高考理科数学-换元法(讲)-专题练习有答案

22高考数学理）专题练（十）列举（特）法（讲）一、局部换元1.1．于形如[f(x)]

()

的值域（最值）问题，令

fx)

，化为一元二次函数在某个区间上的值域（最值）问题处理．例1对任意xR不式

x

恒成立，则实数的取值范围是．1.2．式型函数利用均不等式求最值问题（局部换元例．已知AB分别为椭圆：

2a的、右顶点，不同两点Q在椭圆C，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的率分别为，，则当离心率为（）

a1lnmnab2mn

取最小值时，椭圆CA

33

B

23

C．

D．

221.3．数换元例3sin501.4．合函数中的换元

＝．例4已知函数

f()x，g()2log

，其中a且a，t．（I若t，,2

时，

(x()(x)

的最小值是－，求实数的；（II）若0

，且

,2

时，有

f(x)gx)

恒成立，求实数

t

的取值范围．1.5．部换元法与不等例5已知函数f(x)axln(1x)（1）当a

时，求函数

f(

在

上的极值；（2）证明：当x

时，ln(1x)x

；（3）证明：

1)(1)243

(1

1n

)(nN

为自然数的底数．1.6．部换元法与数列例6已知在数列

{a}

中，

a

，当n

时，其前n项

S

满足S

n

2

1(S)n

．（Ⅰ）求

S

的表达式；/9

（Ⅱ）设b

S1，数列{}前项T．证明：T2n1.7．部换元法与圆锥线联系例7腰角内于抛物线2(p

为物线的顶点OBeq\o\ac(△,，)AOB的面积是，抛物线的焦点为F，若M是物线上的动，则

OM

的最大值为（）A

33

B

63

C．

323D．3二、三角换元例8设实数，y，，n满x

1，m

＋，么＋的大值是（

）A3

B2C

D．

例9已知实数，y足方程x

＋

-＝.（1）求y－x的大值和最小值；（2）求x

＋

的最大值和最小值；/9

aa高考数学理）专题练（二）换元法（）[例1例2．D例3．例4解：（Ⅰ）t()(xf()(2a

a

答案4(x24(x易证h()x

1在上单调递减，在1,2上调递增，且)(2)

，x)

(1)(x)

max

25

当a

时，

Fx)log16由log16minaa

，解得

（舍去）当

时，

(

log25由logaa

，解得a

15综上知实数a

15（Ⅱ）

f(xgx

恒成立，即

logx2loga

恒成立，1∴log(2x2)2又

，

x

，∴xx，t∴成立，∴tx

令

17x)(x,2

，∴

故实数t的值范围为

/9

nn11232n2例5）

45

时，

4x4f(x)ln(12f525(12)

，或

12列表分析如下x

12

f

+

-

+f()

单调增

极大值

单调减

极小值

单调增18(x)f(),f(x)=f254（2令))

则g

x2

，

x)

在

为增函数，()0,ln(1

)x（3）由（）知，x2)x

，令x

1111得，ln4n

4

11111ln1ln1n224n1

例6解：（Ⅰ）当

时，

ann

n

1代入S()2

，得

2Sn

n

n

n

，由于

n

，所以

，c，SSS

cn所以

是首项为1，公差为2的等差数列，所以

cn，所以Sn

12n（2）

b

112n(22nn

T

111

1112n

，所以Tn

例7．例8．A．例9解：方程x

变形为表示的图形是圆/9

（1）设x

，3，x3y3sin则

6sin

当

π，有小值642当

π,(kZ)4

时，有大值（2）由（）知x

sin

cos

当

k(Z时xy2

有最大值7，

当

k(k)

时，y

有最小值/9

高考数学理）专题练（二）换元法（）解

析例1【解析】设

，则

，

x

2

a

2

2at

2

，故原不等式转化为

t

at0(t

，即t

，所以

2a

，即

。故应填答案

例2例3【解析】＋＝sin50°(1＋＝sin50°·

cos60°cos10°＋cos60°cos10°＝例4

cos60°－2sin50°cos50°cos10°＝＝＝＝1cos60°cos10°cos10°/9

（II）∵

f(g(x)

恒成立，即

logx2)a

恒成立，∴

xlog(2aa

。………………分又∵

0

，

x2]

，∴

xx

，………………8tx

∴恒成立，………………分∴

t

。………………10分令

y

17xx)([,2])

，∴

y

max

。………………11分故实数的值范围为[2,………………分例5/9

例6例7【解析】因为等腰直角△

AOB

内接于抛物线

y2p0)

，

O

为抛物线的顶点，

OB

所以，可设

ABC

a

a

代入

y2Px

P

物线的方程为

y4

，所以

，则

x

，设

t

x

，则