有效构建高中数学课堂探究的基本途径 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选有效构建高中数学课堂探究的基本途径摘要：针对当前高中数学课堂教学中常出现的知识探究过程不完善的现象，提出有效构建课堂探究的基本途径。结合对高中数学课程中具体课例的分析，明确课堂探究基本途径的指导思想和实施方法，以引导学生自主构建研究数学对象的“基本套路”，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，学会用数学眼光看世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。 关键词：课堂探究，基本途径，有效构建，数学核心素养

高中数学人教A版新教材（以下简称新教材）注重以“研究一个数学对象的基本套路”为指导设计展开课堂教学，即“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”。在教材各主题、各单元以及各节内容的探究中都体现出方法套路的一致性，其“基本套路”大致可以概括为“抽象数学对象--探索数学性质--构建知识体系”1[]。而当下数学课堂探究“基本途径”的构建存在着不完善的现象，下面对具体课例进行分析，阐述如何有效构建课堂探究的“基本途径”，使学生在领悟数学基本思想、积累数学基本活动经验的过程中，学会思考与发现，培养数学学科核心素养。一、课例片段展示1.章引言与起始课教学课例展示 以高中课程“主题二函数”中的三角函数章引言与起始课教学为例，具体教学片断如下：

教学片断1：

（1）在我们身边有许多运动变化现象，如：摩天轮的转动、时钟指针的转动，这些运动变化现象有什么共同特点？（2）你能说说生活中有哪些“周而复始”的现象吗？ （3）圆周运动是“周而复始”变化现象的典型代表，如图1，圆周上

的点P以A为起点，做逆时针方向旋转，如何刻画点P的位置变化？（教

的位师引导学生从初中角的动态定义获知，可借助角的大小变化刻画点P

置变化）图1 （4）在初中阶段我们是如何定义角的？这一过程中角的范围是多少？如果继续旋转，角就超出这个范围，所以我们需要先扩大角的范围，进而引出任意角的教学。12022年安徽省中小学教育教学论文评选从这一片断中可以看出授课教师在章引言教学的现实情境设置环节完成出色，引起了学生的学习兴趣，激发了学生对构建三角函数模型刻画周期性变化规律的渴望，但没有引导学生自主构建三角函数的研究内容，也未厘清本章的研究方向。这些源自教师对章引言的作用没有深刻了解，对三角函数的研究途径设计不完善，以至于错失了培养学生自主构建探究三角函数基本途径，通观全局的机会。2.概念教学课例展示 以高中课程“主题三几何与代数”中的立体几何初步章节“直线与平面垂直的判定”学为例，具体教学片断如下：

教学片断2：

（1）一本书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置关系是什么？此时书脊与每页书和桌面的交线位置关系是什么？ （2）直立着的旗杆与地面有什么关系？旗杆与它在地面上的影子所成的角是多少度？随着太阳的移动，旗杆与影子所成的角是否会发生改变？（3）旗杆与地面内任意一条不经过旗杆底端位置的直线有什么关系？ （4）给出直线与平面垂直的定义.并追问：怎么理解“任意”？可以用“无数”代替“任意”吗？ （5）怎么判定直线与平面垂直呢？由定义判定直线与平面垂直，简便吗？能否利用在平面内找有限条直线与已知直线垂直，从而判定直线与平面垂直？ （6）将准备好的三角形纸片ABC，过顶点A翻折纸片得到折痕AD，将翻折后的

