2023届辽宁省名校联盟高三年级下册学期3月份联合考试数学试题【含答案】

2023届辽宁省名校联盟高三下学期3月份联合考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，化简集合，然后由交集的运算即可得到结果.【详解】由题意可得，集合，即集合中的元素是的倍数，集合，即集合中的元素是的倍数余，故既是的倍数，又是的倍数余，所以故选:B2．已知复数，（且），则对应的点在平面直角坐标系内的（

）A．轴上 B．轴上 C．一、二象限 D．三、四象限【答案】A【分析】化简复数，根据复数的几何意义可得对应点所在象限．【详解】，，，又，则对应的点在平面直角坐标系内的轴上故选：A3．抛物线绕其顶点顺时针旋转90°之后，得到的图象正好对应抛物线，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】采用逆向思考：即将抛物线将其绕顶点逆时针方向旋转，得到抛物线，也即是，进而即可求得的值.【详解】抛物线即的开口向上，将其绕顶点逆时针方向旋转，得到的抛物线开口向左，其方程为，所以，则，故选：.4．已知直线平面，下列说法正确的是（

）A．若直线，则平面 B．若直线，则平面C．若平面，则 D．若平面，则平面【答案】C【分析】根据直线与平面的位置关系判断A，根据直线与平面平行的判定定理判断B，根据面面平行的性质判断C，根据面面的位置关系判断D．【详解】A：若直线平面，且直线，则或，或与相交，故A错误；B：若直线平面，且直线，则或，故B错误；C：若直线平面，且平面，则必有，故C正确；D：若直线平面，且平面，则或与相交，故D错误，故选：C．5．已知，，若，，成等差数列，则（

）A．0或1 B．1或 C．1或 D．0或【答案】D【分析】设，根据，，分别表示出，，，再根据它们成等差数列，列出方程求出，即可得出答案．【详解】设，，，，，，又，，成等差数列，，即，化简得，，解得，或，故选：D．6．武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（

）A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种【答案】D【分析】先确定从5天中选3天排太极拳的排法情况，再分五天中有天既有太极拳又有形意拳，五天中有天既有太极拳又有形意拳，五天中有天既有太极拳又有形意拳，三种情况讨论，从而可得出答案.【详解】先从5天中选3天排太极拳，有种，然后再从所选的3天中选一节排太极拳有种，所以太极拳有种排法，若五天中有天既有太极拳又有形意拳，则哪一天重复有种，再从另外不重复的2天中每天选1天排形意拳，有种，再从剩下的4节课中选2节排长拳，有种，则另外2节排兵器，所以有种，若五天中有天既有太极拳又有形意拳，则哪两天重复有种，再从另外不重复的2天中排形意拳，有种，再从剩下的4节课中抽2节课排长拳，有种，则另外2节排兵器，但排在同一天不合适，所以有种，所以共有种，若五天中有天既有太极拳又有形意拳，则剩下的4节课中选2节排长拳，有种，再去掉排同一天的种，所以有种，综上所述：共有种.故选：D.7．如图所示为某正弦型三角函数的部分图象，则下列函数不可能是该三角函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据图象知且为一个最小值，结合各选项解析式逐一判断.【详解】若某正弦型三角函数为，根据图象知：且为一个最小值，A：，，符合；B：，，不符合；C：，，符合；D：，，符合；故选：B8．已知，，，则下列排序正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先直接计算得的值，构造函数，利用导数研究其单调性得到，再利用二项式定理求得的值，从而得解.【详解】因为，，令，则，故在上单调递减，所以，即，故，因为，所以，即.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数证得，再利用二项式定理求得，从而得解.二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．一组数据的众数和中位数可能相同B．若事件发生的概率，事件发生的概率，则C．一组数据，，，，，若，则是这组数据的75%分位数D．若随机变量服从正态分布，则【答案】AC【分析】对于A，举特殊例子即可判断；对于B，由独立事件的概率公式即可判断；对于C，利用分位数的定义即可判断；对于D，利用正态分布曲线的对称性即可判断.【详解】对于A，取一组数据为，易得其众数和中位数都为，故A正确；对于B，只有当事件为相互独立事件时，才有，故B错误；对于C，根据分位数的定义得，，则第个数为75%分位数，故C正确；对于D，当时，，，即，故D错误.故选：AC.10．下列能使式子最小值为1的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由得出，结合不等式“1”的妙用，即可求出的最小值为1，判断出A正确；由得，代入，结合基本不等式，即可判断出B错误；假设，则，即可判断出C错误；由，设，，，代入化简，结合的范围，即可得出当即时，取得最小值1，即可判断D正确．【详解】对于A：当，则，则，则，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B：由得，，则，当且仅当时，即时，等号成立，故最小值为，故B错误；对于C：假设，则，故C错误；对于D：，，且，即，，由得，，设，，即，，，，即，则，，，当，即，时，取得最小值1，故D正确，故选：AD．11．在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（

