精选网络名师小班辅导教案-初中数学第13讲轴对称及将军饮马问题教师版

精选网络名师小班辅导教案-初中数学第13讲轴对称及将军饮马问题教师版2-2023年·2023年·暑假初二数学·第13讲·教师版pagePAGE1ofNUMPAGES3第十第十三讲轴对称及“将军饮马〞问题中考要求中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；能运用轴对称进行图案设计知识点睛知识点睛轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如以下列图，是轴对称图形．两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如以下列图，与关于直线对称，叫做对称轴．和，和，和是对称点．轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：轴对称图形两个图形轴对称区别图形的个数1个图形2个图形对称轴的条数一条或多条只有1条联系二者都的关于对称轴对称的

对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．如图，直线经过线段的中点，并且垂直于线段，那么直线就是线段的垂直平分线．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．如图，点是线段垂直平分线上的点，那么．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．成轴对称的两个图形的主要性质：①成轴对称的两个图形全等②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．轴对称变换应用时有下面两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．重、难点重、难点重点：重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的利用轴对称的知识来解决题目难点：运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用例题精讲例题精讲板块一、轴对称与轴对称图形的认识以下〞表情〞中属于轴对称图形的是()A．B． C． D．C【稳固】(08年广东省)以下列图形中是轴对称图形的是()C(09湖南株洲)以下四个图形中，不是轴对称图形的是()A． B． C．D．Ｄ【稳固】(2023泸州)以下各种图形不是轴对称图形的是()C．【稳固】(2023吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形__________；理由是__________．②;四个图形中，只有图②不是轴对称图形．如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．轴对称图形：1，3，4，6，8，10成轴对称的图形有：2，5，7，9(09黑龙江哈尔滨)以下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()D【稳固】(2023北京)以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．等腰三角形B．等腰梯形C．正方形D．平行四边形C(2023四川)我国主要银行的商标设计根本上都融入了中国古代钱币的图案，以下我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是()C(2023北京市海淀区)羊年话〞羊〞字象征着美好和桔祥，以下列图案都与〞羊〞字有关，其中是轴对称图形的个数是()A．1；B．2；B．3；D．4B【稳固】⑴(08山东省青岛市)以下列图形中，轴对称图形的个数是()A． B． C． D．⑵如下列图的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有()A．个 B．个 C．个 D．个⑴B；⑵Ｃ(上海)正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．．点拨：可以画出例图进行分析，明确正边形有条对称轴．【稳固】(2023河北省)以下列图案中，有且只有三条对称轴的是()D【稳固】⑴(08苏州)以下列图形中，轴对称图形的是⑵以下列图形中对称轴最多的是()A．圆 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段⑴D；⑵Ａ作出以下列图所示的图形的对称轴：答案见右上图．【稳固】作出以下列图所示的成轴对称图形的对称轴：答案见右上图．求作线段的垂直平分线略：如图，及两点、．求作：点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等．因为是两边所在的直线，所以有两个答案．答案一：内角平分线与线段的垂直平分线的交点答案二：外角平分线与线段的垂直平分线的交点(2023长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．108(2023河南)如图，直线是四边形的对称轴，假设，有下面的结论：①②③④，其中正确的结论有_______．①②③【稳固】(2023安徽)如图，是四边形的对称轴，如果，有以下结论：①②③④．其中正确的结论是_________．(把你认为正确的结论的序号都填上)①、②、④(2023南宁市)尺规：把右图(实线局部)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保存作图痕迹)．答案见右上图．