以一道三棱柱几何题为例谈课堂的深度教学 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选以一道三棱柱几何题为例谈课堂的深度教学摘要：以一道三棱柱几何题为例，让学生发散思维，通过不同的解法，充分体会向量法与综合几何法的共性与差异，从而感悟向量是研究几何问题的有效工具。关键词：三垂线定理，向量，空间想象力，深度教学一、问题的提出通过立体几何的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的数学思想方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量之间的共性和差异；运用向量方法深度研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法之间的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。二、教学探究过程（一）研读课程标准 直观想象主要表现为:建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。水平素养直观想象水平二 能够在关联的情境中，想象并构建相应的几何图形；能够借助图形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的运动规律。 能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法，能够借助图形性质探索数学规律，解决实际问题或数学问题。 能够通过直观想象提出数学问题；能够用图形探索解决问题的思路；能够形成数形结合的思想，体会几何直观的作用和意义。在交流的过程中，能够利用直观想象探讨数学问题。水平三能够在综合的情境中，借助图形，通过直观想象提出数学问题。能够综合利用图形与图形、图形与数量的关系，理解数学各分支之间的联系；能够借助直观想象建立数学与其他学科的联系，并形成理论体系的直观模型。 能够通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，反映数学问题的本质，形成解决问题的思路。在交流的过程中，能够利用直观想象探讨问题的本质及其与数学的联系。12022年安徽省中小学教育教学论文评选（二)教材分析本节课是习题课，主要解决的是北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》第四节“用向量讨论垂直与平行”课后习题。本节课是在学生已经学习如何用空间向量解决立体几何的理论知识为出发点，进一步体会向量方法在立体几何中的具体作用，并能熟练使用向量。本节意在培养学生利用所学知识解决实际问题的能力和分析观察问题的能力，把所学知识应用于实践中去，为以后的学习、研究提供思路与方法。（三）学情分析高二（3）班是我校的实验班，学生学习气氛浓厚，兴趣较高，但在学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，部分学生缺乏系统性的理论分析，在学习方面有一定疑惑。（四）设计思想本节课是让学生巩固用向量解决空间几何中的垂直与平行的知识，结合具体事例感知传统法与几何法在解决立体几何问题的优缺点，领会数学思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。（五）具体教学过程 1.复习巩固

上一节课我们探究学习了如何用向量来证明垂直与平行的四个判定定理和四个性质定理，并引出一个在解决立体几何问题中常用的一个定理——三垂线定理。请同学们用三种语言来写出这个定理，并找两位同学在黑板上板演。 三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直（如图1所示）。bacc是b在平面上的投影ca图1 [设计意图：通过复习，让学生巩固上节课的理论知识，为本节课的练习做好准备。]22022年安徽省中小学教育教学论文评选 2.动手实践

[课本P42习题2—4第3题]如图2，在空间直角坐标系中，有直三棱柱ABCA'B'C'，ACB90，BAC30，BC1，AA' 6，M是棱CC'的中点。证明：AB'A'M。 分析：题目已经建好坐标系，根据我们上节课的学习，可以直接用向量法来证明垂直关系，也就是说，只要证明AB'M0即可。让全体同学在自己的作业本上书写具体的图2证明过程，愿意到黑板上板演的同学可以自愿来写。 [学情预设：本题条件清晰明了，属于简单题，只要思路清晰，大部分学生都可以自行解决，做完以后同组之间相互检查。]

证明：（坐标法）M在直三棱柱ABCA'B'C'中，ACB90，BAC30，BC1，AA'6，是棱CC'的中点.62

可得AC3，则A0,0,3，'A,0,36，B',1,06，M

,0,0AB'',1,36，A'M

,0,36

2AB''M3310663302AB''A'MAB''A'M证毕.大约七八分钟，黑板板演的学生已经证明完毕，下面的学生却有些按捺不住，通过我下去观察，他们有的人采用了不同的方法进行证明。学生七嘴八舌地说着“不用建系也能证明”，“用刚学的三垂线定理就能证”，“老师，我用向量法，但是我可以不求坐标”，等等。我心理有些乐开花，一题多解，思维敏捷的学生能想到不同的证明方法，提供思路给那32022年安徽省中小学教育教学论文评选些领悟较慢的学生。于是，我让学生自己先在作业本上整理好思路，再到黑板上板演。3.发散思维

(1）王同学用向量法证明如下：AA在直三棱柱ABCA'B'C'中，ACB90，BAC30，BC1，'6，M是棱CC'的中点.AC3即AA'6,C'B'CB1,C'M1AA'6,A'C'' AC322又AB'AA'A'C'C'B'，A'MA'C'C'MA'C'C'M,A'C'AA',A'C'C'B',C'M'C'B'A'C'M0,A'C'AA'0,A'C'B'0,C'M'B'0AB'A'MAA'A'C'C'B'A'C'C/M

