福建省南平市王台中学2020-2021学年高一数学理期末试题含解析

/福建省南平市王台中学2020-2021学年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于（

）A.30° B.45° C.60° D.135°参考答案：D【分析】利用面积公式，借助余弦定理，即可容易求得结果.【详解】因为，且，故可得，即，又因为，故可得.故选：D.【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属综合基础题.2.函数在上满足，则的取值范围是（

） A．

B．

C． D．参考答案：D略3.已知，且，对任意的实数，函数不可能（

）A.是奇函数

B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数参考答案：C，当时，，为偶函数当时，，为奇函数当且时，既不是奇函数又不是偶函数故选.4.在中，，是上的一点，若，则实数的值为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B． C．4 D．参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．6.数列{an}满足，则的前10项和为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据裂项相消法求和.【详解】因为，所以的前10项和为，选B.【点睛】本题考查裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.

7.化简+，得到

（

）A.2cos5

B.2sin5

C.－2cos5

D.－2sin5参考答案：A略8.知向量、、中任意二个都不共线，但与共线，且+与共线，则向量++=（

）A． B． C． D．参考答案：D略9.如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5参考答案：B【考点】3I：奇函数．【分析】由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故选B．【点评】本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．10.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0

B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0

D．x2＋y2－2x－4y＝0参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角差的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=sin（75°﹣30°）=sin45°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，属于基础题．12.已知=2，则sin2α﹣sinαcosα的值为

．参考答案：

【考点】三角函数的化简求值．【分析】将分子分母同除以cosα，利用同角三角函数基本关系式可求tanα=3，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵==2，解得：tanα=3，∴sin2α﹣sinαcosα====．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．13.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为．参考答案：+﹣9π【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2），从而可求误差．【解答】解：扇形半径r=3扇形面积等于=9π（m2）弧田面积=9π﹣r2sin=9π﹣（m2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）=（9×+）=（+）．∴9π﹣﹣（+）=9π﹣﹣按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π﹣﹣平方米．故答案为：+﹣9π．14.已知函数在区间上为偶函数，则__________．参考答案：∵在上为偶函数，∴．，，∴，∴．15.设集合A＝{5，a+1}，集合B＝{a，b}.若A∩B={2}，则A∪B=

.参考答案：{1，2，5}略16.定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=x，则f（2011.5）=

．参考答案：﹣0.5【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出函数为奇函数，再求出函数的周期为2，问题得以解决．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是定义在R上的奇函数，∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）的周期为2，∴f（2011.5）=f（2×1006﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5，故答案为：﹣0.5．【点评】本题考查函数周期、对称、奇偶性等性质问题，属中等题．17.如图，是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有2个不同的点P1，P2，则__________．参考答案：36三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a?bt，Q=a?logbt．（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．参考答案：【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据（50，150），，代入Q，即得函数解析式；（2）由二次函数的图象与性质可得，函数Q在t取何值时，有最小值．【解答】解：（1）由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而函数Q=at+b，Q=a?bt，Q=a?logbt，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，所以，选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述．将表格所提供的三组数据（50，150），，分别代入，通过计算得故西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数得到；（2）=，∴t=150（天）时，西红柿种植成本Q最低，为100元/102kg19.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为D．（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；（2）证明：平面A1BD⊥平面A1ABB1．参考答案：(1)如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点运动到点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线．设棱柱的棱长为，则，∵，∴为的中点，在中，由勾股定理得，即解得，∵，∴．（2）设与的交点为，连结，∵，∴，∴，∵，∴平面．又∵平面，∴平面平面．

20.(本题满分15分)已知：函数对一切实数都有成立，且.（1）求的值。

（2）求的解析式。

（3）已知，设P：当时，不等式

恒成立；Q：当时，是单调函数。如果满足P成立的的集合记为，满足Q成立的的集合记为，求∩（为全集）。参考答案：解析：（1）令，则由已知

∴

（3分）

（2）令，则

又∵

∴

（3分）

（3）不等式

即

即

当时，，

又恒成立故

（3分）

又在上是单调函数，故有∴

（3分）∴∩=

（3分）21.（本小题满分14分）递增等比数列中（），已知，，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）记的前项和为（），求证.参考答案：（1）依题意可列得：，化简可得：，……1分即为：，解得：，或，………………2分而数列{}是递增数列，故，………………3分则.………………4分(2)依题意可列得：，即：，①