2022-2023学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二年级上册学期11月期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的除法运算与加法运算直接计算求解即可.【详解】解：因为，所以.故选：A．2．已知椭圆的焦距为4，离心率，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题知，，进而结合求解即可得答案.【详解】解：因为焦距为，即，所以，又因为，所以，所以椭圆的标准方程为：．故选：D3．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（）（参考数据：，）A．22.2% B．43.8% C．56.02% D．77.8%【答案】D【分析】根据列方程，结合指数、对数运算求得正确答案.【详解】依题意，，，，.故选：D4．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断.【详解】由题意，若，则，解得或，经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件，故选：C．5．在平行六面体中，点E为的中点，点F为的中点，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，利用空间向量的线性运算求出，再联立即可求解.【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．设，则．所以，所以．故选：．6．为迎接“二十大”的召开，某校高二年级举行了阅读比赛，甲同学有3本阅读书籍，分别标号为1，2，3；乙同学有5本阅读书籍，分别标号为1，2，3，4，5；丙同学有7本阅读书籍，分别标号为1，2，3，4，5，6，7，现从三个同学手中各抽取一本阅读书籍，标号为，则为偶数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件先求出总的可能情况数，然后对为偶数进行分类讨论即可求出结果.【详解】从三个同学手中各随机抽取一本书可分为三步完成：第一步从甲同学手中取一本书，有3种方法，第二步从乙同学手中取一本书，有5种方法，第三步从丙同学手中取一本书，有7种方法，由分步乘法计数原理可得共有种方法.事件“为偶数”等价于都为偶数或中有一个为偶数，两个为奇数．其中“事件都为偶数”包含基本事件，即6个基本事件；事件“为偶数，为奇数”包含个基本事件，即12个基本事件；事件“为偶数，为奇数”包含个基本事件，即16个基本事件；事件“为偶数，为奇数”包含个基本事件，即18个基本事件；所以事件“为偶数”包含的基本事件数为，即52个基本事件，所以．故选：B．7．设函数，方程恰有5个实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，得到.若方程恰有5个实数解，只需函数在区间上恰好有5个，使得，从而确定在上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立求解即可.【详解】当时，，因为函数在区间上恰好有5个，使得，故在上恰有5条对称轴．令，则在上恰有5条对称轴，如图：所以，解得．故选：B．8．设点F为椭圆的右焦点，点M是圆上的动点（y轴右侧），过点M作圆O的切线，交椭圆于A，B两点，若的周长为，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，分别计算、，得到，同理，从而得到的周长是，推出，最后利用离心率公式可求.【详解】如图，，设，则，所以，同理．所以的周长是，又因为的周长是，所以，所以椭圆离心率为.故选：D．二、多选题9．已知圆与直线，则（

）A．圆的圆心坐标为 B．直线与圆可以相切C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆相交且所截最长弦长为4【答案】AC【分析】由圆的标准方程确定圆心，由直线过圆内一点确定直线与圆相交，由直线与圆的位置关系确定最短弦长和最长弦长.【详解】对于A选项，已知圆，圆的圆心坐标为，A选项对；对于B选项，直线过定点，因为，所以，点在圆内，直线与圆必相交，B选项错；对于C选项，记圆心为，定点，则，当直线与直线垂直时，圆心C到直线的距离最大，此时直线截圆所得弦长最小，此时弦长为，C选项对；对于D选项，直线不过，故不过圆心，所截弦长不可能为4，选项D错．故选：AC．10．已知函数，则（

