2022-2023学年湖南省衡阳市高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省衡阳市高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】化简集合即得解.【详解】由题得，所以.故选：B2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据不等式性质，结合特殊值，从充分性和必要性进行分析，即可判断和选择.【详解】取，满足，但不满足，故充分性不满足；当，根据不等式性质，则，故满足必要性；综上所述，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的取值范围求得的范围，即得所求【详解】因为，所以，所以的定义域为故选：A.4．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．函数是奇函数 B．函数的值域是C．函数在R上是增函数 D．方程有实根【答案】D【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断【详解】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误，对于B，当时，，由对勾函数性质知，而是偶函数，的值域是，故B错误，对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，而是偶函数，故在上单调递减，故C错误，对于D，当时，，即，解得，故D正确，故选：D5．已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分段函数每一段的单调性及端点值判断函数在定义域内的单调性，再利用单调性解抽象不等式即可.【详解】因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即实数的取值范围为：.故选：A.6．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据的值域为列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，，当时，，函数的值域与函数的值域相同，即为，需满足，解得.所以实数a的取值范围是.故选：B7．已知函数则下述关系式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减求解.【详解】解：∵，∴f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴.∵，∴，故选：A.8．已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据的最值点为，进而根据不等式得到，由的取值范围即可求解.【详解】当取最值时，．即，由题知，故．即．因为时，；时，；显然当时，，此时在上必有最值点．综上，所求．故选:D．二、多选题9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（

）A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期是C．的图象关于点对称 D．在上单调递减【答案】BCD【分析】根据余弦函数图象的平移变换可得的解析式，结合余弦函数的奇偶性、周期、对称性以及单调性一一判断各选项，即可得答案.【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则,该函数不是偶函数，最小正周期为，则A错误，B正确.令，，解得，，当时，，即的图象关于点对称，则C正确.令，，解得，，当时，即得在上单调递减，则D正确.故选：BCD.10．下列说法正确的是（

）A．若不等式的解集为，则B．若命题，则的否定为C．在中，“”是“”的充要条件D．若对恒成立，则实数的取值范围为【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解法可判断A；由全称量词命题的否定可判断B；由充要条件的判断可判断C；变元转化为一次函数恒成立可判断D【详解】对于A：不等式的解集为，则和是方程的两个根，故，解得，所以，故A正确；对于B：命题，则的否定为，故B正确；对于C：由可得，所以，又，所以或，所以“”不是“”的充要条件，故C错误；对于D：令，由对恒成立，则，解得，所以实数的取值范围为，故D正确；故选：ABD11．下列说法正确的是（

）A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角B．如果，是第一象限的角，且，则C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为【答案】AD【分析】由象限角的概念判断A；举反例判断B；由扇形弧长、面积公式计算判断C，D作答.【详解】对于A，是第一象限的角，即，则，是第四象限的角，A正确；对于B，令，，是第一象限的角，且，而，B不正确；对于C，设扇形所在圆半径为r，则有，解得，扇形面积，C不正确；对于D，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长，D正确.故选：AD12．已知函数，，，有，则实数a的可能取值是（

）A． B．1 C． D．3【答案】CD【分析】将问题转化为当，时，，然后分别求出两函数的最小值，从而可求出a的取值范围，进而可得答案【详解】，有等价于当，时，．当时，令，则，因为在上为增函数，在定义域内为增函数，所以函数在上单调递增，所以．的图象开口向上且对称轴为，∴当时，，∴，解得．故选：CD．三、填空题13．函数的定义域为___________.【答案】【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可.【详解】若使函数有意义，需满足：，解得；故答案为：14．函数的单调递减区间是______.【答案】【分析】先求得函数的定义域，结合二次函数、对数函数的单调性，利用复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数，令，即，解得，又由函数的对称为，可得在区间单调递增，在单调递减，又因为函数为定义域上的单调递减函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递减区间是.故答案为：.15．已知是第四象限角，且，则___________.【答案】【分析】利用同角三角函数关系可得，再由诱导公式化简目标式求值即可.【详解】由题设，，.故答案为：16．命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是______.【答案】【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依据，，分类讨论，数形结合，求解a的范围即可【详解】由得：；当时，，则，解得：,∵，，满足题意；当时，；若存在唯一的，使得成立，则与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解得：，则；当时，,结合图象可得：，解得：，则；综上所述：原命题成立的充要条件为，故答案为：-1<a<1.四、解答题17．设集合，.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a组成的集合C.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出集合，根据，即可得出，从而即得；（2）由题可知，然后分类讨论，从而得出实数组成的集合．【详解】（1）由，解得或，所以，因为，所以，则，所以；（2）因为，则，当时，；当时，；当时，，综上可得集合.18．已知函数.(1)若，求的取值范围;(2)当时，求函数的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用换元法令，列不等式先解出的范围，再解出的范围即可；（2）利用（1）中的换元，先得到的范围，再根据的范围求值域即可.【详解】（1）令，，可整理为，则即，解得，所以，解得，所以.（2）当时，，因为，且当，有最小值；当或3时，有最大值4；所以的值域为.19．设函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．【答案】（1），；（2）见解析【分析】（1）根据正弦函数性质求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）先确定取值范围，再根据正弦函数性质求最值及其对应自变量.【详解】（1）函数的最小正周期为，由的单调增区间是可得，解得故函数的单调递增区间是．（2）设，则，由在上的性质知，当时，即，；当时，即，．【点睛】本题考查正弦函数周期、单调区间、最值，考查基本分析求解能力，属中档题.20．已知定义域为R的函数是奇函数，（1）求的值．（2）判断函数在上的单调性并加以证明；（3）若对于任意不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）减函数；（3）【详解】试题分析：（1）可利用如果奇函数在处有意义，一定满足，代入即可解得；（2）用单调性定义证明，特别注意“变形”这一步中，需通过通分、分解因式等手段，达到能判断差式的符号的目的；（3）含参数的不等式恒成立问题，我们往往可以采用分离参数的办法，将其转化为求函数的最值问题，从而求得参数的取值范围．试题解析：（1）因为是R上的奇函数，则即所以又成立，所以（2）证明：设，因为，所以，故所以是R上的减函数且为奇函数（3）由于是R上的减函数且为奇函数故不等式可化为所以即恒成立所以，即的取值范围为21．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时学习效果最佳．（1）试求的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．【答案】（1）（2）【详解】【解】（1）当时，设，所以当时，.当时，将(14，81)代入，得于是（2）解不等式组得解不等式组得故当时，，答：老师在时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳．22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设，证明：有且只有一个零点，且.【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式.【详解】解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得，即，整理得，但是，矛盾，所以不是“圆满