纸片竖起放置在桌面上（如图2），思考：如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直呢？图2（7）给出线面垂直的判定定理。这一教学片断中授课教师先依托日常生活设置问题情境，着力于学生已有的生活经验引出本节课相关内容；然后在具体情境中引导学生用线线垂直来刻画线面垂直，体现出空间到平面的“降维”思想，引出线面垂直的定义；进而在线面垂直的探究中让学生从直观感知到抽象出线面垂直的判定条件，并通过翻折三角形纸片，手动操作验证判定条件的合理性，生成直线与平面垂直的判定定理。整个探究过程学生参与度高，课堂气氛活跃，很好的完成了教学预案。课后回顾这节课时笔者察觉到学生在直观感知到线面垂直后，对线面垂直所要学习的内容并没有完成自主构建，对线面垂直的研究途径与所22022年安徽省中小学教育教学论文评选需方法并不明朗，虽然本节课采取了问题驱动的探究式教学，但为什么这样探究？依据是什么？没有先行构建研究数学对象的基本途径。而在线面垂直判定定理的教学环节，探究过程经历“直观感知”和“操作确认”之后，并未对判定定理的合理性加以论述，这使得在缺少逻辑推理的情况下，学生可能会质疑学习过程的严谨性。3.例题教学课例展示 仍以上述“直线与平面垂直的判定”的例题教学为例，在获得线面垂直的判定定理后，对例题教学的设置授课教师采取“省时”的方式直接抛出例题让学生分析，具体教学片断如下：

教学片断3：

（8）例题“求证：若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于这个平面.”

