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文档简介
一、定积分的定义与性质二、定积分的计算
第十一讲定积分三、广义积分三、定积分的相关证明一、定积分的定义二、定积分的几何意义
定积分的概念及性质
三、定积分的性质(比较性质)一、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限
I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称
f(x)在[a,b]上可积
.记作例1.
用定积分表示下述极限:解:或二、定积分的几何意义(设所列定积分都存在)(k为常数)三、定积分的性质3.
若在[a,b]上则推论1.
若在[a,b]上则推论2.设则1.2.4.例3.
试证:证:
设则在上,有即故即5.
积分中值定理则至少存在一点使证:则由推论2
可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.说明:
可把故它是有限个数的平均值概念的推广.
积分中值定理对因例4.定积分的计算一、对称区间上定积分的计算二、定积分的换元法与分部积分法一、对称区间上定积分的计算例2.计算奇函数练习.
计算解原式偶函数单位圆的面积例4.计算二、定积分的换元法和分部积分法
例.计算解解:例.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.(了解)计算2、无界函数的广义积分常义积分积分限有限被积函数有界推广1、无穷限的广义积分广义积分(反常积分)广义积分定义1.
设若存在,则称此极限为
f(x)的无穷限广义积分,记作这时称广义积分收敛
;如果上述极限不存在,就称广义积分发散
.类似地,若则定义则定义(c
为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.并非不定型,说明:
上述定义中若出现它表明该广义积分发散.定义2.
设而在点a
的右邻域内无界,存在,这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散
.类似地,若而在b
的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的广义积分,记作则定义则称此极限为函若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:
而在点
c
的无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,则定义例1.解:
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