2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三年级下册学期开学摸底考试数学（文）试题【含答案】

2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三下学期开学摸底考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合,则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解出集合,再根据并集概念求出结果即可.【详解】解:由题,由,则.故选:C2．设复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数乘法运算和共轭复数定义可求得，根据虚部定义可得结果.【详解】，，的虚部为.故选：A.3．“”是“直线：与直线：垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断．【详解】若，则，解得或.所以由可以得到，反之则不然，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．已知某公交车早晨点开始运营，每分钟发一班车，小张去首发站坐车，等车时间少于分钟的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由几何概型公式计算可得答案.【详解】由几何概型概率求法知所求概率.故选：.5．在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比数列通项公式，结合可直接构造方程求得结果.【详解】，，由，得：，即，解得：.故选：B.6．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的倍角公式，以及同角三角函数的关系，进行化简求值即可得解.【详解】.故选：.7．在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出直线与所成角，并利用余弦定理求得其余弦值.【详解】取的中点为E，连接，，则，所以为与所成的角（或其补角）.设正四面体的棱长为，则，，，所以在中，.故选：C8．已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式可构造方程求得，进而得到离心率.【详解】由双曲线方程可知：双曲线的右焦点为，渐近线方程为，右焦点到一条渐近线的距离，解得：，双曲线的离心率.故选：D.9．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可比较出大小关系.【详解】，.故选：B.10．已知过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，过点作轴，垂足为，连接交轴于点，若的面积为，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用抛物线的几何性质可得，，再根据三角形的面积公式列方程求解即可.【详解】由抛物线的几何性质可，，将代入可得，，又，所以的面积为，解得.故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，可得.设可得数列为等差数列，其公差为，然后求出，即可得到，即可求解【详解】由，得，可得.设，可得数列为等差数列，其公差为，由，，可得，，,所以，故，所以.故选：.12．定义：区间的长度为.已知函数的定义域为，值域为，记区间的最大长度为，最小长度为.则函数的零点个数是（

）A．1 B．2 C．0 D．3【答案】C【分析】根据函数的定义域和值域结合新定义，求出，再利用导数求出函数的单调区间和最值即可得出答案.【详解】由已知可得，解得，区间的最大长度为，最小长度为，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以不存在零点.故选：C.二、填空题13．已知向量，若，则__________.【答案】0【分析】根据向量线性运算的坐标计算即可求解.【详解】由题意知，又，所以，解得,故答案为：014．若x，y满足约束条件，则的最小值为___________.【答案】【分析】首先画出可行域，设，根据的几何意义求的最小值.【详解】设，则，求z的最小值，即求直线纵截距的最大值，作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，由可得，所以.故答案为:.三、双空题15．函数的最小正周期为__________；若函数在区间上单调递增，则的最大值为__________.【答案】

2

##0.25【分析】根据正弦型函数的周期公式即可求解周期，根据单调性即可列不等式求解.【详解】，故，当时，，故，解得,故的最大值为.故答案为：2，四、填空题16．已知正三棱锥的四个顶点都在球上，外接圆的半径为，三棱锥的体积为，则球的表面积为__________.【答案】##【分析】设的外接圆圆心为，由正棱锥结构特征可知平面，利用三棱锥体积可求得，分别讨论球心位于线段上和延长线上的情况，利用勾股定理可构造方程求得球的半径，代入球的表面积公式即可.【详解】三棱锥为正三棱锥，为等边三角形，设的外接圆圆心为，则平面，由正弦定理得：，解得：，，，解得：；设三棱锥的外接球半径为，当球心位于线段上时，如图所示，在中，，解得：（舍）；当球心位于延长线上时，如图所示，在中，，解得：.综上所述：球的半径，球的表面积.故答案为：.五、解答题17．在中，角的对边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若的面积为，，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得；（2）由三角形面积公式可求得，利用余弦定理可构造方程求得，由此可得三角形周长.【详解】（1）由正弦定理得：，，，，，则.（2），，由余弦定理得：，解得：，的周长.18．由于生活方式的改变，颈椎病不再是老年人的专属，越来越多的年轻人患上了颈椎病．现在的通讯设备发达，常常可以看到一群人在走路时、在吃饭时、在乘车时低着头玩手机，长期下来，就很容易使颈椎损伤，患上颈椎病．手机和颈椎病可以说是形影不离．某研究型学习小组调查研究“长期使用智能手机对颈椎病的影响”对名手机党调查得到部分统计数据如下表，规定：日使用手机时间超过小时为频繁使用手机，已知频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少人．非频繁使用手机频繁使用手机合计颈椎病人数非颈椎病人数合计（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；（2）运用独立性检验思想，判断是否有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响？附：，其中．【答案】（1），，表见解析；（2）有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响．【分析】（1）根据频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少人，频繁使用手机的人数与非频繁使用手机的人数之和为可算出的值，进而可填出其他空；（2）根据表中数据先算出，再结合观测值表可判断出结论.【详解】解：（1）因为频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少人，而频繁使用手机的人数与非频繁使用手机的人数之和为，所以频繁使用手机的人数为，非频繁使用手机的人数为，所以，．补全表中所缺数据如下：非频繁使用手机频繁使用手机合计颈椎病人数非颈椎病人数合计（2）根据题意计算观测值为，所以有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响．19．如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得，根据勾股定理可证得，由面面垂直和线面垂直的性质可证得结论；（2）由面面平行性质可知点到平面的距离即为点到平面的距离，利用体积桥，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）为中点，，，又，，，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）由三棱柱结构特征可知：平面平面，点到平面的距离即为点到平面的距离，又，.20．已知椭圆：的左焦点为，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过的直线交椭圆于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，由求解；（2）由题意知直线斜率存在，设其方程为，，，联立方程组，结合韦达定理，由求解.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则解得所以椭圆的方程为.（2）由题意知直线斜率存在，设其方程为，，，联立方程组代入消元并整理得：，，则，.，将，代入，整理得：，，将韦达定理代入化简得：.因为直线过点，所以，代入，得.21．函数.（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）求证：，时，.【答案】（1）（2）见解析【分析】(1)利用函数在区间单调递增，则其导函数在此区间大于等于零恒成立可得；(2)由第（1）问的结论，取时构造函数，得其单调性，从而不等式左右累加可得.【详解】（1）解：∵，，∴，∵在上为增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，∵，∴，∴的取值范围是.（2）证明：由（1）知时，在上为增函数，∴令，其中，，则，则，即，即，∴……，∴累加得，∴.【点睛】本题关键在于构造出所需函数，得其单调性，累加可得，属于难度题．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点，直线与曲线相交于点，，求的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用加减消元法、二倍角的余弦公式，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；（2）把直线的普通方程化成标准参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可.【详解】解：（1）由（为参数），所以.则直线的普通方程为：；由，所以又，，所以，则曲线的直角坐标方程为：.（2）由（1）可知：直线的参数方程标准形式为（为参数），将该方程代人曲线的直角坐标方程化简可得：，.设点，所对应的参数分别为，，所以，，则，，所以.23．已知函