（9）你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？这一教学片断中师生通过构造平面内的两条相交直线或作平面内任意一条直线，从线面垂直的判定定理和定义两个方面进行了严格的证明，在与学生的交流中教师还注重培养学生将文字语言转化为符号语言的能力，强化答题的规范、简洁明了。可以说授课教师在分析问题与解决问题环节做得很细致，却忽略了对学生发现问题与提出问题能力的培养，未能以例题为契机启迪学生思维，了解研究线面位置关系的一般方法。二、有效构建课堂探究“基本途径”的策略1.利用先行组织者策略，有效构建整体知识结构的探究途径所谓“先行组织者”策略，指在讲授新知识前，基于学生现有认识引入新课，从而将一座桥梁在已知与未知间建立起来[2]。在章引言与起始课教学中可应用先行组织者策略，实现前后知识的有效衔接，把学生已有的认知结构与所学的新知识融合起来，有效构建知识探究的基本途径。如在教学片断1的（2）问题提出，激发学生构建三角函数模型刻画周期性变化现象的渴望后，可借机引导学生以函数的一般概念为指导，借鉴幂函数、指数函数、对数函数的研究经验，自主构建出三角函数章节将按照“背景--概念--图象和性质--应用”的基本途径进行研究。在这一基本途径下，本章的知识结构可由“章引言和角与弧度（刻画圆周运动的预备知识）、三角函数的概念与基本性质（诱导公式）、三角函数的图象与性质、三角恒等变化--联系--应用”这几部分组成，如此32022年安徽省中小学教育教学论文评选引导学生通观全章、了解全章基本内容、明确研究的方向。之后以如何刻画圆周运动的点P位置变化引出任意角的教学，开始本章预备知识的学习。相类似的章引言教学很多，再如，选择性必修课程中“圆锥曲线的方程”章节的起始课教学，学生便可在了解圆锥曲线的名称、历史、应用后，利用先行组织者策略，借鉴“直线与圆的方程”的研究经验，自主构建出圆锥曲线的学习内容与研究过程：“现实背景--曲线概念--曲线方程--曲线性质--实际应用”，说明圆锥曲线学什么和怎样学的问题。2.关注同一主线内容的逻辑关系，类比构建完整的概念探究过程《普通高中数学课程标准（2017年版）》对教材的章节设计提出了“三个关注”的要求：关注同一主线内容的逻辑关系，关注不同主线内容之间的逻辑关系，关注不同数学知识所蕴含的通性通法、数学思想[3]。在教学片断2的（1）（2）环节直观感知到线面垂直后，可引导学生类比同一主线中线面平行的探究内容、过程和方法，自主构建线面垂直的探究内容“定义--判定--性质”、探究过程“直观感知--操作确认--思辨论证”与“空间问题平面化”“降维”“无限化有限”等探究所需的思想方法。这样的安排不仅能体现同一主线内容之间的有机衔接，还能帮助学生理解线面垂直的定义双向性，体会判定定理的生成过程。在教学片断2的（5）（6）（7）教学环节中便存在着判定定理生成过程不完整的现象，虽然授课教师运用三角模型完成了线面垂直判定定理的验证，但未对判定定理的合理性进行演绎式的论述。由于教科书也未在本章节给出判定定理的严格证明，所以授课教师认为只需完成到操作确认环节即可，对教科书思考栏中的向量观点解释不必深究。这种想法看似“省时省事、高效合理”，实则却是忽视了保持对数学对象探究过程的完整性，不利于数学思维方式的形成，缺少了由思辨论证帮助学生完善的逻辑思维的机会，学科素养又怎会在这看似“省时省事”中得以落实呢？事实上，在18世纪，法国数学家勒让德（A.M.Legendre）采用了勾股定理与中线定理相结合的方法证明判定定理。19世纪，苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair）采用了等腰三角形法来证明判定定理。而向量法出现的较晚，却可由平面向量基本定理为两条相交直线“代表”平面所有直线提供理论支持。至于向量法的严格证明教科书安排在选择性必修课程的空间向量与立体几何章节，本节课不做要求。这是由学生知识获取的螺旋式上升结构所做出的合理安排，所以教学中虽不用演绎推理论证但却应经历思辨论证的认知。这种“直观感知--操作确认--42022年安徽省中小学教育教学论文评选思辨论证”的完整探究过程学生在学习线面平行的判定时也经历过，可以说是同一探究途径的延续，是研究立体几何的一般途径。因此，在同一主线内容的探究时，可将探究途径最大限度地一般化，以体现数学思维方式的一致性、连贯性。 当我们关注到不同数学知识所蕴含的通性通法、数学思想时，会发现从操作确认到思辨论证过程的必要性不仅体现在“立体几何初步”章节，在其他模块内容也有体现，如“函数的零点与方程的解”的函数零点个数判定教学中，以问题“求方程lnxx60的实数解的个数”为例，可以借助计算工具，画出函数ylnx2x6的图象（如图3），这时通过直观感知是否能说明函数f(x)只有一个零点呢？教师可借助反例教学强调研究函数在某个区间上存在零点时，还需借助函数的单调性来判定是否只有一个零点，即需要推理论证的过程，而不是只停留在操作确认阶段。图33.创设情境，引导学生发现问题和提出问题，构建完整的例题教学探究途径教学片断3的例题设置，授课教师仍是采取“省时”的方式直接抛出例题让学生分析，虽在分析问题与解决问题环节做得很到位，却还是忽略了对学生发现问题与提出问题能力的培养。如果教师在抛出例题之前不那么着急，而是从身边的示例入手就地取材，在课桌上立起一本书，试着找一找存在哪些线面平行与垂直关系，从而发现并提出书脊与桌面垂直，则与书脊平行的书边沿与桌面是否也是垂直的？由此直观形象地概括出例3的叙述.这样的观察引入有利于培养学生的发现问题与提出问题的能力，也遵循着“直观感知--操作确认--思辨论证”的探究途径，体现着对数学对象探究方式的一致性。笔者觉得在例题教学中，若能设计得全面些，关注于学生“四能”的培养，数学学科核心素养必能潜移默化地、润物细无声地得到落实。综上所述，对课堂教学探究活动的设计，教师应以培养核心素养作为依据，深入洞察知识的内在联系后，便可在更大范围内进行方法思路的概括，建立更为一般的统一理论，明确课堂探究基本途径的指导思想和实施方法。在这套行之有效的科学方法推行下，教师可以关注到学生在学习过程中的发展和变化，并通过观察学生的学习行为和思维过程，发现教学中的问题，及时调整学与教的行为，改进学生的学习方法和思维习惯[3]；学生可以自主构建研究数学对象的“基本套路”，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题