8.（2024・陕西渭南・二模）如图，在四边形ACBD中，ZBAC=ZBAD=60°,ZACB=ZADB=90°,BC=6,

连接CO、A2交于点。，点E为AB上一动点，连接CE,点尸为CE的中点，连接OP、DP,则。P+D尸的

最小值为.

【答案】6

【分析】本题考查全等三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称最短路径问题，找到对称点转化线段是

解题关键.

过点尸作AB的平行线分别交AC、BC于点M、N,由点E为A3上一动点，点P为线段CE的中点可得到

点尸在线段上运动，MN为AABC的中位线，求证人钻。四△4BD,用等腰三角形“三线合一”证明

AB±CD,所以MN_LCO,即点C与点。关于MN对称，所以OP+OP=£>P+CP2CD,同时证明△3CD

是等边三角形，CD=BC=6,即OP+DP的最小值为6.

【详解】解：过点尸作A£V〃AB分别交AC、BC于点〃、N,

:点E为A2上一动点，点P为线段CE的中点.•.点P在线段MN上运动，且为URC的中位线，

ZACB=ZADB

,/在AABC和AABD中，NBAC=NBAD=60°,；.^ABC^ABD(AAS),

AB=AB

：.BC=BD,ZABC=ZABD=90°-60°=30°,ABLCD,NCBD=60°,

：.MNLCD,△BCD是等边三角形，.•.点C与点0关于肋V对称，Z.DP+OP=DP+CP>CD,

XVCD=BC=6：.OP+DP的最小值为6.

9.(2024.陕西商洛.三模)如图，点。为正方形ABCD的对称中心，点E为AD边上的动点，连接OE,作

OFLOE交CD于点、F,连接呼，P为历的中点，G为边CD上一点，且CD=4CG=8,连接上4,PG,

则PA+PG的最小值为.

【答案】2月

【分析】如图，连接。4,OD,由题意知，ZOAE=ZODF=45°,ZAOD=90°,OA=OD,由

ZAOE=ZAOD—NDOE,/DOF=/EOF-/DOE得,/AOE=/DOF,证明AAOE丝AOO尸(ASA),则

OE=OF,AEOP是等腰直角三角形，由尸是石尸中点，则OPLEF,NO尸尸=90。，NPFO=45。=NPOF,

如图，过。作OM_LAD于M,过。作QV_LCD于N,由NOPF+NON尸=180。，可知。P,F,N四点

共圆，由尸尸=2尸，可得ZPNF=ZPOF=45。,进而可得尸在线段MV上运动，如图，延长跖V,作点A关

于MN对称的点4,过A作A'HLCD于连接A'G交"N于P，连接AP’,由题意知=4"=g=4,

AP=AP，且A'P'+P'G=AA+P'G,可知当4,P,G三点共线时，AP'+P'G值最小，在RMA,GH中，

由勾股定理得，AG^SJAH2+HG2-计算求解A'G的值即可.

【详解】解：如图，连接。4,