）A．函数图像关于y轴对称B．当时，函数在上单调递增C．当时，函数有最大值，且最大值为D．若恒成立，则实数a的取值范围为【答案】ACD【分析】判断函数是否为偶函数，验证选项A；根据条件，判断复合函数单调性，求取最值，验证选项BC；恒成立转化为，利用BC选项的结论计算实数a的取值范围，验证选项D.【详解】对于A，的定义域为，则，故是偶函数，因此图像关于y轴对称，故A正确；对于B，当时，，令，则，当时，单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函教的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C，当时，当时，由于单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为，故C正确；对于D，由题可知，恒成立，即，当时，不合题意，故，只要，又，故，即，D正确.故选：ACD．11．已知点F为抛物线的焦点，直线l过点交抛物线C于两点设点O为坐标原点，，直线与y轴交于点M，则（

）A．若直线的斜率为2，则B．若，则C．若，则面积的最小值为D．无论m取何值，恒成立【答案】ACD【分析】利用点差法即可求得即可判断A，利用韦达定理求出可判断B，利用基本不等式可判断C，利用点斜式方程结合斜率的关系可判断D.【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．对于A，A，B两点的坐标代入：，，两式相减，，所以，即，A正确．对于B，若直线的斜率不存在，则，，若，则，若直线的斜率存在，设直线，由得，从而有，则，所以，若，则，B错误．对于C，若，则，不妨设，则（当且仅当时取等号），即面积的最小值为，C正确．对于D，直线的斜率为，所以直线的方程为，令得，即点M的纵坐标为，即，则直线的斜率，所以，即，D正确．故选：ACD．12．如图，所在平面和四边形所在平面垂直，，，，，，若，点M为的中点，则（

）A．四面体的体积为定值B．点P在内的轨迹是椭圆的一部分C．点M到直线的距离d的取值范围是D．一定存在点P，使与所成角的余弦值为【答案】BCD【分析】根据，可得，再根据点的位置和椭圆的定义即可判断选项B；结合选项B的结论得到的面积不固定，利用体积的计算公式即可判断选项A；取的中点为N，连接，结合已知条件和中位线定理得到，再利用椭圆的性质即可判断选项C；【详解】对于B，由题意知，所以，所以．由椭圆定义知，，点P在平面内的轨迹是椭圆的一部分（除去与共线时的点）．故B正确；对于A，因为点P在椭圆上运动，的面积不固定，而点M到平面的距离为，所以不为定值．故A错误；对于C，如图，取的中点为N，连接，则，且知，，因为点P在椭圆上运动，其，故，即，从而有．故C正确；对于D，如图，因为所在平面和四边形所在平面垂直，所以在平面内，过的中点作垂直的直线为轴，以所在直线为轴，在平面内，过的中点作垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，在平面内，不妨设点P的轨迹方程为，故设，且，设直线与直线所成角为，则，，则向量与的夹角或其补角即为直线与直线所成角为所以．设，则，所以原式，而，故存在，点P满足要求，故D正确．故选：BCD．三、填空题13．已知，则直线必过定点_______【答案】【分析】将已知条件代入直线方程即可求出定点.【详解】因为，所以，整理得，即直线必过定点．故答案为：．14．过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点（点A在第一象限，过点B作x轴的平行线交准线于点D，连接，则直线的方程为____________．【答案】【分析】由直线与抛物线的方程联立，求得两点的坐标，进而求得点坐标，从而求得直线的方程.【详解】因为抛物线的焦点坐标是，所以，即抛物线的标准方程为，因为直线过抛物线的焦点，且倾斜角为，所以直线方程为．联立两方程可知，又因为点A在第一象限，所以有，根据题意可知，求出，所以直线的方程为．故答案为：15．若点O是锐角的垂心，且，则的面积为____________．【答案】【分析】由，再结合垂心的性质，可得，结合三角形的面积公式即可.【详解】由题意可得：点O是的垂心．根据题意可知，所以，即．故答案为：16．已知点分别为曲线的左、右焦点，点P为曲线C与曲线正在第一象限的交点，直线l为曲线C在点P处的切线，若点M为的内心，直线与直线l交于点N，则，点N的横坐标为____________．【答案】2【分析】由题意可得两曲线的焦点，先求出P的坐标，得出切线方程，求出的内切圆的半径、直线的方程，联立切线方程求出N的横坐标，即可得出结论．