2023届河南省洛阳市第八高三年级下册学期开学摸底考试数学（理）试题【含答案】

2023届河南省洛阳市高三下学期开学摸底考试数学（理）试题一、单选题1．设集合，，，则A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}【答案】D【分析】先求，再求．【详解】因为，所以.故选D．【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2．已知复数z满足，则复数的模是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】计算，得到，再计算模长得到答案.【详解】，故，的模为，故选：A3．已知向量，，，若，则（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】D【分析】因为向量，所以，代入坐标运算即可．【详解】因为向量，，所以，因为，所以，可得，故选：D．4．在数列中，，且，则的通项为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解：∵，∴，由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．故选：A5．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B6．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】模拟执行程序，依次计算可得.【详解】当输入的时，S=0，K=1，K6；S=1，，K=2，K6；S=，，K=3，K6；S=2，，K=4，K6；S=，，K=5，K6；S=3，，K=6，K6；S=，，K=7，K6，输出S=.故选：D7．在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.选项BCD解法二：解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，在内，作于点，在内，作，交于点，连结，则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得，从而有：，据此可得，即，据此可得平面平面不成立，选项B错误；对于选项C，取的中点，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；故选：A.8．已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题干可判断数列为等比数列，通过题干中的条件可求得的通项公式，代入数列中，利用分组求和法及等比数列求和公式进行求解.【详解】因为，故数列为等比数列，又，所以；则；所以.故选：D.9．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C． D．【答案】D【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．10．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的2倍，如图所示.假设现在青蛙在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论．【详解】由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是.青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径：第一条，按，此时停在叶上的概率；第二条，按，此时停在A叶上的概率.所以跳三次之后停在叶上的概率.故选：A【点睛】本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键．11．已知双曲线的下、上焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为.若恒成立，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作渐近线的垂线，垂足为，则，再根据双曲线的定义得，进而转化为恒成立，再根据齐次式求解即可.【详解】解：如图，过点作渐近线的垂线，垂足为’设，则点到渐近线的距离.由双曲线的定义可得，故，所以，即的最小值为，，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解得.故选：A.12．已知定义在上的偶函数满足，且当，，则下面结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性、单调性和周期性来求解即可.【详解】由，知是周期函数，且周期为6，∴，∵，∴，∴，又，易知在内单调递增，所以.故选：A．二、填空题13．某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲､乙､丙､丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲､乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为___________.【答案】【分析】计算出基本事件总数及满足条件的有利事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【详解】由题意可得，甲、乙二人抢到的金额的基本事件总数为，，，，，共6种，“甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元”包含，，共3种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率.故答案为：．14．若直线与圆相离，则的取值范围是__________．【答案】或【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于半径可求解.【详解】设圆心到直线的距离为,则,圆的半径,因为直线与圆相离,所以,即,所以,解得或故答案为：m＞2或m＜-215．设函数，直线为图像的对称轴，为的零点，且的最小正周期大于，则_________．【答案】##【分析】利用正弦函数的图像和性质求解即可.【详解】因为函数的最小正周期大于,所以，，又因为直线为图像的对称轴，为的零点，且，所以，解得，将零点代入得，所以，解得，，又因为，所以当时，.故答案为：16．已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为_________.【答案】【分析】由题知，进而将问题转化为函数与函数的图象恰有2个公共点，再结合导数几何意义求解切线，数形结合求解即可.【详解】解：由得，由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，作出函数的图象，如图，再作出直线，它始终过原点，设直线与相切，切点为，由知，切线斜率为，切线方程为，把代入得，所以切线斜率为，设与相切，则，所以，，解得舍去），由图可得实数m的取值范围是或.故答案为：三、解答题17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．【详解】（1）由于，，则．因为，由正弦定理知，则．（2）因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．18．如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得；（2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出．【详解】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，则，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为由，得，取，设直线与平面所成角为，∴．19．近年来，国民经济的增长和社会结构的变化推动宠物饲养成为很多人精神消费的主要方式，使得近几年中国宠物市场规模逐年增长，下表为2016～2020年中国宠物市场规模y（单位：千亿元），其中2016～2020年对应的年份代码x依次为1～5．年份代码x12345宠物市场规模y/千亿元1.221.341.782.212.95(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年中国宠物市场规模．参考数据：，，，．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】(1)说明见解析(2)，市场规模为3.632千亿元【分析】（1）根据参考数据、参考公式计算相关系数，即可得出结论；（2）根据参考数据计算，再由直线过求出，即可得出回归直线方程，代入可预测2022年中国宠物市场规模.【详解】（1）由题意得，，，，，，∴．因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）由（1）得，，所以y关于x的线性回归方程为，2022年对应的年份代码为7，代入，得，所以预测2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元．20．已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．(1)求椭圆C的标准方程(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)标准方程为．(2)直线l过定点【分析】（1）由三角形的中位线性质可得四边形OMPN的周长即为2a，椭圆的右顶点到右焦点的距离为a－c，联立即可得椭圆方程；（2）分类讨论斜率存在与斜率不存在，当斜率存在时设出直线方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，再由可得k与m的关系式，将其代入直线方程可得定点，当斜率不存在时，代入计算即可.【详解】（1）M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，，四边形OMPN的周长为，，，，椭圆C的标准方程为．（2）设，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入，整理得，则，．易知，，化简得，或(舍去)，直线l的方程为，即，直线l过定点．当直线l的斜率不存在时，设，代入，解得，由得，，解得或(舍去)，此时直线l过点．综上，直线l过定点．【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．21．已知函数在处的切线方程为.(1)求实数a的值;(2)设的一个正根为m，当，且时，证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出，利用导数的几何意义求出的值，即可求出的值；（2）先构造函数，求出零点所在的范围，再构造函数、，利用导数研究函数单调性即可证明．【详解】（1），∴函数在处的切线的斜率，，解得；（2）令，则，在上单调递增.又，即的一个大于1的零点.令，则.设，则在上单调递减，，，在上单调递减，∴当，且时，，即，即，∴当，且时，．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)设l与C相交于A，B两点，点P是C上任意一点，求面积最大时点P的坐标.【答案】(1)；.(2).【分析】(1)利用极坐标和直角坐标之间的转化公式可求曲线C的直角坐标方程，消去参数可求直线l的普通方程；(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的最值讨论.【详解】（1）由，得.将代入上式，得，所以曲线C的直角坐标方程为.由（为参数），消去参