板块二、轴对称的应用如图，和关于直线对称，且，，求的度数和的长．∵和关于直线成轴对称∴，；又∵，∴，．如图，有一块三角形田地，，作的垂直平分线交于，交于，量得的周长为，请你替测量人员计算的长．∵垂直平分∴，∵，∴∵，∴．【稳固】如图，中，边的垂直平分线交于，交于，厘米，的周长是18厘米，那么等于多少厘米？∵垂直平分∴，∵的周长为∴．如图，，为的垂直平分线，求的度数．∵垂直平分∴∴∵∴∴．(2023陕西)：如图，在中，，，平行于轴，点的坐标是．⑴画出关于轴对称的；⑵求以点、、、为顶点的四边形的面积．⑴画图正确⑵过点作，交的延长线于点，那么，在中，BD＝AB·cos∠ABD＝2×＝1AD＝AB·sin∠ABD=2×＝又知点B的坐标为(-3，1)可得点A的坐标为∵轴，轴∴∵AB与不平行∴以点为顶点的四边形是等腰梯形由点A、B的坐标可求得∴梯形的面积＝(AA′+BB′)·AD＝×(8+6)×=7．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；假设不存在，请说明理由．点与点重合，或者点是点关于直线的对称点．如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？答案见右上图．【稳固】假设此题改成，在上找到、两点，且，在的左边，使四边形的周长最短．见右上图．(〞五羊杯〞邀请赛试题)如图，，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小．见右上图．【稳固】如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短．见右上图．(2000年全国数学联赛)如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为和．求的值．作点关于的对称点，连接、．由点、关于对称可知，．故当且仅当、、共线时，等号成立，故．另外两个临界位置在点和点处．当点位于点处时，；当点位于点处时，．故，．此题也可作点关于的对称点，连接、．如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小．见右上图．：、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最小．见右上图．【稳固】：、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最大．见右上图．(07年三帆中学期中试题)如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值与最大值．找点关于的对称点，由正方形的性质可知，就是点关于的对称点，连接、，由可知，当且仅当、、三点共线时，的值最小，该最小值为．当点在上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：与的交点，即取最小值时；当点位于点时，；当点位于点时，．故的最大值为．【稳固】例题中的条件不变，求的最小值与最大值．当时，有最小值为0，此时点位于的垂直平分线与的交点处．，当点与点重合时，等号成立，此时有最大值2．【稳固】(黑龙江省中考题)如图，正方形的边长为8，在上，且，是上的一个动点，那么的最小值是连接交于，此点即为所求．所以根据勾股定理，．(2023郸县改编)某供电部门准备在输电主干线上连接一个分支线路同时向新落成的、两个居民小区送电，分支点为，居民小区、到主干线的距离分别为千米，千米，且千米．⑴居民小区、在主干线的两旁如图⑴所示，那么分支点在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？⑵如果居民小区、在主干线的同旁，如图⑵所示，那么分支点在什么地方时总线路最短？此时分支点与距离多少千米？⑴连结，与的交点就是所求的分支点，分支点开在此处总线路最短，如图，因为，．所以．所以．由勾股定理，得，，所以分支点在线段上距点千米处，最短线段的长度为千米；⑵如图，作点关于直线的对称点，连结交直线于点，此处即为分支点，由图可知，的长度为千米．点拨：在解此题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A点的对称点A2．(09山东临沂)如图，，是公路(为东西走向)两旁的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，村在村的南偏东方向上．⑴求出，两村之间的距离；⑵为方便村民出行，方案在公路边新建一个公共汽车站，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点的位置(保存清晰的作图痕迹，简明书写作法)．北东B北东BACDlBACDlNMOP⑴方法一：设与的交点为，根据题意可得．∴和都是等腰直角三角形．∴，．∴两村的距离为方法二：过点作直线的平行线交的延长线于．易证四边形是矩形，∴．在中，由，可得．∴两村的距离为．⑵作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于两点，，作直线；②直线交于点，点即为所求．家庭作业家庭作业(08苏州)以下列图形中，轴对称图形的是D⑴(09湖南株洲)以下四个图形中，不是轴对称图形的是()A． B． C． D．⑵(08山东烟台)以下交通标志中，不是轴对称图形的是()⑶(08年广东省)以下列图形中是轴对称图形的是()⑴Ｄ；⑵Ｃ；⑶Ｃ．如图，中，，为的平分线，，是的中点，求的度数．∵平分∴∵垂直平分∴，∴∵∴．(四川省竞赛题)如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小．见右上图．在正方形中，在上，，，在上，求和的长度之和的最小值．