AA'A'C'AA'C'MA'C'A'C'A'C'C'MC'B'A;C'C'B'C'M066COS1800002330AB'A'MAB'A'M证毕.[点拨]巧妙运用直三棱柱ABCA'B'C'中的直角关系，以及RtA'B'C'中的直角关系，理清思路，准确无误地写出证明过程。

(2）刘同学用三垂线定理证明如下：连接AC'（如图3所示），设AC'A'MN，BAC30，BC1，AA'6，在直三棱柱ABCA'B'C'中，ACB9042022年安徽省中小学教育教学论文评选M是棱CC'的中点.A'C'B'90，即A'C'B''C'又CC' ‘平面AB'C'，则CCB'C'CC'A'C'C’‘

BC’平面ACC'A'AC'为AB'在平面ACC'A'上的投影在长方形ACC'A'中，AA'//C'M图3AA'N∽C'MNMAA'A'NAN2C'MMNC'NC'2322又AC'AC2CC2'3,A'MA'C2'C'N1,A'N2AC'在A'NC'中，A'N2C'N2A'C2'A'NC'90，即A'NNC'，亦即A'M又AC'为AB'在平面ACC'A''上的投影由三垂线定理知，AB'A'M证毕. [点拨]巧用平面几何中，相似三角形中对应边的相似比，确定垂直关系，将平面几何与立体几何结合来解决问题，能综合运用所学知识来解决问题。[课堂实况]两位学生（班里的数学尖子生）约用时十分钟证明结束，并依次稍作讲解。其余学生边听讲解，边观看黑板，体会这两种证明思路与方法。我发现很多学生懊恼之前学过的知识不能灵活运用，看了别人的思路自己才豁然开朗，还有的学生不服气地说证明过程太繁琐，还不如第一种向量坐标法简单，等等。不同的学生反应不同，我最后点评：首先表扬这两位学生敢于尝试“一题多解”，并能深度挖掘题目的已知条件，充分利用题目的已知条件。其次声明，并非过程简洁的解法就是好的解法，就是我们做52022年安徽省中小学教育教学论文评选题需采纳的解法，而真正在考试中，能快速想到并写出来，而且能得满分的解法才是最好的解法。最后，鼓励全体学生发散思维，敢于尝试，多想多练。学生的积极性由此调动起来，纷纷思考着是否还有其他解法。4.思考探究

（1）探究一：化三维为二维

在必修2《解析几何初步》“两直线的位置关系”这一节中，有一结论：一般地，设直线l1:yk1xb1，直线l2:yk2xb2，1,k2都存在.若l1 l2，则k1k21；反之，若k1k21，则l1 l2.[启发引导]在刘同学利用三垂线定理的证明过程中，要证A'MAC'，可以采用解析几何中证明两直线垂直，只需证明这两条直线的斜率乘积为-1即可。将直三棱柱ABCA'B'C'中平面ACC'A'放在平面直角坐标系中，如图4所示：图4则A，'A,06，C'',36，M,36

2kA'M662，kAC' 622323kA'MAC' 2212A'MAC'（其余证明过程与刘同学用三垂线定理的证明过程相同）

[设计意图]在学生学习立体几何的同时，不要忘记巩固解析几何的知识，温故而知新，全面综合的把握教材，为我所用。 （2）探究二：补形法

通过平移和解三角形来完成，平移的目的是将角放在一个三角形中求解，像中位线法、平行四边形法、补形法尤为常见。[启发引导]如图5所示，通过补形，易证ED'//AB'，图5DN'//AM'，将异面直线AB'与'AM放在同一个平面内，在DEDN'中，三边长度都能求62022年安徽省中小学教育教学论文评选解，由此可得出结论AB'A'M。补形法，通常都必须添加辅助线，并且要经过各种手段进行转化，它具有较大的灵活性，对于一些空间立体感不强的学生而言，会感到困惑，掌握起来比较困难，此方法是给有兴趣深入研究的同学提供一种解题思路。三、教学反思 在本次教学中，对学生加强学习方法指导，帮助学生养成良好的学习习惯，敢于质疑，善于思考，理解概念，把握本质，数形结合，明晰算理，建立知识之间的关联。在高考的立体几何试题中，其传统解法做的辅助线多、技巧性强，是数学学习的难点，而向量进入高中教材后，为立体几何增添了活力，将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，为学生处理某些立体几何问题提供了新的视角。借助空间向量这一工具，可以降低思维难度，增加了可操作性，从而减轻了学生负担，是他们对立体几何更容易产生兴趣。向量是高中数学新课程中的重要内容，是近代数学最重要和最基本的概念之一。向量是既有大小又有方向的量，既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性，可以在数量与图形之间灵活转换，