精选空间点直线平面之间的位置关系练习题(高考总复习)

精选空间点直线平面之间的位置关系练习题(高考总复习)/第三节空间点、直线、平面之间的位置关系时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1．(2023·安徽卷)在以下命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析B是公理2，C是公理1，D是公理3，只有A不是公理．答案A2．平面外一点P和平面内不共线三点A，B，C，A′，B′，C′分别在PA，PB，PC上，假设延长A′B′，B′C′，A′C′与平面分别交于D，E，F三点，那么D，E，F三点()A．成钝角三角形 B．成锐角三角形C．成直角三角形 D．在一条直线上解析D，E，F为平面与平面A′B′C′的公共点，D，E，F共线．答案D3．空间中有不共线的三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CD B．AB与CD异面C．AB与CD相交 D．以上情况均有可能解析假设三条线段共面，那么直线AB与CD相交或平行；假设不共面，那么直线AB与CD是异面直线，应选D.答案D4．假设直线l不平行于平面α，且l⊄α，那么()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析依题意，直线l∩α＝A(如图)．α内的直线假设经过点A，那么与直线l相交；假设不经过点A，那么与直线l是异面直线，应选B.答案B5．(2023·桂林中学上学期期中)以下四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析只有第四个图中的四点不共面．答案A6．(2023·江西卷)如以下列图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()A．8 B．9C．10 D．11解析如以下列图，∵CE⊂平面ABPQ，CE∥平面A1B1P1Q1，∴CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，m＝4；∵EF∥平面BPP1B1，且EF∥平面AQQ1A1，∴EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，n＝4，故m＋n答案A二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)7．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出以下四个命题，其中正确命题的序号是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案③④8．在空间中，①假设四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线；②假设两条直线没有公共点，那么这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的命题序号都填上)．解析对于①可举反例，如AB∥CD，A，B，C，D没有三点共线，但A，B，C，D共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.答案②9．(2023·安徽卷)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S①当0<CQ<eq\f(1,2)时，S为四边形②当CQ＝eq\f(1,2)时，S为等腰梯形③当CQ＝eq\f(3,4)时，S与C1D1的交点R满足C1R＝eq\f(1,3)④当eq\f(3,4)<CQ<1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为eq\f(\r(6),2)解析对于①②，如图1，因为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，当CQ＝eq\f(1,2)时，PQ＝eq\f(\r(2),2)，这时截面S交棱DD1于D1，AP＝D1Q＝eq\f(\r(5),2)，且PQ∥AD1，截面S为等腰梯形，当CQ<eq\f(1,2)时，截面S与棱DD1相交，截面S为四边形，故①②正确；对于③④⑤，如图2，延长QR交DD1的延长线于N点，连接AN交A1D1于M，取AD中点G，作GH∥PQ交DD1于H点，可得GH∥AN且GH＝eq\f(1,2)AN，设CQ＝t(0≤t≤1)，那么DN＝2t，ND1＝2t－1，eq\f(ND1,C1Q)＝eq\f(D1R,C1R)＝eq\f(2t－1,1－t)，当t＝eq\f(3,4)时，eq\f(D1R,C1R)＝eq\f(2,1)，可得C1R＝eq\f(1,3)，故③正确，当eq\f(3,4)<t<1时，S为五边形，故④错误，当t＝1时，M为A1D1的中点，/S为菱形PC1MA，AC1＝eq\r(3)，MP＝eq\r(2)，S的面积为eq\f(1,2)·AC1·MP＝eq\f(\r(6),2)，故⑤正确．eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))答案①②③⑤三、解答题(本大题共3小题，每题10分，共30分)10．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF(1)D，B，F，E四点共面；(2)假设A1C交平面DBFE于R点，那么P，Q，R证明(1)如下列图，因为EF是△D1B1C1所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β那么Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈那么R∈PQ，故P，Q，R三点共线．11．空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E，F分别是BC，AD上的点，并且BEEC＝AFFD＝12，EF＝eq\r(7)，求AB和CD所成角的余弦值．解如下列图，在BD上取点G，使BGGD＝12，连接EG，FG.在△BCD中，∵eq\f(BE,EC)＝eq\f(BG,GD)＝eq\f(1,2)，∴EG∥CD，且GECD＝13，同理FG∥AB，且FGAB＝23，∴EG与FG所成的角即为AB与CD所成的角．在△BCD中，∵EG∥CD，CD＝3，且EGCD＝13，∴EG＝1.在△ABD中，∵FG∥AB，AB＝3，FGAB＝23，∴FG＝2.在△EFG中，EG＝1，FG＝2，EF＝eq\r(7)，由余弦定理得cos∠EGF＝eq\f(EG2＋FG2－EF2,2EG·FG)＝－eq\f(1,2)，∵异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°，∴cosθ≥0.∴AB与CD所成角的余弦值为eq\f(1,2).12．(2023·湖南卷)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(Ⅰ)证明：AD⊥C1E；(Ⅱ)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．解(Ⅰ)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.由①，②得AD⊥平面BB1C由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C(Ⅱ)因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，∠A1C因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1故C1E＝eq\f(A1C1,cos