四川省内江市2023届高三第一次模拟考试数学（理）试题【含答案】

内江市高中2023届第一次模拟考试题数学（理科）1.本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上.3.考试结束后，监考员将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.复数满足，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算和模长公式计算即可.【详解】由可得，所以．故选：A2.设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简集合,求出即得解.【详解】解：，所以，，所以.故选：D3.此次流行的冠状病毒为一种新发现的冠状病毒，国际病毒分类委员会命名为.因为人群缺少对新型病毒株的免疫力，所以人群普遍易感.为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生日常防控意识，现从该校随机抽取名学生参加防控知识测试，得分（分制）如图所示，以下结论中错误的是（）A.这名学生测试得分的中位数为B.这名学生测试得分的众数为C.这名学生测试得分的平均数比中位数大D.从这名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握较好【答案】D【解析】【分析】根据统计图可依次计算中位数、众数和平均数，由此依次判断各个选项即可.【详解】对于A，这名学生测试得分的中位数为得分从小到大排列后，第和名学生成绩的平均数，由统计图可知：中位数为，A正确；对于B，由统计图可知：这名学生测试得分的众数为，B正确；对于C，这名学生测试得分的平均数为，即平均数比中位数大，C正确；对于D，这名学生测试得分的平均数、众数、中位数均较低，由此可预测该校学生对疫情防控的知识掌握的不够好，D错误.故选：D.4.已知向量，，若与的夹角为，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示可构造方程求得的值，根据投影的定义可直接求得结果.【详解】，，当时，，解得：；若，不合题意，；当时，，解得：（舍）；综上所述：，，在方向上的投影为.故选：C.5.的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，，则（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理角化边，可求得c的值，再由余弦定理即可求得答案.【详解】解：因为，所以，即.又，所以，由余弦定理得,从而.故选：B6.已知数列满足：，点在函数的图象上，记为的前n项和，则（）A3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】由以及解析式求出，再由得出答案.【详解】由题得，解得，故，所以故选：A．7.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.8.习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据：，）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知关系可构造不等式，利用指数与对数互化可得，结合换底公式和对数运算法则可求得的最小值.【详解】设排放前需要过滤次，则，，，又，，即排放前需要过滤的次数至少为次.故选：C.9.“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排列组合与概率的定义，进行计算即可【详解】4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同排法有种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有种，所以所求概率故选：B10.已知函数，若函数在上单调递减，则不能取（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简，得，求出函数的单调递减区间为，再根据，得，，再分别令，，，求出整数，由此可得答案.【详解】因为，由，，得，，所以函数的单调递减区间为.又函数在上单调递减，所以，所以，，因为，所以，，当时，得，得，不成立；所以不可取；当时，得，得，因为，所以时，可取到；当时，得，得，因为，所以时，可取到；当时，得，得，因为，所以时，可取到.综上所述：不能取.故选：A11.已知函数，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将化为，比较的大小关系即可得答案.【详解】函数的定义域为，，故为偶函数，当时，，令，则，即单调递增，故，所以，则在时单调递增，由于因为，而，，即，则，故选：B12.已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，由可得，利用导数可确定与图象的位置关系，进而得到与有三个不同交点，并根据图象可确定三个交点，采用数形结合的方式可确定与、和的交点总数，即为所求的零点个数.【详解】设，令可得：；设与相切于点，，切线斜率为，则切线方程为：，即，，解得：，；设与相切于点，，切线斜率为，则切线方程为：，即，，解得：，；作出与图象如下图所示，与有三个不同交点，即与有三个不同交点，设三个交点为，由图象可知：；与无交点，与有三个不同交点，与有两个不同交点，的零点个数为个.故选：A.【点睛】方法点睛：求解函数零点个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根的个数，即为所求零点个数；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4.小题，每小题5分，满分20分.）13.若实数满足不等式组，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】根据不等式组可作出可行域，将问题转化为直线在轴截距最小值的求解，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】根据不等式组可得可行域如下图阴影部分所示，当取得最小值时，直线在轴截距最小，由图象可知：当过时，在轴截距最小，.