【详解】由题意可得曲线C，曲线E有相同的焦点，且，在中，内切圆圆心M，设各边的切点分别为A，D，Q（A为双曲线的右顶点，如图），所以，可得，联立消去y可得，设，且，所以直线l的方程为①，设的内切圆的半径为r，则由等面积可得，即，所以②，由，可得直线的斜率为，直线的方程为③．联立①②③，化简可得，得．故答案为：2四、解答题17．一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．(1)求两次取到的球颜色相同的概率．(2)如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n的值．【答案】(1)(2)5【分析】(1)分取出的两球均为红色和均为白色两类计算概率，然后加起来即可求解；(2)根据题意，先求出第二次取到红球的概率，建立方程，解之即可求解.【详解】（1）若取出的两个球均为红球，则概率为：，若取出的两个球均为白球，则概率为：，所以两次取到的球颜色相同的概率为：．（2）第二次取出红球的概率为：，即，解得：或（舍去），故n的值为5．18．已知，点P满足：．设点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程．(2)若直线l过点且与曲线C有两个不同的交点，求直线l斜率的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据双曲线的定义可知曲线C是以为焦点，的双曲线的左支．从而确定即可求方程；(2)设直线l的方程为，联立直线方程和曲线方程，整理，结合两个交点情况可求.【详解】（1）由题可得：曲线C是以为焦点，的双曲线的左支．则，由，得：，故曲线C的方程为．（2）显然直线的斜率存在，设直线l的方程为；令直线l与曲线C的两个交点分别为．联立得．①当，即时，直线l与曲线C至多有一个交点，不符合题意．②当，即时，．又直线l与曲线C有两个不同交点，则，且，解得：．所以直线l斜率的取值范围为．19．如图，已知点，圆与x轴的负半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B，交y轴于点C．(1)若，求直线l的方程．(2)设的中点为M，若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】(1)先设再由求出,进而写出直线方程;(2)先设直线方程,再求圆心到直线距离,根据垂径定理求出弦长,再计算得到三角形面积.【详解】（1）解法一：设，由题意知，，所以或．经检验，当时，直线l的方程为，此时直线l与圆O相离，不符合题意，故舍去．即，所以直线l的方程为，即．解法二：设直线l的方程为，则，由，得，则，所以，即，解得或，经检验，当时，直线l的方程为，此时直线l与圈O相离，不符合题意，故舍去．所以，此时直线l的方程为，即．（2）当直线轴时，不合题意，设直线l的方程为，因为点M为弦的中点，点O为圆心，所以，所以在中，由，得，即，所以，即直线l的斜率，从而有直线l的方程为．故圆心到直线l的距离，点Q到直线l的距离，所以．20．设的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知．(1)证明：．(2)已知，当外接圆面积最小时，求B．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，利用同角三角函数的关系、两角和的正弦公式、三角形内角和公式，化简得，讨论可得结果；（2）利用三角形内角和公式和（1）中的结论，得，利用正弦定理和三角形面积公式可得，当最小时，可求B的值．【详解】（1）由，由题可得：且，则，又，则或，当时，不符合题意，故得证．（2）由，则：且，由正弦定理可得：．由，又，得．由，故．所以，当且仅当即时等号成立，此时外接圆面积最小．所以．21．如图1，在矩形中，已知点E为线段的中点，，若点P为线段上的一点，将沿折起，使得点D在平面上的投影为点E，如图2．(1)求的长度．(2)求平面与平面所成夹角的余弦值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）不妨设的长度为，利用线面垂直个勾股定理可得，然后在中利用勾股定理即可求解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）不妨设的长度为，由点E为的中点，故．由题可得：平面，又平面，故．在中，由，则，故．在图中，设的中点为F，连接．在中，由，，则，由，在中，有，即，解得．故的长度为1．（2）以所在直线为x轴，以所在直线