）A．若，则点的轨迹不可能经过的外心B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心C．若，则点的轨迹不可能经过的重心D．若，，则点的轨迹一定过的外心【答案】ABD【分析】由，结合向量共线的推论判断的轨迹，讨论形状判断A、B正误；根据重心的性质得判断C；根据题设确定，，点的轨迹，讨论形状判断D.【详解】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，中，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；中或，则或为三角形垂心，故有可能为垂心，B错；若为的重心，必有，此时，C对；若，，结合，则点在一个以AB、AC为邻边的平行四边形内（含边界），为锐角三角形，其外心在内，则必过外心；为直角三角形，其外心为斜边中点，则必过外心；为钝角三角形且，其外心在外，即边的另一侧，如下图示，点在平行四边形内（含边界），此时，当外心在内（含边界），则必过外心；当外心在外（如下图为的中垂线），则不过外心；所以，，，的轨迹不一定过的外心，D错.故选：ABD12．已知函数（且），下列说法正确的是（

）A．为偶函数B．为非奇非偶函数C．为偶函数（为的导函数）D．若，则对任意成立【答案】ACD【分析】先证明函数为奇函数，再根据函数奇偶性的定义即可判断AB；求出函数的导函数，再根据函数奇偶性的定义即可判断C；易得，再根据，可得，即可判断D.【详解】因为，所以的定义域为，因为，所以，所以为奇函数，对于A，因为，所以为偶函数，故A正确；对于B，因为，所以为奇函数，故B错误；对于C，，因为，所以为偶函数，故C正确；对于D，因为，所以，因为，所以，又，，所以，即，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛，解决本题AB的关键在于证明为奇函数，解决D选项的关键是由，结合换底公式转化.三、填空题13．的展开式中第二个有理项为______．【答案】【分析】求出展开式的通项，由题意可得的指数为整数，从而可得出答案.【详解】的展开式的通项为，要使第项为有理数，则，则可取，所以的展开式中第二个有理项为.故答案为：.14．已知在数列中，，，则______．【答案】【分析】根据递推关系得到、............、及、，......、，进而得，即可求值.【详解】由，，，，，，，，......,所以，，即，同理得、......、；，即，同理得，......、；综上，.故答案为：15．已知，，，则“”是“，，为某斜三角形的三个内角”的______．（横线上可以填：“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”）【答案】必要不充分条件【分析】根据充分、必要性的定义，结合三角恒等变换及斜三角形内角的性质判断条件间是否有推出关系即可.【详解】由，即，所以，则，即，又，，则，而，此时或，且，充分性不成立；由，，为某斜三角形的三个内角，即且均不为直角，则，所以，则，整理得，必要性成立；综上，“”是“，，为某斜三角形的三个内角”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件16．如图所示圆锥，为母线的中点，点为底面圆心，为底面圆的直径，且，，的长度成等比数列，一个平面过，，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为______．【答案】##【分析】令，由等比数列性质可得，进而确定圆锥轴截面为等腰直角三角形，并求出椭圆长轴长的长度，根据圆锥的结构特征找到椭圆短轴长，最后应用椭圆离心率定义求离心率.【详解】令，则，又，，的长度成等比数列，所以，即，由题意，显然，在直角△中，则，所以△为等腰直角三角形，故圆锥轴截面为等腰直角三角形且，所以，即椭圆长轴长，则，轴截面如下图示：该椭圆的短轴与圆锥底面平行，过作交于，交于，则，为中点，所以为中点，即为椭圆中心，过作交于，则椭圆短轴，综上，有△△均为等腰直角三角形，故，则，同理△△，故，则，，所以，即，综上，椭圆离心率为.故答案为：【点睛】关键点点睛：注意短轴长为过长轴长中点平行于轴截面底边并与母线相交所成的线段长度.