2021-2022学年广东省汕头市田心中学高三数学理月考试卷含解析

2021-2022学年广东省汕头市田心中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上不同的两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则△OAB面积的最小值为(

)A．p2 B．2p2 C．4p2 D．6p2参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设直线的方程为斜截式（有斜率时），代入抛物线，利用OA⊥OB找到k，b的关系，然后利用弦长公式将面积最后表示成k的函数，然后求其最值即可．最后求出没斜率时的直线进行比较得最终结果．【解答】解：当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+b．由消去y得k2x2+（2kb﹣2p）x+b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得△=（2kb﹣2p）2﹣4k2b2＞0，即kb＜．，所以=．所以由OA⊥OB得所以b=﹣2pk，①代入直线方程得y=kx﹣2pk=k（x﹣2p），所以直线l过定点（2p，0）．再设直线l方程为x=my+2p，代入y2=2px得y2﹣2pmy﹣4p2=0，所以y1+y2=2pm，y1y2=﹣4p2，所以==，所以S=，所以当m=0时，S的最小值为4p2．故选C【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系中的弦长问题中的最值问题，一般先结合韦达定理将要求最值的量表示出来，然后利用函数思想或基本不等式求最值即可．2.已知函数

则的值域为A.

B.

C.

D.参考答案：A3.在平行四边形ABCD中，等于---------------------（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C4.已知集合，，全集，则图中阴影部分表示的集合为

（

）

A.

B.C.

D.

参考答案：C略5.设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数(

) A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b C．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b D．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b参考答案：A考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．解答： 解：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，则必有ea≤eb，故必有2a≥3b，即有a≥b这与a≤b矛盾，故a≤b成立不可能成立，故B不对；对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，则必有ea≥eb，故必有2a≥3b，即有a≥b，故排除C，D．故选A．点评：本题考查指数函数综合题，对于ea+2a=eb+3b与ea﹣2a=eb﹣3b，根据选项中的条件逆向分析而排除不适合的选项是关键，也是难点，属于难题．6.过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有（

）A.4条

B.3条

C.2条

D.1条参考答案：B7.直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：直线与圆的位置关系．分析：先解劣弧所对圆心角的一半，就是利用弦心距和半径之比求之．解答： 解：圆到直线的距离为：=1，又因为半径是2，设劣弧所对圆心角的一半为α，cosα=0.5，∴α=60°，劣弧所对圆心角为120°．故选D．点评：直线与圆的关系中，弦心距、半径、弦长的关系，是2015届高考考点，本题是基础题．8.复数（3i﹣1）i的共轭复数是(

)A．﹣3+iB．﹣3﹣iC．3+iD．3﹣i参考答案：A考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：先化简复数（3i﹣1）i，再根据共轭复数的定义求出其共轭复数．解答： 解：∵复数（3i﹣1）i=﹣3﹣i，∴复数（3i﹣1）i的共轭复数是﹣3+i，故选A．点评：本题考查两个复数的乘法法则，以及共轭复数的定义．9.已知函数为偶函数，且当时，，则A．

B．2

C．1

D．0参考答案：B略10.已知函数的图像关于点（-1，0）对称，且当（0，＋∞）时，，则当（-∞，-2）时的解析式为（）A．B．C．D．参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.文：不等式的解集是

.参考答案：；12.已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=﹣x+平移此直线，由图象可知当直线y=﹣x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（2，1），所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4；故答案为：4．13.若数列满足：，若数列的前99项之和为，则

．参考答案：14.设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，的面积为，且，则该双曲线的离心率为 ；参考答案：由得：，故，又，∴，∴，∴；15.已知向量与的夹角为120°，且，则______________参考答案：1316.已知函数，其中，下面是关于f（x）的判断：①．函数最小正周期为②．函数的一个对称中心是（—）

③．将函数的图象左移得到函数的图象

④．的一条对称轴是其中正确的判断是_________（把你认为正确的判断都填上）。参考答案：①②④略17.方程的解

.参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．试求出该考生：（Ⅰ）得60分的概率；（Ⅱ）得多少分的可能性最大？（Ⅲ）所得分数的数学期望（用小数表示，精确到0.01）．参考答案：解：（Ⅰ）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，，，，得60分的概率为．--------------------(4分)（Ⅱ）得45分或50分的可能性最大．得40分的概率为：；得45分的概率为：；得50分的概率为：；得55分的概率为：．

--------------(8分)（Ⅲ）．----(12分)略19.已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.（I）求、的表达式；（II）求证:当时,方程有唯一解；（Ⅲ）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.参考答案：解:（I）依题意,即,.∵上式恒成立,∴

①

…………1分又,依题意,即,.∵上式恒成立,∴

②

…………2分由①②得. …………3分∴

…………4分（II）由(1)可知,方程,设,令,并由得解知

………5分令由

…………6分列表分析:(0,1)1(1,+￥)-0+递减0递增知在处有一个最小值0,

…………7分当时,＞0,∴在(0,+￥)上只有一个解.即当x＞0时,方程有唯一解.

……8分（III）设,……9分在为减函数又

…………11分所以：为所求范围.

…ks5u……………12分20.（本小题满分12分）如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.(1)求证:；(2)求点到平面的距离.

参考答案：【知识点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．菁G4G5(1)见解析；(2)

解析：(Ⅰ)方法一:取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,

所以,,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以.

方法二:连结,依题意可知△,△均为正三角形,

又为的中点,所以,,又,平面,平面,所以平面,

又平面,所以.

(Ⅱ)当点为棱的中点时,四点共面,证明如下:

取棱的中点,连结,,又为的中点,所以,

在菱形中,所以,所以四点共面.

(Ⅲ)点到平面的距离即点到平面的距离,

由(Ⅰ)可知,又平面平面,平面平面,

平面,所以平面,即为三棱锥的体高.在中,,,

在中,,,边上的高,

所以的面积,

设点到平面的距离为,由得

,又,所以,

解得,

所以点到平面的距离为.………………12分【思路点拨】（Ⅰ）法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能证明PC⊥AD．（Ⅱ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能证明A，Q，M，D四点共面．（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由已知得得PO为三棱锥P﹣ACD的体高，由VD﹣PAC=VP﹣ACD，能求出点D到平面PAM的距离．21.（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20，25），需求量为350瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数4143621105

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值，最大值为多少？

参考答案：22.已知平面向量,(1)证明