故答案为：.14.的展开式中的常数项为___________.（用数字作答）【答案】50【解析】【分析】根据，再分别根据二项式定理求解中的常数项与项即可【详解】因为，考虑中的常数项与项.由通项公式，即，故当时，中的常数项为，当时，中的项系数为，故的展开式中的常数项为故答案为：15.已知是定义域为的奇函数，且对任意的都有，当时，有，则________.【答案】【解析】【分析】先求出函数的周期为2，再利用函数的周期和奇偶性得解.【详解】解：由题得，所以函数的周期为2.所以.故答案为：16.已知实数a，b满足，则a、b满足的关系有__________.（填序号）①；②；③；④.【答案】①③【解析】【分析】对于①，先得到，再利用基本不等式判断得解；对于②③，利用作差比较即得解；对于④，先作差，再求出，即可判断得解.【详解】解：，，，对于①，，所以（由于，所以不能取等）.所以该命题正确；对于②，由得，因为.，所以，所以该命题错误；对于③，，所以，所以该命题正确；对于④，,，，所以，所以，所以，所以，所以该命题错误.故答案为：①③【点睛】关键点睛：这道题关键是如何处理④，利用作差法得到，然后用利用，得到，即可求解三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.第届北京冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某中学共有学生：名，其中男生名，女生名，按性别分层抽样，从中抽取名学生进行调查，了解他们是否参与过滑雪运动.情况如下：参与过滑雪未参与过滑雪男生女生（1）若，，求参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率；（2）若参与调查的女生中，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生少人，试根据以上列联表，判断是否有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.附：，.【答案】（1）（2）没有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”【解析】【分析】（1）根据分层抽样原则可确定抽取的名学生中，女生有人，由此可列举出所有可能的取值结果，并确定的取值结果，根据古典概型概率公式可求得结果；（2）根据可求得的值，进而得到，由列联表可求得，对比临界值表可得结论.【小问1详解】根据分层抽样原则知：抽取的名学生中，女生有人，若，，则所有可能的取值结果有，，，，，，，，，共个；其中满足的有，，，，共个，参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率为.【小问2详解】由（1）知：，又，，，，，没有的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”.18.已知向量，，设函数.（1）若，求的值；（2）设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且________，求的取值范围.从下面两个条件中任选一个，补充在上面的空隔中作答.①；②；注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）选①和②答案都是.【解析】【分析】（1）结合向量坐标乘法及三角恒等变换，将化简成，再解方程求出的值即得解；（2）结合正弦定理、三角恒等变换及三角形角的范围，可解出的值，即可求出的范围，即可求出的取值范围.【小问1详解】解：因为，，所以，当时，，所以或.所以或.当，时，；当时，.综合得.【小问2详解】解：若选①，由正弦定理可得，即，即，由于，所以，解得，由于，得，所以，所以，得，即的取值范围是.若选②，由正弦定理可得，即，由于，所以，由于，得，所以，所以，得，即取值范围是.19.数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把递推关系式里的换成得到一个新的递推公式，两个递推相减可得到.(2)裂项相消求和，然后求和的范围.【小问1详解】当时，①②②减①得：经检验也符合综上：【小问2详解】又因为，又因为恒成立，即或所以的范围为20.已知函数.（1）求在区间上的最值；（2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.【答案】（1）最大值，最小值；（2）.【解析】【分析】（1）求导得到函数的单调性，根据单调性求得函数的极值和端点值，比较可得函数的最值；（2）设切点，进而得方程有3个根，然后构造函数利用单调性、极值求解即得．【小问1详解】∵，，由解得或，由解得，又，所以在上单调递减，在上单调递增，又，∴的最大值是，最小值是；【小问2详解】设切点，则，则切线为，∴整理得，由题意知此方程应有3个解，令，则，由解得或，由解得，∴函数在，上单调递增，在上单调递减，∴当时，有极大值，且极大值为，当时，有极小值，且极小值为；要使得方程有3个根，则，解得，∴实数的取值范围为．21.已知函数.（1）当时，求的单调递增区间；（2）若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，求的取值范围.【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）求导后，根据正负可确定的单调递增区间；（2）求导后，根据正弦函数对称性可知且，并可确定的单调性，由此可得，进而将化为，令，，利用导数可求得单调性，进而确定的取值范围，即为的取值范围.【小问1详解】当时，，则，当时，；当时，；的单调递增区间为和.【小问2详解】，若有两个极值点分别为，则，关于对称，且当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，，，，又，，，令，，，当时，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，又，，，即的取值范围为.【点睛】思路点睛；本题考查利用导数求解函数的单调区间、函数极值相关问题的求解；本题求解取值范围的基本思路是将问题转化为关于变量的函数的形式，结合的范围，可求得函数的值域，即为所求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.