四、解答题17．已知在中，，，为内角，，所对的边，，且．(1)求与；(2)若，过作边的垂线，并延长至点，若，，，四点共圆，求的长．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由及正弦定理边角关系可得，结合差角正弦公式求角的大小即可；（2）由四点共圆及正弦定理知，结合圆的性质、差角正弦公式求边长即可.【详解】（1）由题设，而，则，所以，即，故，而，则，即，.（2）设垂线的垂足为，而，则，又，，，四点共圆，则，且，，由，所以.18．已知数列，，点分布在一条方向向量为的直线上，且，．请在①数列的前项和为；②数列的前项和为；③数列的前项和为三个条件中选择一个，解答下列问题．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据直线方向向量及所过的点得，结合所选的条件及关系求通项公式即可；（2）由题意，应用分组求和及等比数列前n项和公式求.【详解】（1）由题设直线斜率为2，且过，则，故，选①：前n项和，当，，当，满足上式，所以；选②：的前项和，当，，当，满足上式，所以；选③：的前项和，当，，当，满足上式，所以；（2）由（1）知：，所以，19．如图所示的几何体为一个正四棱柱被两个平面与所截后剩余部分，且满足，，．(1)当多长时，，证明你的结论；(2)当时，求平面与平面所成角的余弦值．【答案】(1)时，，证明见解析(2)【分析】（1）将正四棱柱补全为，取为中点，连接，由平行四边形性质有，结合已知和△△即证明；（2）构建空间直角坐标，求平面与平面的法向量，应用空间向量求夹角的余弦值.【详解】（1）当时，，证明如下：将正四棱柱补全为，则均为正方形，又，所以底面边长为2，又且，所以分别为中点，取为中点，连接，则且，即为平行四边形，因为，又，，所以，所以△△，所以且，所以，所以，又，故.（2）由可知，（1）中补全正四棱柱为正方体，构建空间直角坐标，如下图，则，所以，设是平面的一个法向量，则，令，则；设是平面的一个法向量，则，令，则；所以，故所求角的余弦值为.20．随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑（俗称“笔记本”）也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了50人做调查研究，调查数据如下表所示．男性女性合计喜欢“台式机”20525喜欢“笔记本”101525合计302050(1)是否有99%的把握认为喜欢哪种机型与性别有关？(2)该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108人，按分层抽样选出12人，又随机抽出3人的调查结果进行答谢，这3人中的青年人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望．附：，其中．0.100.050.0250.012.7013.8415.0246.635【答案】(1)有的把握认为喜欢哪种机型与性别有关(2)分布列见解析，【分析】（1）求出，再对照临界值表即可得出结论；（2）先根据分层抽样求出各层人数，再写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【详解】（1），所以有的把握认为喜欢哪种机型与性别有关；（2）由题意，，所以人中有青年人人，中年人人，老年人人，则的所有可能取值为，，，，，则分布列为：.21．已知双曲线，焦距为，一条渐近线斜率为．(1)求的方程；(2)已知为坐标原点，为上的一个动点，过作，垂直于渐近线，垂足分别为，，设四边形的面积为．过作，分别平行于渐近线，且与渐近线交于，两点，设四边形面积为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据，渐近线为，即可求出双曲线的方程；（2）根据题意画出图像，得出，设点的坐标为，表示出，，即可表示出，同理表示出，再根据，即可求出的取值范围．【详解】（1）∵一条渐近线斜率为，焦距为，∴，，∴，即，解得，，，∴双曲线的方程为．（2）不妨设点在双曲线右支上，按要求作出图像，如图所示，易得，，设点的坐标为，则，由题可知，直线的方程为，直线的方程为，设直线的倾斜